1、淺談教學中培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力的方法摘要：培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力不但對開展中學生的各方面能力有重要作用，而且更能有效地提高中學數(shù)學教學質量。在注重數(shù)學解題研究后，解題也一度把我國數(shù)以萬計的中學生推入題海的旋渦，使他們如牛負重，苦不堪言。從而在教學中培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力有著重要意義。在本文中，我通過自己的所讀所聞所感，利用一些案例和教材中的實例來闡述自己在教學中培養(yǎng)學生數(shù)學解題能力一些小小的看法：注重數(shù)學根底知識，完善中學生數(shù)學知識結構，是培養(yǎng)中學生的數(shù)學解題能力的根本前提；充分利用教材和反例，善于運用一題多變和一題多解，注意與學生一起探討解題方法和總結要點等等。在情感方面，通過數(shù)學趣味題和

2、實際生活問題來調動學生的數(shù)學解提興趣，注重數(shù)學解題習慣和興趣的培養(yǎng)。關鍵詞：中學數(shù)學解題；數(shù)學解題能力；中學生數(shù)學解題興趣一、中學數(shù)學解題概述1.1 中學數(shù)學習題的種類 中學階段的數(shù)學習題成千上萬，形形色色，可以有各種分類方法。按內容來分，可以分為幾何，代數(shù)，數(shù)論，組合數(shù)學等，其中代數(shù)包括方程，等式，不等式，函數(shù)等。幾何包平面幾何，立體幾何，解析幾何，以及一些組合幾何，幾何不等式。三角現(xiàn)在已經(jīng)不作為獨立的學科，往往歸入代數(shù)中。 按問題的結論 來分，可以分為計算題，求解題，證明題。計算題大多數(shù)比擬容易，往往用于穩(wěn)固所學的運算法那么，培養(yǎng)運算能力。如初中以多項式的運算為主，求解題比運算題稍難，結論

3、往往不能由計算得出，需要通過列方程，或公式變換等手段才能化為計算題；證明題通常更難一些，著重培養(yǎng)推理能力。 從形式上分為選擇題，填空題，綜合題。前兩者有人稱為客觀題，因為答案唯一，便于使用計算機評分。其實很多項選擇擇題或計算題仍需要計算或推理，只是掠去了過程。長期做大量的選擇題和填空題對智力的開展有害無益。反之，到是做好了綜合題，做選擇題和填空題也一定得心應手。綜合題即所謂的大題，應該進一步分類如：分為計算，求解，證明三大類。從數(shù)學教學內容的設置不同和作用不同，可以分為導入教學而設置的習題，典型示范而設置的習題，穩(wěn)固“雙基而設置的習題和訓練學生而設置的習題，復習題和總復習題。 1.2 中學數(shù)學

4、解題的方法中學數(shù)學解題中常用的解題方法有分析法，綜合法，歸納法，反證法等推理方法，還有常用的轉化通法有換元法，拆補法，消元法，待定系數(shù)法，分域法，構造法等。1.3 中學數(shù)學解題能力的意義 中學數(shù)學解題對于開展中學生的能力具有極其重要的作用。有效地進行數(shù)學習題的解決，特別有助于增進數(shù)學思維能力，培養(yǎng)勇于創(chuàng)新的精神。在當今科技突飛猛進，人類知識積累急劇增加的時代，不僅要培養(yǎng)學生具有現(xiàn)代科學的系統(tǒng)才根底知識和根本技能，更要教會學生思考，具有獨立的，創(chuàng)造性解決問題的能力。 “問題是數(shù)學的心臟，問題解決是數(shù)學教育的核心。古往今來，無論是學習數(shù)學還研究數(shù)學都離不開數(shù)學問題和數(shù)學問題的解決。美國20世紀80

5、年代掀起了數(shù)學改革高潮，其中心就是數(shù)學解題。在注重數(shù)學解題研究后，解題也一度把我國數(shù)以萬計的中學生推入題海的旋渦，使他們如牛負重，苦不堪言。其實解決這一問題的有效方法就是培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力，從方法的高度來駕馭數(shù)學習題的解決，使廣闊學生從題海的桎梏中解脫出來。從宏觀意義來講，培養(yǎng)數(shù)學解題能力是數(shù)學發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造的關鍵動力。從微觀意義來講，在數(shù)學教學和數(shù)學學習中，培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力不但是數(shù)學教育的一項重要任務，同時有效地提高數(shù)學教學質量，而且提高了學生的思維水平， 學以至用，真正懂得數(shù)學的價值。二、在教學中培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力的方法2.1 高效的解題教學 中學生數(shù)學解題能力可以直接反響中學生

