1、1.ABCABBCCA2166464256 927927A.B.C.D. 已知過球面上 ， ， 三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，則該球的表面積為C2222222232OO AO A2.R.O OAOAO AO OR()RRS33232 31344364.94 RRt 設(shè)截面圓心為，連接，則設(shè)球的半徑為在中，所以，所以，所以解析：2.A/B/C/D/amnmamnn am an am nman am nmnan m對(duì)于平面 和共面的直線 、 ，下列命題中的真命題是.若，則.若，則.若，則.若 、 與 所成的角相等，則C11111111113.A. 1B. 2C. 3D. 4mnmnmn

2、mnmnmnmnmnmnmnmn 平面 外有兩條直線 和 ,如果 和 在平面 內(nèi)的射影分別是和 ,給出下列四個(gè)命題：；與 相交與 相交或重合；與 平行與 平行或重合其中不正確的命題個(gè)數(shù)是DD.四個(gè)命題都是錯(cuò)誤的，解析：故選111114. .35 . . .734444ABCABCAABCBCABCCABCD已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為D1111111.DBCADABCADABADADADBCABCABCa如圖，設(shè) 為的中點(diǎn)依題意知底面，連接、，則，設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底：面邊長(zhǎng)均為解析222222222211222211122211111

3、1().( ).3244cos23.44.23222Rt A ADADAAADaaRt ABDABADBDAABaaaaaaaABAAABAB AAa aBAABCAC 在中，在中，在中，由余即異面直線與所成的角的余弦值弦為定理得5.ABCDACABCDBDABC把正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)以 、 、 、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為45.cos45 .22BACDACACEBEDEBEDACBDABCBEBDBEDBEDBED如圖，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大取的中點(diǎn) ，連接、，則平面，故直線和平面所成的角為因?yàn)椋越馕觯寒惷嬷本€的定義 1111111111121:

4、ABCDA BC DMNA BBCAMCND BCC如圖所示，正方體中，分別是，的中點(diǎn)，問：與是否為異面直線？為什么？和是否為異面直例題線？為什么？ 111111111111111111 1./././.2AMCNMNACMNABBCMN ACACAC ACMN ACAMNCAMCNAMCND BCCD BCCaDBCCaBCC Da與不是異面直線連接，因?yàn)椋?分別為，的中點(diǎn)，所以連接，則所以所以 ， ， 共面，所以和都在一個(gè)平面內(nèi)，所以，不是異面直線與是異面直線用反證法證明：假設(shè)與是共面的，且都在平面 內(nèi)，則點(diǎn)、 ， ，所以直線與都在平面解析：內(nèi)，這1111BCC DD BCC與、異面矛盾，

5、所以與是異面直線 兩直線異面常用反證反思小結(jié)：法判斷ABCDA BC DBA 如圖，在正方體中，與直線成異面直拓展練習(xí)：線的棱有D CDCDDCCBCAD 、異面直線所成的角 122ABCDaEFADBCEFADBCEFCD如圖，四面體的棱長(zhǎng)為 ， 、 分別是、的中點(diǎn)求證：是、的公垂線；求異面直線、所成的例題 ：角的大小 1.BEEADCEADBEADCEBEEADBECEFBECADEFBCEFEFADBC證明：連接因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以，而，所以平面又平面，所以同理，所以是、解析：的公垂線2222222222111222444122122/.11,2212co45 .s245 .22GACG

6、E CDGEFEFCDEFCDCFDEaaaFGaaEaaaaaEGaFCD( )設(shè) 是的中點(diǎn)，則，所以是直線、所成的角，設(shè)為則所以、所成的角的大小為因?yàn)椋?，找異面直線的公垂線，只要會(huì)判斷與兩異面直線都垂直的直線，而求公垂線段的長(zhǎng)不作要求；求異面直線所成的角，在幾何體中需要作線段的平移求異面直線所成的角一般方法是平移法，通過平移構(gòu)造三角形，利用正弦定理和余弦定理求解如果兩條直線具有垂直關(guān)系，則直接利用線面垂反思小結(jié)：直關(guān)系11111ABCABCMCCABBM拓展練已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，是側(cè)棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角習(xí)：的大小111111111111.2290 .90 .90 .

