1、習(xí)題22.1 把以下函數(shù)表示成指數(shù)傅里葉級數(shù),并畫出頻譜.(1) f(x)-rect(x-2n)(2)g(x)='tri(x-2n)2.2證實以下傅里葉變換關(guān)系式:Frect(x)rect(y)=sinc()sinc()；(2)F上(x)上(y)=sinc2()sinc2()；f1Y1、f代產(chǎn))；Fsgn(x)sgn(y).|_(而Fn(sinnx)；(6)Fte-"y)/a1.3 求x和xf(2x)的傅里葉變換.1.4 求以下函數(shù)的傅里葉逆變換,畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形.H()=tri(1)tri-(G()=rect(/3)rec1.5 證實以下傅里葉變換定理：11一(1

2、)在所在f(x,y)連續(xù)的點上FFf(x,y)=FFf(x,y)=f(x,y)；(2) Ff(x,y)h(x,y)=Ff(x,y)*F(g(x,y).2.6證實以下傅里葉-貝塞爾變換關(guān)系式：(1)假設(shè)f.(r)=8(r-r.),那么Bf,(r)=2加.(2詼P);(2)假設(shè)ar£1時f.(r)=1,而在其他地方為零,那么Bfr(r)=J1(27Tp)一：J1(271a*)；1(3)假設(shè)Bfr(r)=F(P),那么Bfr(r)；aa(4)Be-"2=ey:2.7 設(shè)g(r*)在極坐標(biāo)中可別離變量.證實假設(shè)f(r,H)=%()8叫那么：Ff(r)=(-i)meimHmfr(r)

3、qQ其中Hm為m階漢克爾變換：Hmfr(r)=24/rfr(r)Jm(2<P)dr.而(P陽空間頻率中的極坐oOiasinxikx標(biāo).(提小：e=乙k=>Jk(a)e)2.8 計算以下各式的一維卷積.x-1-(1) rect*、(2x3)(2) rectIx*、(x-4)*、(x1)x-1.(3) rect*comb(x).i欣,、(4) sinrect(x)2.9試用卷積定理計算以下各式.(1) sinc(x)*sinc(x)(2) Fsinc(x)sinc(2x)2.10 用寬度為a的狹縫,對平面上強度分布f(x)=2cos(2兀0x)掃描,在狹縫后用光電探測器記錄.求輸出強度

4、分布.2.11 利用梳狀函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示光柵的透過率.假定縫寬為a,光柵常數(shù)為d,縫數(shù)為N.2.12 計算下面函數(shù)的相關(guān).x1,x-1(1) rect.!rect.I(2)tri(2x-1)tri(2x-1)2.13 應(yīng)用傅里葉定理求下面積分.二一2,(1) Jecos(2Tiax)dx(2)J*nc(x)sin(Mdx2.14 求函數(shù)f(x)=rect(x)和f(x)=tri(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù).2.15試求以下圖所示函數(shù)的一維自相關(guān).2.16 試計算函數(shù)f(x)=rect(x-3)的一階矩.2.17 證實實函數(shù)f(x,y)的自相關(guān)是實的偶函數(shù),即：Rff(x,y)=Rff(x,y

5、).2.18 求以下廣義函數(shù)的傅里葉變換.(1) step(x)(2)sgn(x)(3)sin(2：iV0x)2.19 求以下函數(shù)的傅里葉逆變換,并畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形.(1) H(x)=tri(x1)-tri(x-1)(2)G(x)=rect(x/3)-rect(x)2.20 表達式xp(x,y)=g(x,y)*comb,XcombiyY定義了一個周期函數(shù),它在x方向上的周期為X,它在y方向上的周期為Y.“二-nm一,一XY(a)證實p的傅里葉變換可以寫為:Uo(x,y)nmxly2Bx2ByJ3.5定義:-xyco1T-TT-f(x,y)dxdy,由=f(0,0)-od1F(0.0)