6、對數(shù)學教學內容的理解，應用狀況，并且在數(shù)學解題的不斷實踐中也更能穩(wěn)固和加深知識點的認識。于是，在教學中培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力，要使學生領悟，理解，掌握，運用數(shù)學的方法，逃離題海漩渦，就需要通過精心的教學設計和課堂上的教學活動過程，溝通課本與學生認識，在教師的指導，學生參與下完成。2.1.1 挖掘教材 在例題中覓解題方法 無論是提高教學質量，還是培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力，我們都不可以拋開課本，教材，紙上談兵。數(shù)學教材中蘊涵了許多數(shù)學思想方法和解題方法，值得深究，以便于在教學中讓學生體會到教材對他們解題大有裨益。大多數(shù)中學生都幾乎不看課本，覺得課本知識太淺，一看就動，沒有什么價值，并沒有挖掘到其中的

7、思想方法。比方高二課本中第七章圓錐曲線第一節(jié)橢圓的標準方程，這一節(jié)內容中關于求橢圓的標準方程就不僅是在求橢圓的標準方程，而且也是在介紹求其他錐曲線的一般方法和步驟。這里就需要向學生重點講解和指明其中的解題方法，對于以后類似題目可以用類似的解題方法。所以要挖掘教材中的數(shù)學解題方法，提高自身數(shù)學修養(yǎng)，同時以啟示學生。 有理數(shù)乘法法那么的講述，在新教材中就充分運用了數(shù)形結合和歸納推理的方法，較舊教材中注重由一般到特殊就演繹推理降低了難度而又不失科學性。教師可以給學生介紹這兩種根本而又常用的解題方法。又如： 在二元一次方程組的應用局部，有一道題的解法與舊教材的解法不同，用了“整體代入的解題方法，在以后

8、的學習中將廣為使用。同時，這也是對字母代替數(shù)的更深刻的理解。 無論是教材，還是教學，數(shù)學例題都是其一個重要的組成局部，遍布于中學數(shù)學教學過程之中，其內容不僅包括引進概念，形成命題，歸納公式，運用法那么等知識的發(fā)生，開展過程中的問題，也包括知識應用過程中的例題，練習題，習作題，復習題和總復習題。而從教學的角度，我們可以把數(shù)學例題分為導入教學而設置的例題，典型示范而設置的例題，穩(wěn)固“雙基而設置的例題和訓練學生而設置的例題。不同形式的教學內容匹配適當?shù)睦}，進行精心地安排，合理組織訓練；由簡到繁，由易到難，有條理地組成一個突出重點，分散難點的整體系統(tǒng)；特別地，在習題課中，除了要求例題的選配有具有目的

9、性，典型性，啟發(fā)性和延伸性等特點外，注意將數(shù)學例題進行歸類，由一道題的解法向學生揭示類似題目的根本解題方法和步驟，從中領悟知識方法要點，熟悉標準解答。通過以上介紹，可以有效激發(fā)學生的解題興趣，潛移默化地使學生自己不斷總結解題方法，把書本越讀越薄，培養(yǎng)中學數(shù)學解題能力。222 反例的應用 事物往往是互為因果的，具有雙向性和可逆性的特征,如果正向思維受阻,那么,“順難那么逆,直難那么曲,正難那么反,順向推導有困難時就逆向推導,直接證明有困難時就間接證明,正面求解有困難就反向找,探求問題的可能性有困難是就探求不能性?！八抉R光砸缸那傳誦千古的魅力根源于反向思考,逆向思維。解決中學數(shù)學問題時,大多數(shù)是從

10、條件出發(fā),借助于一些具體的模式和方法,進行正面的,順向思考。這種思考在思維方向上具有定向性,層次性和聚合性,弊端是容易形成某種思維定勢。教師對這一點要尤為重視。在教學中通過學生易錯的題目,反例讓學生逆向思考,拓展學生的解題思路,提高學生的數(shù)學解題能力。在具體的數(shù)學教學中,可以用分析法,逆推法,反證法,同一法,舉反例等解題方法,讓學生自己也逐漸學會應用反向思考,反例消除在解題中的一些疑惑,數(shù)學思維嚴密,也可以提高中學生數(shù)學解題的速度和準確率。例1 求證是無理數(shù)。講解 條件實在太空,太少,以至于正面推導一小步都很困難。按照“正難那么反的策略,可設為有理數(shù),那么存在,(,)=1,使=. 這樣, 是就

