山東省臨沂市2019屆高三數(shù)學模擬考試試題 文（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡集合，再根據(jù)包含關系列不等式求解即可.【詳解】因為，且，所以，即實數(shù)的取值范圍為，故選C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法以及集合子集的定義，屬于基礎題.2.已知，其中是實數(shù)，則復數(shù)在復平面內對應的點位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，利用復數(shù)相等的條件求得，從而可得結果.【詳解】由，得，即，復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限，故選B.【點睛】復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模這些重要概念以及復數(shù)相等的性質，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.3.某中學高一年級560人，高二年級540人，高三年級520人，用分層抽樣的方法抽取部分樣本，若從高一年級抽取28人，則從高二、高三年級分別抽取的人數(shù)是（ ）A. 27 26B. 26 27C. 26 28D. 27 28【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系，從而可得到結論.【詳解】設從高二、高三年級抽取的人數(shù)分別為，則滿足，得，故選A.【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用，屬于基礎題. 分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質是每個層次，抽取的比例相同.4.已知函數(shù)則的值為（ ）A. B. 2C. D. 9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出的值，從而可得的值.【詳解】因為，所以，所以，故選D.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰. 當出現(xiàn)的形式時，應從內到外依次求值5.已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，且其漸近線方程為，則該雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出拋物線的焦點，即可得雙曲線的焦點，可得到的值，結合雙曲線的漸近線方程可以設雙曲線的方程為,由雙曲線的幾何性質可得 , 可解得,將代入所設雙曲線的方程即可得結果.【詳解】因為拋物線的焦點為，所以雙曲線的右焦點也為,則有，因為雙曲線的漸近線方程為,所以可設其方程為,因為,則 ,解得，則雙曲線的方程為,故選B .【點睛】本題主要考查拋物線的方程與與性質，以及雙曲線的方程與性質，屬于中檔題. 求解雙曲線方程的題型一般步驟：（1）判斷焦點位置；（2）設方程；（3）列方程組求參數(shù)；（4）得結論.6.在中，為的三等分點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可得，由，為的三等分點，結合向量運算的三角形法則可得，再利用平面向量數(shù)量積的運算法則可得結果.【詳解】因為，所以，化為，因為，所以，又因為，為的三等分點，所以，故選C.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算以及平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題. 向量數(shù)量積的運算主要掌握兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.7.某產(chǎn)品近期銷售情況如下表：月份23456銷售額（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得回歸方程為，據(jù)此估計，該公司8月份該產(chǎn)品的銷售額為（ ）A. 19.05B. 19.25C. 19.5D. 19.8【答案】D【解析】【分析】由已知表格中的數(shù)據(jù)求得,代入線性回歸方程求得,再在回歸方程中取求得值即可.【詳解】,得，取，得，故選D.【點睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，明確線性回歸方程恒過樣本中心點是關鍵，屬于基礎題.8.已知等比數(shù)列中，前三項之和，則公比的值為（ ）A. 1B. C. 1或D. 【答案】C【解析】【分析】先驗證合題意，時，利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式列方程求解即可.【詳解】等比數(shù)列中，前三項之和，若，符合題意；若，則，解得，即公比的值為1或，故選C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式，屬于中檔題. 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關性質和公式，并靈活應用，在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.9.已知滿足約束條件且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】畫出可行域,令,利用線性規(guī)劃求的最小值,再由不等式恒成立列不等式，求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由約束條件，作出可行域如圖，令,平移直線則當直線過點時，直線的縱截距最大，有最小值,因為不等式恒成立,所以,即，故選A.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值以及不等式恒成立問題，屬于中檔題. 求目標函數(shù)最值一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.10.下列命題中：若命題，則，；將的圖象沿軸向右平移個單位，得到的圖象對應函數(shù)為；“”是“”的充分必要條件；已知為圓內異于圓心的一點，則直線與該圓相交.其中正確的個數(shù)是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】利用特稱命題的否定判斷；利用三角函數(shù)圖象的平移變換法則判斷；利用基本不等式以及充分條件與必要條件的定義判斷；利用直線與圓的位置關系以及點到直線距離公式判斷.【詳解】對于，若命題，則，；故正確；對于，將的圖象沿軸向右平移個單位，得到的圖象對應函數(shù)為，故錯誤；對于，“”是“”的充分必要條件，故正確；對于，因為為圓內異于圓心的一點，則，所以圓心到直線的距離，所以該直線與該圓相離，故錯誤，故選C.【點睛】本題主要考查的知識要點：特稱命題的否定，直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，三角函數(shù)圖象的平移變換法則，基本不等式的應用,意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.11.