1、課題：兩角和與差的余弦公式授課教師： 北京市陳經(jīng)綸中學(xué)黎寧授課時間： 2007 年 11 月 21 日教學(xué)目標：1使學(xué)生理解兩角和與差的余弦公式 ,并能初步應(yīng)用它們解決簡單的三角函數(shù)求值與恒等變換問題。2通過教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷從探索兩角差的余弦公式結(jié)構(gòu)到證明兩角差的余弦公式，再由此推導(dǎo)兩角和的余弦公式的過程,簡單體會特殊與一般的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，換元的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、證明的推理能力。3通過教學(xué)，形成學(xué)生嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神。教學(xué)重點 ：兩角和與差的余弦公式教學(xué)難點： 兩角和與差的余弦公式的探究教學(xué)方式： 發(fā)現(xiàn)式、探究式教學(xué)手段：

2、計算機輔助教學(xué)、實物投影儀教學(xué)基本流程：創(chuàng)設(shè)問題情景，引入研究課題由特殊值探索公式結(jié)構(gòu)引導(dǎo)學(xué)生證明公式通過例題體會公式的應(yīng)用課堂小結(jié)布置作業(yè)17教學(xué)情景設(shè)計：問題疑問1：函數(shù)ysin xcos x的最大值是多少？師生活動教師 引導(dǎo) 學(xué)生 思考 ： 函數(shù) ysin x 與y cosx 的 最 大 值 都 是 1 ， 那 么y sin x cos x 的最大值是不是 2 呢？（不是，當 ysin x 取得最大值 1 時，y cosx等于 0）若能把 ysin x cos x 轉(zhuǎn)化成一個角的一個三角函數(shù)的形式就好了！設(shè)計意圖這是學(xué)生學(xué)習第一章 三角函數(shù)時曾經(jīng)提過的問題，將此問題在這里提出，目的在于說

3、明學(xué)習本節(jié)知識的必要性，同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習本節(jié)知識的興趣。疑問 2：cos15等于多少？15°= 45-30°，我們知道 45°與 30°的三角函數(shù)值，能否求出 cos15 的值呢？是否有 cos15 = cos45cos30 成立呢？cos() = coscos是否恒成立？學(xué)生自主研究得出結(jié)論（不恒成立，但也不是總不成立）。能否用角、引導(dǎo)學(xué)生探索兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)的正、余弦（1）研究 cos （90° -30°）與 cos90°、來表示sin 90°、 cos30°、 sin 30°之間的關(guān)

4、系；（2）研究 cos （120°-60°）與cos()cos120°、 sin 120°、 cos60°、 sin 60°呢？之間的關(guān)系；（3）研究cos（ 135° -45°）與 cos135°、sin 135°、cos45°、sin45°之間的關(guān)系；發(fā) 現(xiàn) 規(guī) 律 ： cos() =coscos +sinsin憑直覺得出cos() = coscos 是學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤，通過討論弄清結(jié)論，使學(xué)生明確“恒等”的含義，同時為進一步明確本節(jié)課的探索目標奠定了基礎(chǔ)，使得教學(xué)過程

5、自然流暢。通過學(xué)生熟悉的特殊角的三角函數(shù)值來探索公式的結(jié)構(gòu)是比較自然的。在學(xué)生對公式的結(jié)構(gòu)特性有了直觀感知和基本了解的基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生猜想，探求公式的欲望。能 否證 明學(xué)生思考，教師巡視，引導(dǎo)學(xué)生利用向量讓學(xué)生經(jīng)歷用向量cos() =的有關(guān)知識解決問題：知識解決一個數(shù)學(xué)coscos如圖，作單位圓 O，以 Ox 為始邊作角、問題的過程，體會向量的工具作用及應(yīng)+sinsin ？，它們的終邊與單位圓 O 交于點 A ，B。 用價值。則若學(xué)生中有用非向量的方法證明的，可18yA BOxOA =(cos, sin),OB =(cos,sin ) OA OB = coscos+sinsin（1） 當 0,

6、 時，在課堂中展示不同證明方法，讓學(xué)生既體會向量法證明的簡捷性，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性。向量 OA 與 OB 的夾角就是，由向量數(shù)量積的定義，有OA OB=OAOB cos()= cos() cos() =coscos+sin sin（2）當 0,時，設(shè) OA與OB夾角為 ，有 cos() =cos 。因此，對于任意角，有cos() =coscos+sinsin（ C( )）師：有了公式 C() ，我們只要知道角、的正、余弦就可以求 cos() 的值了。例 1（本節(jié)課開利用差角公式求 cos15 的值。始時的疑問 2）（學(xué)生自行完成）通過練習使學(xué)生理解： cos15 =cos(45&

7、#176; -30°)解公式的簡單應(yīng)用。= cos45° cos30°+sin45°sin30°=2321222219= 624能否用角、學(xué)生自主研究，解決問題的正、余弦只要將公式 C() 中的換成即可得來表示到。cos()呢？也可以將看成( ) ，利用公式C() 證明。cos() =coscos-sinsin（ C() ）通過解決問題使學(xué)生體會“換元” 的思想。通過加法與減法互為逆運算的關(guān)系，幫助學(xué)生樹立對立統(tǒng)一的觀點，提煉問題本身蘊涵著的化歸與轉(zhuǎn)化的思想。例2求值：（1）cos72°cos12° +sin72°

8、 sin12°（2）cos34°cos26° -sin34°sin26°（學(xué)生自行完成）解：(1)cos72 ° cos12 ° +sin72 ° sin12 °這是公式的逆用，鍛煉學(xué)生的逆向思維=cos(72°-12°)= cos60°= 1能力，同時也為解決2本節(jié)課開始時的疑(2)cos34 ° cos26 ° -sin34 ° sin26 °問 1 做好鋪墊。=cos(34°+26° )= cos60°

9、;= 12能否化簡 1 cos x +3 sin x ？22（學(xué)生自行完成）能否解決本節(jié)函數(shù) ysin x cos x 的最大值是多少？課開始時的疑問 1？ysin xcos x =2(2 cosx + 2 sin x ）22通過解決問題體會兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用價值，同時也使得整堂課首尾呼應(yīng)、渾然一體。20=2 cos( x)4所以最大值為2 。通過本節(jié)學(xué)習 學(xué)生自己思考， 小結(jié)可以寫在自己的筆記你 有 哪 些 收 本上，也可以口頭交流。獲？教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下方面進行小結(jié)：1知識層面的小結(jié)（對公式的探索過程及方法的啟示， 用向量的數(shù)量積證明公式的主要思路以及公式的特點和功能） ；2. 數(shù)學(xué)思維能力層面的小結(jié) （在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上，教師概括提升包括本節(jié)課所涉及到的特殊與一般的思想， 數(shù)形結(jié)合的思想，換元的思想的體現(xiàn)，邏輯思維能力和運算能力的提高以及對數(shù)學(xué)和諧美的欣賞）作