11、具體了,可供使用的條件也增多了.由有 得=. 記;那么,N, >,>, 且=同理,可得無限個,(i=1,2,)滿足 >>, >>, 且=但小于(或)的自然數(shù)只有有限個。矛盾,故是無理數(shù)。例2 解不等式 講解 正面求解需解兩個不等式組 或 反面的思考是,先解不等式, 即 即 或 得 1+2<再求不等式在存在域上的補集,此即為原不等式的解集。由上面的例子可以看到,從問題的相反方向或否認形式出發(fā),思考常能產(chǎn)生新的觀念,它在正向思考受阻時,作用特別大(當然,正向思維順暢仍有重要作用)。但是,不能忘了,反向思考,應用反例都是建立在正向思維方法的根底上的,注重把正

12、向思考與逆向思考結合起來,把論證與反例結合起來。每次數(shù)學考試后,我們常常會發(fā)現(xiàn)這樣一些學生,將一些完全可以做對的考題解錯了,總是埋怨自己太粗心了,但下次考試又犯類似的錯誤。心理學研究說明粗心是由于思維不嚴密造成的,思維的嚴謹性與一個人的氣質有關。要改變一個人的氣質很困難,需要通過長期的訓練才可能實現(xiàn)。在教學的實踐說明,在教學過程中,經(jīng)常地培養(yǎng)學生重視自己的錯誤,進行解題后的反思,及應用反例,可以有效地克服學生解題粗心的現(xiàn)象,提高學生的數(shù)學解題能力。我們可以從以下幾個方面入手： 利用易錯的典型題目,引導學生反思條件是否充分利用某些數(shù)學習題的條件的內涵很豐富,需要通過仔細分析才能理解透徹,如果單從

13、外表去分析,常常會使條件的利用價值降低,導致所給的問題的解集范圍無形中擴大。例3 設,二項式按的降冪排列展開后,第二項不大于第三項,求的取值范圍。眾多的學生給出的解答如下:, , 由 得 , 即. (*) . 將變形為,代入(*) 式得,由此得。上述解答看起來條理清楚,推理過程步步有依據(jù),條件都完全利用,因此解答結果似乎正確。但是,通過仔細分析可以發(fā)現(xiàn),上述解答結果是錯誤的,錯誤的原因引導學生作如下的反思:題目給出的條件:是否充分利用?由, 能否得出的一個取值范圍? 假設能,這個取值范圍與上述答復結果一致嗎?通過反思,學生很容易發(fā)現(xiàn),條件,沒有充分利用,由,可以得出的取值范圍是<0或&g

14、t;1。符合條件的的正確取值范圍應該由不等式組或 確定,由此得>1。用一些條件不易充分利用的典型例子,以學生的錯解作為反面教材,引導學生進行反思,可以有效地培養(yǎng)學生認真審題,充分利用以知條件的好習慣,從而培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力。 用易錯的典型題目,引導學生反思隱藏條件是否發(fā)現(xiàn)有一些數(shù)學習題,它的條件由兩部構成,一局部是明顯的,另一局部是隱蔽的。這就需要我們在解題過程中仔細分析,合情推理才能發(fā)現(xiàn),這類數(shù)學問題很容易導致錯解現(xiàn)象的發(fā)生,請看下面這個例子：例4 圓與拋物線有公共點,求的取值范圍。學生認為這是一道簡單題目,因為他們知道,兩曲線有公共點的問題等價于由兩曲線的方程組成的方程組有實數(shù)解

15、的問題。因此,眾多的學生容易給出如下的解法:由 , 可得 (*)圓和拋物線存在公共點,方程(*)應存在實根,由此得,聯(lián)系>0解之得,或。.上述解答從推理過程看,步步有依據(jù),不存在什么問題,但是通過仔細發(fā)現(xiàn)果是錯誤的,其原因引導學生作如下反思:圓與拋物線有公共點存在隱蔽條件嗎?假設有,試求出隱蔽條件。分析隱蔽條件對的取值范圍有影響嗎?假設有,試根據(jù)隱蔽條件求出的取值的正確范圍。學生通過反思容易發(fā)現(xiàn),圓與拋物線有公共點存在隱蔽條件(圓與拋物線的公共點應在圓,即.這個隱蔽條件對的取值范圍有影響。正確的理解應該是:方程的兩根應在區(qū)間內,由此得正確的解法如下:令 由 得 即為所求.利用一些存在隱蔽

