1、丘成桐： 如何做學問 今天很高興能夠在各位面前講講我做學問的經驗，可以供大家參考一下。我講 如何學好微分幾何的題目，主要是想跟大家講講有關于從前我做學問的態(tài)度，因為我是 做幾何的，所以我就講做微分幾何。很明顯的，大部份的同學不會選幾何，不過沒有關系 ，其實就是講講我做學問的態(tài)度。 首先，講講我從前的一些經驗。我從前在香港長大，在香港念中學、大學，然后到美國念 研究所，所以至少在前一半跟大家的經驗應該差不了太遠，不過是時代有點不同。我在多 年前念數(shù)學，你們現(xiàn)在念數(shù)學，看法上已經有許多不相同，事實上我也不太了解你們現(xiàn)在 的想法。不過基本上，我們都是中國文化出生的，所以我想仍有一部份共同的地方。基本

2、 上我們是要講怎么作科學研究，也就是純科學的研究，我們要看的是我們的志向是怎樣的 。假如我們想做一個好的科學家，當然我講的是怎么做一個好的數(shù)學家。先說我自己的經 驗，我從前在香港培正中學念中學的時候，就開始對數(shù)學有興趣。當然還有一些其它的課 程，我對數(shù)學有興趣，一方面是受到我家庭的影響，我父親是做哲學的，所以對于念數(shù)學 一直都相當鼓勵，到了中學以后，我父親去世了。不過也因此對于自然科學有很濃厚的興 趣。另一方面受老師的影響也很大。我想很重要的當我們開始要做一個學問，尤其是你真 的要做一個出色的科學家，跟你的興趣和你一開始所立下的志向有很大的關系。就是說， 開始的時候你期望能夠做到什么。假如說開

3、始的時候你根本不想做一個好的科學家，那么 你就永遠也不可能做一個好的科學家。從前有位大學老師跟我講說：假如你不買馬票， 你永遠也中不了。倒不是說我鼓勵你們去買馬票，是說假如你不準備做好的科學家，就 永遠也做不了一個好的科學家。不過是不是講，你想做一個好的科學家，你就可以做個好 的科學家呢？當然不是，你還要有很多其它的因素在里面，我想第一點是要你將做人的目 標先決定。 我在國外二十多年了，也教了不少的學生，有些在世界上算是很出名，但有些不是太行。 從這方面來講，比較好的學生和不好的學生我可以曉得不同的經驗。我想好的學生大部份 一開始就決定他要做到什么程度的科學家，從很早就可以看得出來，因為有了志

4、向以后， 才曉得怎么去用功、怎么去花時間在上面。這看起來倒是老生常談，因為你從小學、中學 到大學，大概很多老師都跟你講同樣的意見，可能你聽多了都覺得沒有什么意思，但是事 實上這是成功的第一個因素。我的一位老師跟我講，你要決定以后你想做什么，講明了， 不是為名就是為利。當時我很驚訝，老師為什么講這一句話。我們不能否定大部份的想法 不是為名就是為利，同時這個想法也推動了不少科學的研究。不過我們也曉得，單是為名 為利不可能將科學達到最高峰的研究，我們一定要對這個科學有濃厚的興趣。我們應當曉 得，做科學，我們有一個很純正的想法，就是對真理的追尋，在真理的背后有一個很漂亮 的境界在里面，我們到了一個境界

5、以后，對我們追求學問的人來講，是無法抗拒的，就算 是沒有名沒有利，我們也希望能夠將這個真理搞清楚。舉例來講，如果你喜歡下棋的話， 有時你會曉得下到一半的時候，結局會是怎樣，你非為名也非為利，當然可以講說你是為 了好勝，但是有時候你總是想追求，想曉得怎么解決這個問題。在科學上來講我們要追求 的是比這個高的境界。我為什么講為名為利這個事實呢？舉例來講，我們這幾年在哈佛大 學里教了幾個在大學里念數(shù)學念得很好的學生，可是到了畢業(yè)的時候，我曉得他們明明對 數(shù)學有很大的興趣，但是他們選取了完全不同的途徑，他們有些人寧愿選取做生意或是到 銀行里面做事。我并不反對你們去做生意、賺大錢，我失望的緣故是因為這些學

