1、精品教案可編輯【金版學(xué)案】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明章末復(fù)習(xí)整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建_推 r& 理與一證明課新人教A版選修1-2綜合法一從已知條件出發(fā)直接證明_I分析法I反結(jié)論出發(fā)間接證明ii反正法從否定結(jié)論出發(fā)警示易錯提醒1 .進(jìn)行類比推理時，可以從問題的外在結(jié)構(gòu)特征，圖形的性質(zhì)或維數(shù).處理一類問題的方法.事物的相似性質(zhì)等入手進(jìn)行類比.要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯誤.2 .進(jìn)行歸納推理時，要把作為歸納基礎(chǔ)的條件變形為有規(guī)律的統(tǒng)一的形式，以便于作出歸納猜想.3 .推理證明過程敘述要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯關(guān)系清晰、不跳

2、步.4 .注意區(qū)分演繹推理和合情推理，當(dāng)前提為真時，前者結(jié)論一定為真，而后者結(jié)論可能為真也可能為假.合情推理得到的結(jié)論其正確性需要進(jìn)一步推證，合情推理中運用猜想時要有依據(jù).5 .用反證法證明數(shù)學(xué)命題時，必須把反設(shè)作為推理依據(jù).書寫證明過程時，一定要注意不能把“假設(shè)”誤寫為“設(shè)”，還要注意一些常見用語的否定形式.6 .分析法的過程僅需要尋求結(jié)論成立的充分條件即可，而不是充要條件.分析法是逆推證明，故在利用分析法證明問題時應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性.專題一合情推理合情推理包括歸納推理和類比推理，歸納推理是由部分到整體，由特殊到一般的推理,后面是由特殊到特殊的推理.但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，

3、具有發(fā)現(xiàn)功能，但推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明.例1(1)(2015陜西卷觀察下列等式：111_=一22111111111-_+ _-_+_-=_+_+_23456456據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為2S(2)設(shè)小BC的三邊長分別為 a,b,c,2BC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為,則r=一;；a+ b + c類比這個結(jié)論可知，四面體 ABCD的四個面的面積分別為S2, S3, S4,四面體ABCD的體積為V,內(nèi)切球半徑為 R,則R=解析：(1)由給出的等式看，左邊共有2n項且等式左邊分母分別為 1, 2, 3,，2n,分子均為1 ,且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù).等式的右邊共n項，且分母分別為11n +

4、 1, n+2, -Zn.分子均為1,因此猜想1十一 2 3111111+ = + +42n 12nn + 1n + 22n. .類比.一(2)三角形邊長二 四面體各面面積，三角形的面積類比 .四面體體積因此j R=3VS1 + S2+S3+S4111 =+.2 n-1 2n n+1 n + 22 n答案:(1)1十一一一+十2343V(2)RS1+S2+S3+S4歸納升華1 .歸納推理中，從特殊發(fā)現(xiàn)各項的變化規(guī)律，特別是各項的符號變化；從已知相同特征中推出一個明確表述的一般性命題.2.類比推理重在考察觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的探索性.變式訓(xùn)練(1)有一個奇數(shù)列1,3

5、,5,7,9,，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個數(shù)1;第二組含兩個數(shù)3,5;第三組含三個數(shù)7,9,11;第四組含四個數(shù)13,15,17,19；.則觀察每組內(nèi)各數(shù)之和f(n)(nCN*)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為(2)在平面幾何中，對于RtZABC,設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,則MBC的外接圓半徑為r=；,a2+b2,把上述結(jié)論類比到空間，寫出類似的結(jié)論.(1)解析：由于1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,，猜想第n組內(nèi)各數(shù)之和f(n)與組的編號數(shù)n的關(guān)系式為f(n)=n3.答案：f(n)=n3(2)解：取空間中三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A-B

6、CD且AB=a,AC=b,AD=c,則此四面體的外接球的半徑為R=1a2+b2+c2.專題二演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理方法，又叫邏輯推理，在前提和推理形式均正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確，演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲取.演繹推理的形式一般為“三段論”的形式，即大前提、小前提和結(jié)論.1例2已知函數(shù)f(x)=-x2+ainx(aeR).(1)若f(x)在1,e上是增函數(shù)，求a的取值范圍.(2)若a=1,1xe,證明：f(x)x2在1,e上恒成立，所以a-1.1(2)當(dāng)a=1時，f(x)=2x2+lnx,x1,e令F(x)=f(x)3x3=2x2+lnx-3x3,12(1x)(1+

7、x+2x2)又Fxx+x2xx0所以F(x)在1,e上是減函數(shù),12所以F(x)4(1)=_0,23所以xe1時，f(x)x3.3歸納升華數(shù)學(xué)中的演繹推理一般是以三段論的格式進(jìn)行的.三段論由大前提、小前提和結(jié)論三個命題組成，大前提是一個一般性原理，小前提給出了適合這個原理的一個特殊場合，結(jié)論是大前提和小前提的邏輯結(jié)果.1變式訓(xùn)練若定義在區(qū)間D上函數(shù)f（x）對于D上的幾個值“沖總滿足酉x1）X1+X2+Xn+ f(X2)+ + f(Xn)號稱函數(shù)f（x）為D上的凸函數(shù)，現(xiàn)已知f（x）=sinx在（0,X1 +X2+ + Xn兀）上是凸函數(shù)，則在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是1解