16、條件的典型例子,讓學生從錯解中反思?？梢杂行У嘏囵B(yǎng)學生分析和尋找隱蔽條件的能力。 利用易錯的典型題目,引導學生反思分析與推理是否合理有一些數(shù)學習題概念性很強,假設對概念的內涵理解不透徹,就會導致錯解的現(xiàn)象的發(fā)生。請看下面的例子:例5 給出如下命題: 有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱。判斷這個命題的真假。多數(shù)學生都認為這是一個真命題。因為他們一時找不出反例來否認這個命題.善于動腦筋的學生甲很快構造出一個反例模型如圖1,在一個長方體IJKL-EFGH的上面放上一個平行六面體EFGH-ABCD,這個幾何體滿足題設的條件,但它不滿足棱柱的定義.因此它不是棱柱。由此可得出所給出

17、命題是假命題。 圖1 學生甲給出這個反例模型之后,眾多學生頓時醒悟了,覺得學生甲的判斷正確.此時,教師引導學生作如下反思:學生甲對棱柱的概念理解對嗎?用圖1否認所給的命題合理嗎?教師提出這兩個問題之后學生頓時驚訝,認為學生甲的判斷正確合理,無可非議。此時教師再引導學生反思:圖1給出的幾何體是凸多面體還是凹面體?棱柱是凹面體嗎?學生容易看出,圖1所示的凹多面體,也容易從教材給出的圖2看出,棱柱應該是凸多面體。教師趁勢引導學生反思:棱柱是凸多面體,用圖1所示的凹多面體來否認與棱柱概念有關的命題合理嗎?此時,多數(shù)學生突然意識到學生甲用凹多面體作為反例來否認與棱柱有關的概念是不合理的,應該在凸多面體集

18、合中去尋找反例。這樣的反例尋找很困難,教師可給出圖3所示的模型作為反例,讓學生觀察分析。通過觀察分析,他們明白了學生甲給出的反例為什么不合理。錯誤的原因源于對棱柱的概念理解不深刻。通過以上的反思,使學生加深了對棱柱概念的理解,培養(yǎng)了學生對解題的合理性進行細心推敲的反思的習慣。在教學過程中,經(jīng)常利用一些易錯的典型例子,引導學生進行解題后的反思,可以有效地克服學生解題粗心的現(xiàn)象,培養(yǎng)學生思維的嚴謹性,大大地提高了學生的數(shù)學解題能力。2.2.3 課堂中滲透解題思想，引導學生總結解題方法在教學中，要培養(yǎng)中學生數(shù)學解題能力，除了抓好根底知識，根本能力的學習與培養(yǎng)外，更重要的是解題實踐分析解題思路，探求解

19、題途徑，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題方法。這就要求在教學中做好以下幾個方面的工作：有方案地指導學生，幫助學生掌握解題的科學程序。就是把整個解題過程：分析解題思路，探求解題途徑，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題方法，是解題過程程序化，就能使學生對解題總過程有一個有序框架，形成一種思維定勢和化歸的趨勢，做到目標清楚，思維方向明確。為此，在教學中對于所有例題的講解及示范解題，都要充分展現(xiàn)解題過程的四個程序及每個程序進行的過程，并且不斷給以總結，反復強調，使學生在日積月累的熏陶中去掌握解題程序，領悟各程序中思維的方向和思維的進程。當然，這樣做就必須要求教師事先要對例題的選取和設計進行深入研究，對例題的目的意圖，隱含條

20、件的析取，干擾信息的排除，思維偏差的糾正，解題策略的制定，解題關鍵的把握以及解題后的開拓和引伸等都要做到心中有數(shù)。有目的有意識滲透，介紹和突出有關數(shù)學思想方法。在進行教學中，一般可以前面我們對數(shù)學特征幾中學數(shù)學內容分析的數(shù)學思想方法中考慮，應滲透，介紹或強調哪些數(shù)學思想，要求學生在什么層次上把握數(shù)學解題方法，是了解，是理解，是掌握，還是靈活運用。然后進行合理的教學設計，從教學目標確實定，問題的提出，情景創(chuàng)設，到教學方法的選擇，整個教學過程都要有目的有意識的進行數(shù)學思想方法教學。比方：化歸是一種數(shù)學解題的重要的思想方法和解題策略，因此，我們可以把它作為一個指導思想方法滲透在教學過程中，根據(jù)具體的