6、生明明是 對做學問興趣特別大，但是他們沒有辦法去抗拒賺錢的引誘而放棄了繼續(xù)做學問的前途， 有些人甚至過了幾年賺了錢，又想重新再做學問，但問題是無論你資質有多好，一般來講 你將做學問的機會放棄以后，再想重新做起將會遇到許多困難。并不是說不可能，也曾有 這種情形發(fā)生過，但是真正能夠達到的情形，幾乎是絕無僅有，做學問是不能中斷的。我 遇見過很多朋友，有些甚至是很有名的數(shù)學家，他們有些人會講我現(xiàn)在一方面做行政的工 作，一方面可以做學問，可是事實上，這是沒有辦法可以達到兩者兼顧的情形。我們曉得 做學問幾乎是全心全意的工作，當對證明追尋的時候，很難說受到其它外界的打擾，仍能 夠達到很高的成功的。以我的經驗

7、來講，在想問題的時候，晚上睡覺也在想這個問題，躺 在床上也在想，早上起床第一件事就是想這個問題。我并不是講你們也要這樣子，我是希 望你們在遇到一個問題要解決的時候，你要全力以赴，不可能在中間慢慢想一點而在其它 也可以花點功夫，這樣精神不集中的態(tài)度是不可能做好學問的。我想對大家做個建議，假 如你想做個真正的好科學家的話，就不能夠再往回走，假如你想做生意，那干脆一開始就 不要想這個問題，并不是你要做個好的教員就要照我剛才講的，要花這么多功夫，倒是要 念好科學這是很重要的，所以這是第一點，立志很重要。 第二點我要講的，我在國外多年，遇見過許多很出名的數(shù)學家，甚至許多有名的物理學家 我也見過許多。在我

8、認為并沒有一個是真正的像一般報紙上所講的是天才，在我所親身認 識的大科學家，都是經過很大的努力，才能夠達到他所達到的成就。我的學生問我：為 什么你做的比我好？，我說很簡單，我比你用功。我在辦公室或是在家里邊，我天天在 想問題，你們在外面玩，而我花了功夫在解決想了很久的問題，我總比你不想、不花時間 成就大一點。你可能去聽個大科學家或大數(shù)學家演講，你會覺得漂亮得不得了，怎么一個 人能夠講得這么好！這個人是個天才！可是你有沒有想到，他在后面準備花了多少時間想 這個問題？大概你們聽過最出名的科學家費因曼，費因曼物理注1漂亮得不得了，所 有出名的物理學家都這么講，去聽的人不是學生，都是老師或物理學家。費

9、因曼在準備費 因曼物理的時候是什么事都不做，就只有腦子在花功夫，整天在想這個問題，跟許多學生 不停的在談這個問題。費因曼是個有名的天才，可是他準備這個研究也花了許多不同的功 夫。我想很多出名的科學家在有所表現(xiàn)出不同的時候，你會覺得他是天才，事實上他用在 后面的功夫都是很不少的。 有許多很聰明很厲害的人可能是研究生甚至是教授，往往你給他一個問題，他可以很快給 你一個答案，同時是很不錯的一個答案。可是很多這樣出色的學生或是教授，過了很久以 后，你總會覺得他沒有做出很好的成績出來。問題是，你解決的問題太容易了；沒有再花 很多精神去考慮這個問題。尤其在我們中國人最缺乏的，就是在做中學生或是大學生的時

10、候，沒有將一個問題從頭到尾仔細考慮清楚，并沒有真正的全部了解，這是個很重要的問 題。從一個很小的問題，我們可以引發(fā)很多不同而且有意思的問題。思考要自己訓練，不 單是在聯(lián)考或在大學的時候，老師出個題目，你考了一百分就完了，假如這樣的話，你很 容易就滿足你自己，你不覺得問題有什么意思。往往出名的研究是在很平凡的問題里面， 不停的思考所找出來的，很多人因為很快將問題解決了，便不愿再想下去，所以不能夠再 啟發(fā)新的東西。科學的研究，不是解決人家已經曉得的問題。當一個科學家問一個好的問 題的時候，即是成功的一半。因為科學的推動是從不斷的找尋新的問題，新的方向出來的 ，解決從前的問題雖是個重要的推動方向，可

11、是我們還要找出新的方向，而不單是解決從 前的問題。我們知道在物理上解決問題的時候，往往大的或出名的公式是將前面固定的理 論推翻，而找出新的路子。為什么大數(shù)學家或大物理學家能夠做到這個地步呢？因為他們 不斷的問問題。有時候在一般人來講很明顯的問題，在出名的科學家看起來，就不見得很 明顯。為什么不明顯呢？因為我們有不同層次的問題要一路考慮下去。問問題的能力是一 個很重要的訓練，并不是花很多功夫就可做到，我想在我們中國的小學、中學或大學里都 沒有很好的做到這一點，我想從小應該做到這一點的。 現(xiàn)在我們來看數(shù)學跟其它物理、化學或生物等實驗科學有那些不同？物理或化學等科學是 從一般實驗、現(xiàn)象界所找的題目，