6、00F(,)dd-co其中G是g的傅里葉變換.p(x,y)的圖形,并求出對應(yīng)的傅里葉變換(b)當(dāng)g(x,y)=rect2Irect12-|時,畫出函數(shù)P(tJ).習(xí)題33.1 設(shè)在一線性系統(tǒng)上加一個正弦輸入：g(x,y)=cos2#x+"y),在什么充分條件下,輸出是一個空間頻率與輸入相同的實數(shù)值正弦函數(shù)用系統(tǒng)適當(dāng)?shù)奶卣鞅硎境鲚敵龅恼穹拖辔?3.2 證實零階貝塞爾函數(shù)2Jo(2冊r)是任何具有圓對稱脈沖響應(yīng)的線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù).對應(yīng)的本征值是什么3.3 傅里葉系統(tǒng)算符可以看成是函數(shù)到其他變換式的變換,因此它滿足本章把提出的關(guān)系系統(tǒng)的定義.試問：(a)這個系統(tǒng)是線性的嗎(b)你是

7、否具體給出一個表征這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如果能夠,它是什么如果不能,為什么不能3.4 某一成像系統(tǒng)的輸入是復(fù)數(shù)值的物場分布Uo(x,y),其空間頻率含量是無限的,而系統(tǒng)的輸出是像場分布Ui(x,y).可以假定成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變換低通濾波器,其傳遞函數(shù)在頻域上的區(qū)間|“EBx,|'EBy之外恒等于零.證實,存在一個由點源的方形陣列所構(gòu)成的“等效物體U：(x,y),它與真實物體Uo產(chǎn)生完全一樣的像Ui,并且等產(chǎn)供效物體的場分布可寫成:cooOp"U0(,)sinc(n-2BX)sinc(m-2BY)ddn=：m=：；_一二,試證實:分別為原函數(shù)f(x,y)及其頻譜函數(shù)F(七

8、J)的“等效面積和“等效帶寬xy|_':'=1上式說明函數(shù)的“等效面積和“等效帶寬成反比,稱為傅里葉變換反比定理,亦稱面積計算定理.3.6 線性不變系統(tǒng)的輸入為：f(x)=comb(x).系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為rect/b).當(dāng)b=1和b=3時,求系統(tǒng)的輸出g(x),并畫出函數(shù)及其頻譜.3.7 對一個線性不變系統(tǒng),脈沖響應(yīng)為：h(x)=7sinc(7x)用頻率域方法對以下的每一個輸入t(x),求其輸出gi(x)(必要時,可取合理近似)：(1) f1(x)=cos4做(2)f2(x)=cos(4Mrect(x/75)(4)f4(x)=comb(x)*rect(2x)芯0x)=cos(2

9、芯0x)(3)f3(x)=1cos(8：x)rect(x/75)3.8 給定正實常數(shù)4和實常數(shù)a和b,求證:411一右|b|c乜,貝Usinc(x/b)*cos(220|b|(2)升1,1右|b|>貝Usinc(x/b)*cos(220|b|假設(shè)|b|qa|,那么sinc(x/b)*sinc(x/a)=|b|sinc(x/a)(4)假設(shè)|b|<回,那么sinc(x/b)*sinc2(x/a)=|b|sinc2(x/a)213.9 假設(shè)限帶函數(shù)f(x)的傅里葉變換在帶寬w之外恒為零,(1)如果|a|<一,證實:w1 -,E1,一一,一sin(x(a/)1=(f)x()(2)如果

10、|a|a一,上面的等式還成立嗎|a|w3.10 給定一個線性系統(tǒng),輸入為有限延伸的矩形波:g(x)=1comb(x/3)rect(x/100)x)假設(shè)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)：h(x)=rect(x-1).求系統(tǒng)的輸出,并繪出傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)、輸出及其頻譜的圖形.3.11 給定一線性不變系統(tǒng),輸入函數(shù)為有限延伸的三角波g(x)=1comb(x/2)rect(x/50)*tri(x)對以下傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出：(1) H()=rect(/2)(2)H()=rect(/4)-rect(/2)3.12 假設(shè)對函數(shù)：h(x)=asinc2(ax)抽樣,求允許的最大抽樣間隔.3.13 證實在頻率平面

