1、專題3.7 橢圓的綜合問題I.與直線與橢圓有關(guān)的解答題的求解策略：(1)求解此類問題，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去X (或丁)建立一元二次方程，然 后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情 形.有時若直線過x軸上的一點(diǎn)，可將宜線設(shè)成橫截式.2.求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)或定值，再證明這個值與變量無關(guān)：(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)或定值.【預(yù)測題1】已知橢圓C： =長軸的頂點(diǎn)與雙曲線O：二一與=1實(shí)a2 b2 y 74 b2軸

2、的頂點(diǎn)相同，且。的右焦點(diǎn)F到D的漸近線的距離為衛(wèi).7(1)求。與O的方程;(2)若直線/的傾斜角是直線y =(石-2)x的傾斜角的2倍，且/經(jīng)過點(diǎn)/與。交于A ,B兩點(diǎn),與。交于A/，N兩點(diǎn)，求,【答案】(1)橢圓的方程為三+ = 1，雙曲線的方程為工- = 1； (2)叵. 43436【解析】(I)因?yàn)闄E圓C長軸的頂點(diǎn)與雙曲線。實(shí)軸的頂點(diǎn)相同,黑岑雙曲線。的漸近線為y = gx,即bx2y = 0,所以右焦點(diǎn)E(c,()到漸近線瓜2y = 0的距離為由解得力2 =3，。2=1，2222所以橢圓的方程為工+匕=1,雙曲線的方程為土-匕=1. 4 34 3（2）設(shè)直線y = （、后-2）x傾斜角

3、為6,則tan6 = 6-2,所以tan 20 =2tan6 _ 2（逐一2） _1l-tan所以|= Jl + |x3 x41 = Jl + k，（芻 + 七卜4七七=J1 + 彳, Jl + 260- 1-（5/5-2）2 2所以直線/的方程為y = J（xl）,設(shè)A（x，y）, B（x2,y2）, “（演,%），%（%”），1 ,八y=-U-D聯(lián)立，2，得4/2%11=0,x- , y所以 X1 +*2=5，X|X2 =一,所以 I A8| = J1 + &2 |1 -X2 = yj+k2 - J（X1 +。2）2 _4中2 = J + ； ,y = l（X-l）聯(lián)立，2.得2/+2x-

4、13 = 0,所以毛+4=T, XjX4 =-1315|AB| 7 V15所以麗=礪=丁.【預(yù)測題2】在圓V + y2=4上任取一點(diǎn)T,過點(diǎn)T作x軸的垂線段77）,。為垂足，點(diǎn)尸為線段7的中點(diǎn).（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;（2）斜率為Z伏0）且不過原點(diǎn)。的直線/交曲線C于A, B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E,射線0E交曲線C于點(diǎn)M,交直線x = 6于點(diǎn)N,且=|咖卜。耳，求點(diǎn)”(0,1)到直線/的距離d的最大值.【答案】(1)+ /=1：.4 3【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,y),點(diǎn)T的坐標(biāo)為(%,%),則x = %, y = &,x：+ y： =4 且% = x, y0 = 2y , x2

5、+4y2 = 4 ,動點(diǎn)P的軌跡。的方程為 + y2=l (2)設(shè)直線/:y = Ax+皿0,機(jī)60)的左，右焦點(diǎn)分別為K，8，過K的直 a- b線/與橢圓。交于M, N兩點(diǎn)，圓。是&WV8的內(nèi)切圓.當(dāng)直線/的傾斜角為45。時,4 1直線/與橢圓。交于點(diǎn)|一，一 (1)求橢圓。的方程；(2)求圓。周長的最大值.【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為。（c0）,則6（-c,0）,當(dāng)直線/的傾斜角為45時，直線/的方程為y = x+C,又直線/與橢圓C交于點(diǎn)（一,一；）,，c=l,將點(diǎn)一,一代入橢圓方程得9伍2+1）+萬=1解得從=1 或=-g （舍），.=2，橢圓C的方程為工+ y2=i；2（2）設(shè)圓

6、尸的半徑為r（r0）,巧宜線/的斜率不存在時，宜線/的方程為x = l, |MN| = J5, = g（|MN| + | 惆+ |N閭）r = 2a=；x2xVL=當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)為k，宜線/的方程為曠=履+人2設(shè)N8 ,丫2），（y = kx + kx2 ；得（2%2 + 1）*2+4攵2犬+2女2 一 2 =0 ,S心=彳內(nèi)名恒一必|=1段|石一工2|2=| k | J（X + 工2 J - 4x,x2 =1 k I（2Jt2 + l）2 2k+ 1（2 公+ 1）綜上，0/70)的右焦點(diǎn)廠恰為拋物線:產(chǎn)=4%的焦點(diǎn), ci b(2向P %,三一是橢圓c與拋物線E的一個公共點(diǎn)(1)