12、最后再經過實驗的證實，才能算是個成功的理論。理論 物理學家可以發(fā)展很多不同漂亮的理論，但最后假如不能夠在實驗里做出來的話，對物理 學家來講就是一篇廢話。數(shù)學家有個好處。就是說，我們做了學問，一方面大部份是從一 般的科學里面產生給我們的，一方面可以當作文學作品來欣賞。我們的取材多采多姿，一 方面是比較基本的，從自然界或物理上的基本粒子、廣義相對論、重力場去拿出很多基本 的大自然的問題。這方面對近代幾何學上的影響很大，另一方面可從比較沒那么基本的理 論里發(fā)生出來。所謂不基本，并不是說不重要。我們要了解到我們有些問題是從工業(yè)界來 的，譬如說做飛機、做螺絲，甚至做流體變動的問題，都是可產生許多有趣的幾

13、何問題或 是數(shù)學問題。例如說機械人手怎么去拿東西？這都可以看做是基本的幾何問題，物理學家 不一定有興趣，可是數(shù)學家卻有很大的興趣。另外我們也可以對與實際問題不相近的問題 產生興趣，我們對一個圖畫得漂不漂亮，我們也可以在數(shù)學上研究。幾何在數(shù)學上的取材 有三個不同方向：第一是從基本自然界里產生的問題。從基本粒子、重力場到電磁波基本 上如何產生的種種重要幾何問題，從表面上你看不出來為什么它跟幾何有關，但事實上近 代物理將很多這種基本場論的問題變成幾何問題，對微分幾何來講有很大的貢獻。第二是 剛才所講，工業(yè)界與古典力學出了很多很重要的幾何問題。第三就是純粹從美的觀點來找 問題。舉例來講，從數(shù)論里面找了

14、許多很漂亮的問題，尤其是近十或二十年來，大部份重 要的數(shù)論問題大多是用幾何的方法來解決的，這是幾何在數(shù)學上三個重要的取材方向。 我為什么講取材的問題呢？因為很多中學生或大學生在念幾何或是某些數(shù)學課程的時候， 認為我們念那個學科就念那個學科就夠了，而不要念其它的學問，這是個很錯誤的觀念。 因為數(shù)學里面每一門的學問都有密切關聯(lián)的，不單是數(shù)學，其實所有的理論科學中間都有 很密切的關系。例如我們剛剛所講的，高能物理與數(shù)學的關系，或是化學甚至生物都跟數(shù) 學有很大的關系，所以我想怎么學幾何呢？第一點是當你決定好要做一個好的幾何學家時 ，你一定要廣泛的學不同的學問，基礎要比較廣，如微分方程、代數(shù)、物理學以及

15、其它學 科，至少在心理上有個準備，就是說這些學科將來是對你有幫助的。你聽起來會覺得這是 很困難的事情，你不可能學會這么多種不同的學問。這主要的分別就是你要有一個層次， 你的?？剖悄且环矫?，就要多學一點，但不可忘掉其它的學科。有時在某個意義下，我們 可以很驚訝的看到同一個學問、同一個命題，在兩個不同的學科里面，可以以不同的方法 出現(xiàn)，就是說以不同的方法證明。我想主要的原因是根本上這兩個學科的分別并不是很大 。在幾十年前有個出名的物理學家說數(shù)學有不可思議的力量。為什么數(shù)學能夠在物理上有 這么大的影響呢？因為從物理學家的看法，數(shù)學家祇是在玩一些簡單的符號，純粹是在家 里想一些自己的問題，與自然界的關

16、系好象不大，其實這是個錯誤的想法。我們數(shù)學家研 究的問題是很具體的，只是有不同的層次，所以有點不同而已。舉例來說我們研究微分幾 何上一個最簡單的圖形-圓球，這圓球可以說是一個抽象的觀念，我們也可以說它是自然 界很具體的一部份。也就是說我們將所研究的圓球視為自然界的一部份，其實跟物理的現(xiàn) 象差不了太遠的。尤其在現(xiàn)代的高能物理里，我們研究基本粒子，尤其到了量子力學的觀 念以后，因為能量已經到了很高的地步，所以有很多根本沒有辦法做實驗，所以基本上也 是在家里或課堂里或辦公室里用紙筆來算，這跟數(shù)學家想象的差不了太遠。假如物理學家 可以這么做，表示數(shù)學家也能夠坐在家里面而對自然界達到某種程度的了解。 為