11、上一個半徑為B的圓之外沒有非零的頻譜分量的函數(shù),遵從下述抽樣定理：g(x,y)=££g償4川2,奔廣吧馴n=：m=m、2B2B42TB(x-n/2B)2(y-m/2B)2習(xí)題44.1 尺寸為aMb的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明,求出緊靠零后的平面上透射光場的角譜.4.2 采用單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過率函數(shù)的孔徑,求菲涅耳衍射圖樣在孔徑軸上的強度分布：t(x0,y.)=circ(&+y2)(2)t(x0,y0)=,1,ax0+y0-10,其它4.3 余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為：t(x0)=abcos(2二Xo/d)式中,d為光柵的周期

12、,a>ba0.觀察平面與光柵相距z.當(dāng)z分別取下述值時,確定單色平面波垂直照明光柵,在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布.2d2z二4二.(2)4.4 參看以下圖,用向P點會聚的單色球面波照明孔徑工.P點位于孔徑后面距離為z的觀察平面上,坐標(biāo)為(0,b)o假定觀察平面相對孔徑的位置是在菲涅耳區(qū)內(nèi),證實觀察平面上強度分布是以P點為中央的孔徑的夫瑯禾費衍射圖樣.4.5 方向余弦為cosa,cosP,振幅為A的傾斜單色平面波照明一個半徑為a的圓孔.觀察平面位于夫瑯禾費區(qū),也孔徑相距為z0求衍射圖樣的強度分布.4.6 環(huán)形孔徑的外徑為2a,內(nèi)徑為28a(0名1).其透射率可以表示為：1, ；a_r0_at

13、(r°)=：0,其他用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑,求距離為z的觀察屏上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布.4.7 以下圖所示孔徑由兩個相同的圓孔構(gòu)成.它們的半徑都為a,中央距離為d(d»a)0采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑,求出相距孔徑為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布并畫出沿y方向截面圖.4.8 參看以下圖,邊長為2a的正方形孔徑內(nèi)再放置一個邊長為a的正方形掩模,其中央落在(匕力點.采用單位振幅的單色平面波垂直照射,求出與它相距為z的觀察平面上夫瑯禾費射圖樣的光場分布.畫出x'=y'=0時,孔徑頻譜在x方向上的截面圖4.9 以下圖所示孔徑由兩個

14、相同的矩孔構(gòu)成,它們的寬度為a,長度為b,中央相距d.采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布.假定b=4a及d=1.5a,畫出沿x和y方向上強度分布的截面圖.4.10 以下圖所示半無窮不透明屏的復(fù)振幅透過率可以用階躍函數(shù)表示,即:t(x0)=step(xo)采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏,求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的復(fù)振幅分布.畫出沿x方向的振幅分布曲線.4.11 以下圖所示為寬度為a的單狹縫,它的兩半局部之間通過相位介質(zhì)引入位相差冗.采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣強度分布.畫出沿x方向的

15、截面圖.4.12 線光柵的縫寬為a,光柵常數(shù)為d,光柵整體孔徑是邊長L的正方形.試對下述條件,分別確定a和d之間的關(guān)系：(1)光柵的夫瑯禾費衍射圖樣中缺少偶數(shù)級.(2)光柵的夫瑯禾費衍射圖樣中第三級為極小.4.13 衍射屏由兩個錯開的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成,其透過率可以表示為：t(x,y)=comtx(a/)co/b%/)comb&a0.10")»comb(/)采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布.畫出沿x方向的截面圖.4.14 如以下圖所示為透射式鋸齒形位相光柵.其折射率為n,齒寬為a,齒形角為q,光柵的整體孔徑為邊長為L的正方形.采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求相距光柵為z的觀察平