7、求橢圓C的方程； (2)過點(diǎn)/且不與x軸平行的直線/交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線分別交X、ABy軸于M、N兩點(diǎn)，求、mn 的取值范圍22【答案】（1） + - = 1； （2） 12,-ko）.43255【解析】（1）由點(diǎn)夕在拋物線七上知”則P到拋物線準(zhǔn)線的距離為屋所以I。/1=：， 設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為耳，則尸耳=J（g） +（半 =:,S 7丫2 .2所以2。= ； +彳=4,。= 2，又c = l,所以b = G，橢圓C的方程為工+匕=1;3 3、43(2)設(shè)直線/的方程為x = my + l,與橢圓C的方程聯(lián)立得(3帆2 + 4)/ +6my-9 = 0 .設(shè)Aa，y), 8優(yōu),%

8、)，則y+ %y,y2= 9 3機(jī) +43m +4由A8_LMN知|AB|A/N|y -乃Xm |弘 一 %| = J（M + %-4yM =，設(shè) AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為（元0，%），5m + 4X +必23m3M + 4%)=+1 =43m2 + 44x3w +43m故AB中垂線方程為y +7 = m3m +4令y =。得知=二二，所以上粵=12標(biāo)丁Te12,+8）. 3m-+4 MNAB【名師點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵，T定義的運(yùn)用，二是時砌的化簡與求范圍.X? y22預(yù)測題6已知橢圓C: +L=1（。 0）的左、右頂點(diǎn)分別是點(diǎn)N , B ,直線/ ： x =-與曬C相交于E兩個不同點(diǎn)，直線DA與直線

9、DS的斜率之積為j的面積為逑.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;2（2）若點(diǎn)p是直線/:x = j的一個動點(diǎn)（不在x軸上），直線AP與橢圓C的另一個交點(diǎn)為Q , 過P作的垂線，垂足為M，在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得為定值，若存在， 請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（I） y + y c 8-=ITlt - 2, /. t=， 3m .TPA.BQ, ：.fP-BQ = (-xoxl-2) + tyi=O,2 fy. 28 4m /n2 +4 八.x =一 + !- = 一+= 0,3 2 3 3m ni 4- 4 16二直線PM過定點(diǎn)T（0,（），存在定點(diǎn)N（l,0）,使得=【名師點(diǎn)睛

10、】此題考查橢圓方程的求法，考杳直線與橢圓的位置關(guān)系，考杳計(jì)算能力，解題的大鍵是設(shè)宜線PM與x軸相交于點(diǎn)?。ㄆ?0），山即意得TPLBQ,設(shè)直線A尸的方程為x = my-2,然后宜線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，可求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，再由7PL5Q, =1； （2）存在，定點(diǎn)為N（1,O）.【解析】（1）設(shè)。（9%）,由題意得,Kda Kdb 22 4F CICL 332、2同=次4 +, =19a2 b-b = 1x2,2，橢圓C的方程為工+y2=i；/=44 （2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)N，設(shè)直線PM與X軸相交于點(diǎn)丁（七,0），由題意得TP-LBQ，由（1）得8（2,0）,設(shè)Q（X1，X），由題意可設(shè)直線

11、AP的方程為犬=沖-2,x = my-22 X2 2，得(+4)丁一4沖=0, y =一或凹=0(舍去)，x =至二+ y = 1m-+4m +4 可得x（）=0,從而可行答案，屬于中檔題.【預(yù)測題7】已知橢圓G：* + 4 = l（ab0）,其短軸長為26，離心率為勺，雙曲 cT b一22線C,：二一二=1 （p0, q0）的漸近線為y = JIx,離心率為02,且4注2=1.p q（1）求橢圓G的方程： （2）設(shè)橢圓G的右焦點(diǎn)為F，動直線/ （/不垂直于坐標(biāo)軸）交橢圓G于M，N不同兩 點(diǎn)，設(shè)直線FM和FN的斜率為勺，&，若匕=-他，試探究該動直線/是否過x軸上的 定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若

12、不是，請說明理由.【答案】（1）+ 21 = i；（2）直線過定點(diǎn)（4,0）. 4322【解析】（1）由題意知，橢圓c：0+2=1（。人0）,其短軸長為2g，可得力=百，橢圓的離心率為，22雙曲線C,：二 = 1 （ p0,夕0）的漸近線為y = 土百X, p q即聆=6,即：=3,所以離心率為02= Ji = 2,且42=1.所以弓=! = = =竺=X，解得。=2,2 a a v a22所以橢圓方程土+匕=1:43（2）假設(shè)該宜線過定點(diǎn)。,0）,設(shè)宜線/的方程y =%（工一。,y = &(xT)*2 y2 ,消去y整理得(3 + 4左2卜2-8%2rx+4&2產(chǎn)-12 = 0,I 4 3設(shè)