21、教學內容。通過滲透，介紹，強調等不同方式，讓學生體驗，學習這一思想方法。解方程時，一般總是考慮將分式方程化歸為整式方程，無理方程化歸為有理方程，超越方程化歸為代數(shù)方程；處理立體幾何問題時，一般考慮把空間問題化歸為到一個平面上這個平面一般是幾何體的某個面，或某個輔助面，再用平面幾何的結論和方法去解決；在解析幾何中，一般可考慮通過建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，把幾何問題化歸為代數(shù)問題去處理，；有關復數(shù)的問題，可通過其代數(shù)形式或三角形式化歸為實數(shù)問題或三角問題加以解決。教師應指導學生從一招一式的解題方法和不同題型的反復練習中提煉概括出一般規(guī)律和有關的解題方法。教師還可以結合具體對象內容，滲透重要的意識和觀點

22、，介紹相應的方法：在有理數(shù)的有關內容中，滲透數(shù)形結合的思想和矛盾統(tǒng)一的觀點；在代數(shù)式中，初步突出抽象的思想，數(shù)學形式化的觀點和分類討論的方法；在平面幾何中滲透和介紹幾何變換的思想方法，運動變化的觀點；在解方程和解不等式中強調等價轉換的思想方法；在立體幾何和二次曲線中強調類比猜測證明的發(fā)現(xiàn)過程，滲透創(chuàng)新意識等等?？傊?，我們本著從能力的角度出發(fā)，通過潛移默化地滲透思想方法，使學生能夠利用解題方法來駕馭千變萬化的數(shù)學習題，培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力。 幫助學生掌握解題的策略和轉化的解題方法。探索解題途徑，主要是根據(jù)審題提供的依據(jù)，制定解題策略，探索解題方向轉化命題是關鍵，溝通靠攏條件，把所面臨的問題逐步

23、靠攏和轉化為既定解法和程序的標準問題，然后利用的理論，方法和技巧。實現(xiàn)問題的解決。因此，在教學中，必須結合例題的示范教學，有方案，有目的地幫助學生掌握解決數(shù)學問題的策略原那么，培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力。2.2.4 注意一題多變與一題多解所謂一題多變，就是指同一個題目適當變換，變化為多個與原題內容不同，但解法相同或相近的題目，這有利于擴大學生的視野，深化知識，舉一反三，觸類旁通，從而提高解題能力。同一道題，同樣的條件，從不同的角度出發(fā)，可以提出不同的問題。如解答“五一班有學生人。女生占，女生有多少人？這本來是一道很簡單的題目。教學中，老師往往會因學生很容易解答，而一晃而過，無視發(fā)散思維的訓練。對于

24、這樣的題型，老師要執(zhí)意求新，變換提出新的問題。如再提出如下問題：男生有多少人？全班有多少人？男生比女生多多少人？男生是女生的幾倍？女生是男生的幾分之幾？等等。這樣，可以起到“以一當十的教學效果。像同一道題，老師還可以從分析上多提問，從解法上多提問，從檢驗上多提問，進行多問啟思訓練，培養(yǎng)學習思維的靈活性。通常，教學中的變條件、變問題、條件和問題的互換等，都是一題多變的好形式，但是，變題訓練要掌握一個原那么，就是要在學生較牢固的掌握法那么、公式的根底上，進行變題形練。否那么，將淡化思維定勢的積極作用，不利于學生牢固地掌握知識。一題多解：同一道題，同樣的條件，從不同的角所謂一題多解，就是同一個題目，

25、可能考慮多種不同的解法。強調一題多解，有利于培養(yǎng)學生綜合運用數(shù)學知識的能力。例如某些幾何問題可用代數(shù)法、三角法、解析法來解決等等。在解題時，要經(jīng)常注意引導學生從不同的方面，探求解題途徑，以求最正確解法。例如“某村方案修一條長米的路，前天完成了方案的，照這樣計算，完成這條路還需多少天？首先老師要學生用多種方法解。在學生沒有學習工程問題時，解法一般集中在以下三種上：×÷×÷天；÷×÷天；×÷×÷天。針對這些解法，老師要善于引導學生比擬三種方法的異同點，總結出“三種方法中都運用了全程米這一條件的共性。針對這一共性，老師可打破思維定勢，啟迪學生的新思維：“假設把米當作一條路用來表示，還可以怎樣解答？這一點撥，學生很容易發(fā)現(xiàn)如下解法：×÷天；÷÷天；÷天。綜上六種解法，顯然后三種解法尤其是解法，列式簡潔，想象豐富，充分可以顯示學生思維的靈活性。在課堂教學中，教師要善于激活學生的思維，使數(shù)學解題方法滲透與課堂教學的內容之中，真正從課堂上培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力。 三、教學中應引起注意的問題雖然以上談到許多的提高中學生數(shù)學解題能力的途徑，但在實踐中我們還是需要與實際情況相聯(lián)系