17、什么我要講這些呢？這些與微分幾何有什么關系呢？我要講的是你在選題的時候，我們 雖然有個自由度對于選題與自然界無關，但是我們也有一個限度在里面，假如我們選的問 題與現(xiàn)實相差太遠，最后我們的命題會被淘汰掉。在歷史上出現(xiàn)很多不同的研究，過了十 年、二十年后就完全被淘汰的。你看現(xiàn)在的圖書館里面有許多的文章出現(xiàn)，不過再過個十 年八年以后，我想大部份的文章是會被淘汰掉的，根本在整個數(shù)學歷史上起不了任何作用 。這是因為很多的文章實在沒有解決問題，其次是對我們研究的對象沒有產生任何效果。 所以雖然我們數(shù)學界不用時間來做證明，可是我們有某種程度的測試。一般來講，證的很 好的數(shù)學，二十年或五十年內都可以看到它在現(xiàn)

18、實里出現(xiàn)幫助。我們曉得在這個二十年以 來，從前許多不重要的問題，在今日的工程上發(fā)生很大的影響。舉例來講，從前在數(shù)論里 對于質數(shù)的搜查這個問題，這完全是一個無聊的命題。就是說一個很大的數(shù)，你怎么將它 因子分解得很快。近十多年來，在國防科學上這問題變成一個重要的命題，有許多國防科 學家在做這方面的研究，所以說數(shù)學上的選題很重要。為什么因子分解很重要呢？表面上 看來跟真正的用途好象沒有什么關聯(lián)，可是它是一個很自然的問題，一個很大的整數(shù)它怎 么分解，很快地，表面上并不重要，但可以幫助我們了解質數(shù)的分布情形，所以我說選題 是一個很重要的問題。我記得從前我們在做大學生的時候，花了很多功夫去念一些文章與 參

19、考書，有些對數(shù)學來講是很無意義的，可是反過來說因為花了很多功夫，所以可以了解 到有些問題比較重要，有些問題比較不重要，所以花的功夫并沒有白費。 其次我們講做一個學生應該是怎么一個看法。對于做數(shù)學或做微分幾何來講，我覺得研究 的氣氛很要緊，尤其在中國的環(huán)境里，好象是不太容易培養(yǎng)出這種氣氛來。假如你旁邊的 朋友或同學跟你談的都是其它的問題，譬如說股票漲了或跌了或其它問題，久而久之，你 大概對于做學問也沒有很大的興趣，所以培養(yǎng)做學問的態(tài)度與你交的朋友、跟的老師的關 系很大。如果你們時常討論學術上的問題，你就不會覺得自己很孤單，能夠激勵你對數(shù)學 上有更大的興趣。假如你自暴自棄，就是說你認為自己不能夠在

20、數(shù)學上做研究，不能夠在 數(shù)學上達到貢獻的話，你永遠也達不到，而且同時也影響到你旁邊的朋友，使得大家都不 能向前走。我們曉得許多出名的數(shù)學家甚至在牢里也可以寫一些出名的文章，倒不是你永 遠關在牢里就能做好的文章，是說人在最困難的時候也可以做研究。除了氣氛很重要外， 你也需要得到先進的支持，從前我們念中學的時候，念了很多關于做學問的方法，從前覺 得很好笑，以后念書念得多了以后就覺得這些很重要，事實上這些是很重要的經驗。有句 話說學而不思則罔，思而不學則怠，你單是學而不想是不行的，你單是想而不學也是 不行的，這兩句話看起來很簡單，其實就是怎么分配你的學習跟思想，這是一個很微妙很 重要的問題。一個人無

21、論你多用功多天才，你假如不將前人做過的東西去體驗去學習，是 不可能做好的。這道理很簡單，一個人的智能有限，我們不可能與前面十年、五年所有人 做過的加起來的智能相比，我們要靠前人的經驗，要靠他們的啟發(fā)，才能夠向前邁進，雖 然有人自夸的講比他們加起來都行，我不相信這種情形，也沒見過這種情形。所以出名的 貢獻如愛因斯坦、牛頓的貢獻，也是在前人的成果方面再向前走一大步或一小步。所以學 是一定要的，可是如果你學過這個東西以后而不去思考，不去消化，就算你可以考第一， 考一百分，但是你不想是絕對沒有用的。我們看過很多出名的天才，十二歲就拿到學士學 位，甚至拿了很高分，可是往往我們看不出他以后的成就。為什么很多所謂的天才在以后 的科學發(fā)展里沒有任何的貢獻？這是因為他們沒有思考，沒有思考在科學上完全不會引起 任何的波瀾、任何的貢獻，對于整個科學完全沒有好處。所以學了以后一定要思考