13、M。，y），N（w，%），則D tKJ 十4K 0=-3 4標(biāo)0,M =上+_2z_ = MxT) + Mz-f) = k (國一)(七一1)+&，)(1-1)X1 Xj 1%)1Xj1(%)1)“弋消黑甫上”/.gwY+w+s+zuo,即24左25一 12 / ,、8 AA73(/ + 1)773+4公，3+4公+ 2f =8A2 / 一 24 - 8A - 84 2f + 61 + 8A2r3 + 4公所以24+6，= 0,解得，=4,即直線過定點(diǎn)（4,0）.【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線中求直線過定點(diǎn)的問題，通常需要聯(lián)立方程，得到二次方程后利用根 與系數(shù)關(guān)系、結(jié)合題中條件（比如斜率關(guān)系，向量關(guān)系，

14、距離關(guān)系，面積等）直接計(jì)算，即 可求出結(jié)果，運(yùn)算量較大.r2 v2【預(yù)測題8】已知橢圓Ei + JuKa。）的左、右焦點(diǎn)分別為力,居,P是橢圓E上 a b3的一動點(diǎn)，且|P制的最小值是1,當(dāng)尸垂直長軸時，|產(chǎn)制=一.（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在斜率為- 1的直線/與以線段EK為直徑的圓相交于A,8兩點(diǎn)，與橢圓E相交于C、。兩點(diǎn)，且|。|.|48|=處但若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.22【答案】（1） + - = 1： （2）存在；y = -x+l或y = -x-l.43【解析】（1）由題意，點(diǎn)P在橢圓上的個動點(diǎn)，且|尸國的最小值為1,得ac=l,3序 a因?yàn)楫?dāng)下式垂直長

15、軸時，|尸耳| =二,所以幺=2,即2=3a，11 2a 2又由。2=+。2,解得a = 2力=% , 22所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+匕=1.43（2）假設(shè)存在斜率為-1的直線/,設(shè)為丁=一+胴,由(1)知，式(-1,0),8(1,0),所以以線段FF?為直徑的圓為f + y2 =,由題意，圓心(0,0)到直線/的距離=1，得|帆|后, 所以IAB = 241 -/=2,1 一等=0Xl2-m2，22X J 1+ - 1聯(lián)立, 43，得7%2 8m+4/2 12 = 0，y = x + m由題意， = （8相-4x7x（4m2-12） = 336-48w2 =48（7-/n2）0,解得病7,又

16、|帆|四，所以疝2，設(shè)。（與，y），。（9,%），niI 8m 4/n2 -12則%+入2=7，須馬=- 所以| C）|= J1 + k , _%| = &x +）_ _4X|X,若皿1詔苧，則而瘍3竽xK =竽, 所以m4 一9m2+8 = o,解得/=1,或/ =8又n?/2 1丫2所以橢圓。的方程為土+匕=1 .42(2)當(dāng)A8斜率為0時，AB = 2a = 4, |CD| = = 2. AB+CIJ = 6 ,同理，、iA8斜率不存在時，也有|A8|+|cq=6.當(dāng)A8斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k,則A8方程為丁 =左一3).設(shè)A&，X), 8(右見)，f 22工+2_ =聯(lián)立 42

17、 - 得(1 + 2&2)/-40爐工+4k2-4 = 0,y = k(x-y/2)4k2-4dj2k2易知 = 1622 +16 0, 且 + 與=71 - 1 + 2 左 240 + 二）l + 2k2由弦長公式得，|AB| = y/+k2 - J（X +）2 -4尤X, = l + k2 4岳2丫4/一 4 + 2k2)1 + 2 左 2設(shè) C(&,%)，。(4,)，因?yàn)锳3_LCO，所以直線CD的斜率為-J,+ 2l + 2x所以，IM+|cq=40 +左 2) 4(14公)4(1 + 公)(3 公+3)12 仰+2公+1) 八-2+2)- 214+5公+21 + 2kk2+22k4

18、+ 5 k2+ 2=6-= 6-6& 22K+5攵2+22 k2 +因?yàn)楣?22,當(dāng)且僅當(dāng)左2 =1即土?xí)r取“=”,所以|A5| + |C| = 6 =3,顯然360）的左、右頂點(diǎn)分別為A3,上、下頂點(diǎn) 才 b-分別為C,。，右焦點(diǎn)為尸，離心率為其中4|E4|=|FB|C）F（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)Q是橢圓M上異于A3的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。且與橢圓M相切的直線與x =-。， x = a分別交于S,T兩點(diǎn)，以ST為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.22【答案】（1）+ - = 1： （2） ST為直徑的圓過定點(diǎn)（1,0）.43【解析】（1）由條件可得4（a