7、7251ABBBDEDEC DC EABBMC EDDEC EC DC EDABBMBCFAFB FBMAB FABBM取、的中點(diǎn)分別為 、 ，連接、易知和所成的角即為不妨設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為 ，則，故故異面直線和所成的角的大小為取的中點(diǎn)為 ，連接方法、可通過證明平面，得異面直線與垂直故它們所成的角的大?。悍椒椋航馕觯壕€面平行與垂直 60212/.3BPABCDABCPAACaPBPDaEPDPAABCDPEAC如圖，在底面是菱形的四棱錐中，點(diǎn) 是的中點(diǎn)求證：平面；平面例題 ： 22222222122.2/./.ABADACPAaPAADaPDPAABaPBAPADAPABADABAPAABC

8、DBDACOOEOE PBOEEACPBEACPBEAC由已知，則，所以，而，所以平面連接交于點(diǎn) ，連接，則又平面，平面，所以平面解析： /l aaala線面垂直，根據(jù)判定定理，即直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線線線垂直可以利用直線與平面垂直的判定定理；線面平行，只要能找出平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行線面平行的充反思小分條件是：，要結(jié)：求書寫規(guī)范 11111111110260 .12.ABCABCABCABA AABAC DACABABCACA AADABC如圖，在三棱柱中,為等邊三角形, 為的中點(diǎn),且與平面所成的角為求證：；平習(xí)面拓展練： 1111111111.ACBDACABBDAB

9、BACABDADABDADACA ACACACA A依題意知，且，所以平面又平面，所以所以是以為底邊的等腰三角形即解，析： 1122122111111110 14 1333323.tan60.ADBDAAOAA AADABADADBDAOADBCOBDODADBDADACACBDDADABBCOBD 依已知，則過 作平面，則 必在上由于，所以 與 重合所以又，且，所以平面線面平行與垂直 90602 .124PABCDABCDPCDPCDBBCaABPCaPABABCDCPAD四棱錐中,底面是矩形,二面角為,，求證：平面平例面；題 ：求點(diǎn) 到平面的距離空間的距離 2222222219060 .2

10、cos6034.PCDBCCDPCBPCDBPCBPBCPBBCPCBC PCaaaPCBCPBBCCDBCCDPCBCPCCCDPBCPBCABCDPBCABCDBCPBABCDPAB證明：因?yàn)?，且，則是二面角的平面角，所以在中，所以又，且，所以平面，所以平面平面而平面平面，所以平面，故平面解析：.ABCD平面 322222222312.21.2./133378-772732 21321372PACDCPADPADABPBaaPDADVPBAD CDaVPAaPAADSa aaCPADhaahaPABABCDCBPADCPADBPADBPAh又，所以，所以設(shè)點(diǎn) 到平面的距離為則，得因?yàn)槠矫嫫?/p>

11、面,且平面，故點(diǎn) 到平面的距離就是點(diǎn) 到平面的距離，也就是點(diǎn) 到：方法 ：直線方法322 21.9077hPBAPBAPBAaahaPAaBh的距離,設(shè)為在中,得, ()()()證明兩個(gè)平面垂直，只需證明一平面內(nèi)的直線垂直于另一平面內(nèi)的兩條相交直線勾股定理及其逆定理對(duì)以數(shù)代形研究垂直起到了很好的作用用線段的長(zhǎng)度 數(shù)量 探討垂直關(guān)系是幾何證明常見的題型求點(diǎn)到平面的距離，一般要作出垂直關(guān)系，求出垂線段的長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)這一目的有兩個(gè)辦法，一是把垂線段轉(zhuǎn)化為求三角形的高 等面積代換 ，二是轉(zhuǎn)化為求四反思小面體的高 等結(jié)體積代換：111111810ABCABCBCDACABC BD已知正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為 ，對(duì)

12、角線， 為的中點(diǎn)求直線到平拓展練習(xí)：面的距離11111111112/./334.1188.22ABDABCODABODODC BDABC BDABC BDABC BDAC BDAC BDhSS如圖，連接，則因?yàn)槠矫?，平面，所以平面所以到平面的距離，即點(diǎn) 到平面的距離，即三棱錐的高，設(shè)為易解知析：1112222211111111112211Rt108366.2414.24641339131113933312 13.13863C BDC BDABDB BCBBBCBCBBBDCBDACC ABDC DC DBDSBD C DVAC BDShVCABDSBBhh因?yàn)樵谥?，所以在中，平面，所以因?yàn)椋?/p>