8、析：因為一f（X1）+f（X2）+f（Xn）fn因為f（X）=sinX在（0,兀）上是凸函數(shù),A+B+C所以f(A)+f(B)+f(C)fn,兀3y3即sinA+sinB+sinC0.+ 4,只需證21a十一 a1只需證4a2+a22a2+2+,也就是證明a2+2.a2上述不等式顯然成立，故原不等式成立.歸納升華綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法，但兩種證明方法思路截然相反，分析法即可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過程，分析法與綜合法可相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，要充分利用這一辯證關(guān)系，在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑.一般以分析法為主尋求解題思路，再用綜

9、合法有條理地表示證明過程.變式訓(xùn)練在那BC中，三個內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證：ABC為等邊三角形.證明：由A,B,C成等差數(shù)列，有2B=A+C.因為A,B,C為MBC的內(nèi)角，所以A+B+C=ti.兀由，得B=一3由a,b,c成等比數(shù)列，有b2=ac.由余弦定理及，可得b2=a2+c22accosB=a2+c2ac.再由，得a2+c2ac=ac,即(ac)2=0,因此a=c,從而有A=C.兀由，得A=B=C=,3所以4ABC為等邊三角形.專題四反證法的應(yīng)用(1)反證法是一種間接證明的方法，它的理論基礎(chǔ)是先否定命題，然后再證明命題的否

10、定是錯誤的，從而肯定原命題正確，它反映了“正難則反”的思想.(2)反證法著眼于命題的轉(zhuǎn)換，改變了研究的角度和方向，使論證的目標(biāo)更為明確，由于增加了推理的前提一一原結(jié)論的否定，更易于開拓思路，因此對于直接論證較為困難的時候，往往采用反證法證明.所以反證法在數(shù)學(xué)證明中有著廣泛的應(yīng)用.例4設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.(1)推導(dǎo)an的前n項和公式；(2)設(shè)qw1,證明數(shù)歹Uan+1不是等比數(shù)列.解：設(shè)an的前n項和為Sn,當(dāng)q=1時，Sn=ai+ai+ai=nai;當(dāng)qwi時，Sn=a1+aq+aq2+a1qnT,qSn=a1q+a1q2+aqn,一得，(1q)Sn=a1a1qn,a1(1qn),Sn=

11、,1 qSn =a1 (1 qn)q w1.(2)假設(shè)an+1是等比數(shù)列，則對任意kCN,有(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1)a2+1+2ak+1=akak+2+ak+ak+2+1,a2q2k+2a1qk=a1qk1a1qk+1+a1qk1+a1qk+1,.a1W0,，2qk=qk1+qk+1.,qw0,-q2-2q+1=0,.q=1,這與已知矛盾.假設(shè)不成立，故an+1不是等比數(shù)列.歸納升華1 .反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面進(jìn)行推理，就不是反證法.2 .推導(dǎo)出的矛盾多種多樣，有的與已知相矛盾

12、，有的與假設(shè)相矛盾，有的與已知事實相矛盾等等，推出的矛盾必須是明顯的.變式訓(xùn)練已知直線axy=1與曲線x2-2y2=1相交于P,Q兩點，證明：不存在實數(shù)a,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O.證明：假設(shè)存在實數(shù)a,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O,則OPXOQ.yiy2設(shè)P(xi,yi),Q(x2,y2),則一二=1,xix2所以(axi1)(ax21)=xix2,即(1+a2)xix2a(xi+x2)+1=0.由題意得(12a2)x2+4ax3=0,所以xi + x2 =4a1 _ 2 a2xi x2 =-31 2a2所以(1 + a2)一 3 一 4 a o a+1 -2a21 -2a2

13、1=0,則a2=-2,這是不可能的，所以假設(shè)不成立.故不存在實數(shù)a,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O.專題五轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用化歸為一類已經(jīng)解決或比較對任意實數(shù)p ， q 恒有af(p)轉(zhuǎn)化與化歸的思想就是在處理問題時，通過某種轉(zhuǎn)化過程，容易解決的問題，最終使問題化繁為簡、化難為易例5設(shè)f(x)=2x2+1,a+b=1,且a,b同號，求證：+bf(q)f(ap+bq)成立.證明：.f(x)=2x2+1,a+b=1.af(p)+bf(q)=a(2p2+1)+b(2q2+1),f(ap+bq)=2(ap+bq)2+1.又af(p)bf(q)f(apbq)=a(2p2+1)+b(2q2+1)-2(ap+bq)2-1=2ap2+2bq22a2p24abpq2q2b2=2ap2(1a)+2bq2(1b)-4abpq=2abp2+2abq2-4abpq=2ab(pq)2.因為a,b同號，所以2ab(pq)2R0.所以原不等式成立歸納升華本章內(nèi)容中轉(zhuǎn)化與化歸思想主要應(yīng)用于以下幾個方面：歸納推理中特殊到一般的轉(zhuǎn)化；演繹推理中一般到特殊的轉(zhuǎn)化；分析法中結(jié)論與條件的轉(zhuǎn)化；反證法中正難則反的轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)歸納法中無限與有限的轉(zhuǎn)化等.變式訓(xùn)練已知數(shù)列an滿足：a1=1,4an+ianan+2an=9(nCN).(1)求a2,a3,a4；(2)由(1)的結(jié)果猜想an用n表示的表達(dá)式.