19、+ c） = （a-c）（2b所以從= =上 = 3, ac 1ec 11七二5,所以八/二3,解得a-，所以橢圓的方程為三+亡= 43（2）設(shè)Q（玉），No），2）,所以3 + = 1.對橢圓片+=1求導(dǎo)得，+y=o.所以切=一理，43434yo所以切線方程為y-yo = 一：%（xxo）,4 yo將代入上式，得切線方程期+純=1, 43分別聯(lián)立x = -2,x = 2 ,得 s| -2,-/ 6-3x0I 2% J所以以ST為直徑的圓，圓心為0, I %,半徑V所以 |ST=4, =(2 + 2 +6 3%)6 + 3x02% 2yo9x2= 16 +冬%I 2%22(.2、43所以, 3

20、6，=4 HQ斯因?yàn)闊o+及=1,所以片=4 1 一之 433(3 Y9所以網(wǎng)的方程為%2 + y= 1H Iy0Jy0z (3 丫 9,令2 = 1，得 y=-7得 = 1 時，y = 0,Iy0)%所以ST為直徑的圓是過定點(diǎn)(1,0).22【預(yù)測題14已知橢圓E： +二=l(Qb0)的右焦點(diǎn)為尸(C, 0),圓O： +/=472,過點(diǎn) a b尸與x軸垂直的直線在第一象限交圓與橢圓分別于點(diǎn)A, B,且點(diǎn)P 1,在橢圓上.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)F且斜率為的直線/與E交于C,。兩點(diǎn)，CQ的中點(diǎn)為M,直線與橢圓 有一個交點(diǎn)為M若加。=；麗，求AMN尸的面積.【答案】(I)+ - = 1；

21、(2)生且. 429*b2【解析】(1)由題意知A(c, b), B(c,),因?yàn)橐?7= J5 BFt 所以 b= y/2, 所以J5 b,a乂點(diǎn)產(chǎn)(I，9)在橢圓上，所以f + y=l,解得斫2, k垃,2a4b義22所以橢圓E的方程為土 +匕=1 42(2)依題意可得直線/： y=k(x - 72).y = k(x-/2)x2 v2 , W( 1+2 - 4 72 lcx+4lc - 4=0,+ = 142則 4=32產(chǎn)-(-4)(l+jt)2=36k?+40,，x()=l + 2k2設(shè) C(, Vl), D(X2, ”)，M(X0，Vo) 所以 X|+X2=rrl + 2k2所以、二所

22、以M1 + 2小2折:2 一五k1 + 2k2， + 2k2因?yàn)檠?,麗，所以N3-6瘋 2 30/1 + 2公1 + 2公72k因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓上，所以即干+際千=1解得F=-舍去)或R=J_,所以七立, 2771y/2/2 -yflk2 l + 2k2 1+2火2M 以 SxMNF= - |OF|va- - V.v/|=|vz - vm|二2224也 k =J- = ,所以MNf面枳為生旦. 1+2標(biāo) .2991 H722【預(yù))則題15】已知橢圓M： + 上j = 1 (ab0)過A (2, 0), B (0, 1)兩點(diǎn).a2 b(1)求橢圓M的離心率;（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C,點(diǎn)尸在橢圓

23、M上（尸不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與 直線CP交于點(diǎn)Q,直線8P交x軸于點(diǎn)S,求證：直線SQ過定點(diǎn).【答案】（1）在；（2）證明見解析. 2【解析】 因?yàn)辄c(diǎn)（一2,0）, 8（0,1）都在橢圓M上，所以。=2, b = ,所以c = Ja2_=j5.所以橢圓M的離心率6 = =且.a 22（2）由（I）知橢圓M的方程為土+y2=l, C（2,0）.4山題意知直線AB的方程為x = 2y-2.設(shè)2(%,%) (%工0, 為h1), Q(2yQ-2,yQ) , S(xs,0).因?yàn)镃P,。三點(diǎn)共線，所以有麗，CP = (x0-2,y0),CQ = (2yQ -2-2,yQ).所以(與-2)% = %(2%-4),所以 = . 2y0-x0 + 24% + 2%4 4yo 、所以。(才1，-幼一.2% 一 % + 2 2y - + 21yLi%因?yàn)锽,S,尸三點(diǎn)共線，所以=,即4=丁久一. _Xs Xo1-Jo4y+2x-4x(,所以S(4,0),所以宜線QS的方程為x= 2%_%：2 l +4,1f4%l-j02yox0 + 2即 X = /2 4城-4% +8% -4 + 再4%(1-%) 1一%因?yàn)辄c(diǎn)P在橢例M上，所以x02 = 4-4%2.所以直線QS的方程為* =丹(一1) + 2. i-y。所以直線QS過定點(diǎn)(2,1).【名師點(diǎn)睛】本題考杏求橢