13、以因解析：，以為，即所 225 1EAABCDBABCACBCACBCBDAEMABCMEMCEABDE在如圖所示的幾何體中，平面，平面，是的中點(diǎn)求證：；求與平面所成角的例題 ：正切值空間的角 26ta 1.n.3233.12EAABCEACMACBCMABCMABCMAEMEMAEMCMEMMECCEABDEAEAMCMECMME證明：因?yàn)槠矫?，所以又，是的中點(diǎn)，所以所以平面，且平面，所以易知是與平面所成的角設(shè)，則，解析：所以 求直線與平面所成的角的一般過程是通過射影轉(zhuǎn)化法，作出直線與平面所成的角構(gòu)造由斜線段、射影線段、垂線段組成的三角形，再通過解三角形計(jì)算出角反思小結(jié)：的大小 21.12A

14、BCDABADECDAEDAEDDD AEABCEADEBACABD 如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)以為折痕將向上折起，使 為，且平面平拓展練習(xí)面求證：；求直線與平面所成角的正弦值 22222222 1Rt2.Rt2.2.BCEBEAD EAEABBEAEAEBEAEDABCEAEBEAEDADAEDADBBCCEDADEE 證明：在中，在中，因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫嫫矫?且兩平面的交線為，所以平面因?yàn)槠矫?所以解析： 2.1.123.1.32ACBEFADBEADEDADEBDADABDABDEBDBDFGBDGFGABDAGFAGAEFECFBABCABDEFEB 設(shè)與相交于點(diǎn)由知因?yàn)?，所以平面因?yàn)槠?/p>

15、面，所以平面平面，且這兩個(gè)平面的交線為作，垂足為 ，則平面連接，則是直線與平面所成的角由平面幾何知識(shí)可知，所以2222 52932 6Rt.sin3092 63091.15.52 53AEEFFGDEFBDAEFAFRtBFGACABEBAFDDFGFAG在中，在中，可所以直線與平面所成的角求得的正弦值為，所以 11111111111111111111111111 11234./.2.126AA A ABCAAABBCBBAAA AAABPCCAAA AAACQBBCCA AAAABCABCABCABCABBCC B 如圖 所示，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn) 、在線段上，且，作，分別交、于點(diǎn) 、 ，

16、作，分別交、于點(diǎn)、將該正方形沿、折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖 所示的三棱柱在三棱柱中，求例證：平面：；題求111APQABCABC平面將三棱柱分成上、下兩部分幾何體的體積之比折疊問題 2221111 1345.2372()(37) 4020 320.221133BCQPA BCQPBCQPABBCACACABBCABBCABBBBCBBBABBCC BBBPCPABCQACSVSAQ BCB 四邊形四邊形證明：因?yàn)椋?，從而有，即又因?yàn)?，而，所以平面因?yàn)?，所以而解，從析?11ABC11111 VABCA B CSAA3 4 12722APQABCA72205220201B C3.5VV 上下

17、又因?yàn)椋云矫鎸⑷庵殖缮?、下兩部分幾何體的體積之比為 111 1/90 .2“”ABBBAABBABBCCAABC平面圖形折疊為空間圖形時(shí)，要注意折疊前后變化和不變化的量例如本題中平面圖形折疊前后、及、的長(zhǎng)度等都不變，而就折成了求空間幾何體的體積時(shí)要注意方法的靈活性，除直接運(yùn)用公式外，還反思小可用結(jié)割補(bǔ)法： 190/42.212ABCDADCCD ABABADCDADCACADCABCDABCBCACDDABC如圖，在直角梯形中，將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖 所示求證：平面拓展練習(xí)；求：幾何體的體積 222112 2.212 24 2.32211423.3223ACDB ACD

18、ACDACBCACBCABACBCACDABCACDABCACBCABCBCACDBCBACDBCSVSBDA CCB 證明：在圖 中，可得，從而，故又平面平面，平面平面，平面，所以平面由可知為三棱錐的高，且，解析：所以幾何體的體所積為以 1111111 2172ABCABCDCCABABDCABD如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為 , 為的中點(diǎn)求證：平面；求點(diǎn) 到平面例題 ：的距離綜合應(yīng)用 11111111111111111111.BCOAOABCAOBCABCABCABCBCC BAOBCC BBOBBC CODBCCCBOBDABBDABB AABABABABD證明：取的中點(diǎn) ，連接因?yàn)闉檎?/p>

19、角形，所以因?yàn)檎庵?，平面平面，所以平面連接在正方形中， 、 分別為、的中點(diǎn)，所以，所以在正方形中，所以平面解析： 111111111111122 21.5631133333 1226.2.2BCDA BA BDBCDBCDA BDDABDBDADABSSABCC BCABDdVABCDVCABDSSdSSCAdBD中，由，得，在正三棱柱中，點(diǎn) 到平面的距離為設(shè)點(diǎn) 到平面的距離為由，得，所以所以點(diǎn) 到平面的距離為 本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)反思小結(jié)：算能力 6045 .1211 ,PABCDABCDRBDABDBDCADPBA

20、DPDPCRPABC 如圖，四棱錐的底面是半徑為 的圓內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，求線拓展練段的長(zhǎng)習(xí)：；若求三棱錐的體積 22234(sin60 )41sin3022190 .3 .ADDPBAADBDBADADPBADDPRADBDBABDRR因?yàn)槭菆A的直徑，所以又所以，即解：，析 22222222Rtcos452 .9211.90.11sinsin(6045 )22132212 ()31222224.13AP ABCABCBCBCDCDBDRPDCDRRRPCPDCDPDAPDDACDDADPDABCDSAB BCABCAVSPDB BCRRRPABC 在中，因?yàn)?，所以又，即而，所以底面?/p>

21、三棱錐的體積為23131313.344RRR 1.2.123abaacbabacbAAbAcAaAbAaabc.線共點(diǎn)與點(diǎn)共線研究空間中三條直線共點(diǎn)，需確定經(jīng)過相交直線的兩個(gè)平面，如由直線 、 確定平面 ，直線 、 確定平面 ，易知設(shè)于是，即且，所以，故三條直線 、 、 共點(diǎn)同樣道理，研究點(diǎn)共線，只需證的點(diǎn)都在兩平面的交線上線、面的平行與垂直空間直線的平行具有傳遞性；線面平行要注意排除線在平面內(nèi)；線面垂直要抓住線與平面內(nèi)的兩條相交直線 4垂直；面面平行與垂直可以轉(zhuǎn)化為線面平行與線面垂直3.空間的距離空間的距離包括空間兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離在這些距離中最核心的是點(diǎn)到平面的距

22、離求距離的核心是轉(zhuǎn)化常見的轉(zhuǎn)化有兩種：一是作垂線，構(gòu)造包含這條垂線的平面在平面中通過解三角形來獲得垂線段的長(zhǎng)；二是利用等積轉(zhuǎn)化，善用三角形面積法和三棱錐體積法4().空間的角空間的角包括兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角在這些角中，最核心的是直線與平面所成的角求角的大小的核心也是轉(zhuǎn)化，常見的轉(zhuǎn)化是作出所求的角在平面上通過解三角形獲得角的大小 異面直線所成的角通過平移構(gòu)造三角形，直線與平面所成的角，抓住直線在平面上的射影，二面角可用面積射影法 11111190()A 30B.45C 60D(20101).90ABCABCBACABACAABAAC直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于 全國(guó)大卷綱1111111 .C60 .CADADACADACDABBAACBDADBDAB延長(zhǎng)到 ，使得，則四邊形為平行四邊形，所以就是異面直線與所成的角連接又易知三角形為等邊三角形，所以解析：答案： /452 22(20141203)2.PABCDEPAABCDEAB CDAC EDAE BCABCABBCAEPABPCDPACPBPCDPACDE如圖，在五棱錐中，平面，三角形是等腰三角形求證：平面平面；求直線與平面所成角的大?。磺笊剿睦鈻|錐卷的體積 22222214524(2 2)