意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：，即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結構”、化學等都有著廣泛的應用若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2019項的和為（ ）A. 672B. 673C. 1346D. 2019【答案】C【解析】【分析】求出已知數(shù)列除以2所得的余數(shù)，歸納可得是周期為3的周期數(shù)列，求出一個周期中三項和，從而可得結果.【詳解】由數(shù)列各項除以2的余數(shù)，可得為，所以是周期為3的周期數(shù)列，一個周期中三項和為，因為，所以數(shù)列的前2019項的和為，故選C.【點睛】本題主要考查歸納推理的應用，考查了遞推關系求數(shù)列各項的和，屬于中檔題.利用遞推關系求數(shù)列中的項或求數(shù)列的和：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.12.如圖是某幾何體的三視圖，則過該幾何體頂點的所有截面中，最大截面的面積是（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后結合面積公式求解面積的最大值即可.【詳解】由三視圖可知其對應的幾何體是一個半圓錐，且圓錐的底面半徑為，高，故俯視圖是一個腰長為2，頂角為的等腰三角形，易知過該幾何體頂點的所有截面均為等腰三角形，且腰長為2，頂角的范圍為，設頂角為，則截面的面積：，當時，面積取得最大值.故選：A.【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體的方法，三角形面積公式及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.二、填空題.13.向量，若，則_.【答案】【解析】【分析】先求出與的坐標，再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求解即可.【詳解】向量，所以，又因為，所以，即，解得，故答案為.【點睛】利用向量的位置關系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.14.橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，過的直線交橢圓于，兩點，的周長為8，則該橢圓的短軸長為_.【答案】【解析】【分析】由的周長為8，利用橢圓的定義可得的值，再根據(jù)離心率為求出的值，從而求得的值，進而可得結果.【詳解】因為的周長為8，所以， 因離心率為，所以，由,解得，則該橢圓的短軸長為，故答案為.【點睛】本題主要考查橢圓的定義以及橢圓的離心率，意在考查對基礎知識的掌握與靈活應用，屬于中檔題.15.正三角形邊長為2，將它沿高翻折，使點，間的距離為，則四面體外接球的表面積為_【答案】【解析】試題分析：四面體在如下圖所示的長方體中，其外接球即為長方體的外接球，半徑，表面積為；故填考點：1.球與多面體的組合；2.球的表面積公式.16.函數(shù)與的圖象上存在關于軸的對稱點，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】函數(shù)與的圖象上存在關于軸的對稱點，轉化為與的圖象有交點，等價于的圖象有交點，利用導數(shù)的幾何意義，結合函數(shù)圖象即可得結果.【詳解】關于軸對稱的函數(shù)為，因為函數(shù)與的圖象上存在關于軸的對稱點，所以與的圖象有交點，方程有解，即有解，時符合題意，時轉化為有解，即的圖象有交點，是過定點的直線，其斜率為，設相切時，切點的坐標為，則，解得，切線斜率為，由圖可知，當，即且時，的圖象有交點，此時，與的圖象有交點，函數(shù)與的圖象上存在關于軸的對稱點，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為，故答案為.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的應用，考查了導數(shù)的幾何意義、函數(shù)與方程思想、轉化思想的應用，屬于難題. 轉化是數(shù)學解題的靈魂，合理的轉化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將存在對稱點問題轉化為函數(shù)交點問題是解題的關鍵.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.在中，角，所對的邊分別為， （1）求證：；（2）若，的外接圓面積為，求的周長【答案】(1)見證明；(2) .【解析】【分析】（1）由，利用誘導公式、兩角和與差的正弦公式化簡可得，從而可得結論；（2）利用圓的面積公式可求得三角形外接圓半徑，利用同角三角函數(shù)的關系與正弦定理可得，結合（1），利用余弦定理列方程求得，從而可得結果.【詳解】（1），.在中，（2）設的外接圓半徑為，由已知得，由得，解得，的周長為.【點睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，是的中點（1）求證：平面平面；（2）若，三棱錐的體積為，求四棱錐的側面積【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）由平面可得， 由底面是菱形可得，從而得平面，進而可得結論；（2）設菱形的邊長為，在中，利用余弦定理求得，利用勾股定理求得，由棱錐的體積公式可得，求出各側面的面積即可得結果.【詳解】（1）平面，平面， 又底面是菱形，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面.（2）設菱形邊長為，在中，又平面，又， ，.又平面，四棱維的側面積等于【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理以及棱錐的側面積，屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理.19.甲、乙兩人參加一個射擊的中獎游戲比賽，在相同條件下各打靶50次，統(tǒng)計每次打靶所得環(huán)數(shù)，得下列頻數(shù)分布表環(huán)數(shù)345678910甲的頻數(shù)0147141662乙的頻數(shù)1256101682比賽中規(guī)定所得環(huán)數(shù)為1，2，3，4時獲獎一元，所得環(huán)數(shù)為5，6，7時獲獎二元，所得環(huán)數(shù)為8，9時獲獎三元，所得環(huán)數(shù)為10時獲獎四元，沒命中則無獎（1）根據(jù)上表，在答題卡給定坐標系內畫出甲射擊50次獲獎金額（單位：元）的條形圖；（2）估計甲射擊1次所獲獎至少為三元的概率；（3）要從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽，請你根據(jù)甲、乙兩人所獲獎金額的平均數(shù)和方差作出選擇【答案】(1)見解析；(2) ； (3)派甲參賽比較好.【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)可得甲50次獲獎金額（單位：元）的頻數(shù)，從而可畫出條形圖；（2）甲射擊一次所獲獎金至少為三元，即打靶所得環(huán)數(shù)至少為8，由表格得到甲所得環(huán)數(shù)至少為8的次數(shù)，利用古典概型概率公式可得結果；（3）利用平均數(shù)公式算出甲、乙50次獲獎金的平均數(shù)， 利用方差公式算出甲、乙50次獲獎金額的方差，根據(jù)平均數(shù)與方差的實際意義可得結論.【詳解】（1）依題意知甲50次獲獎金額（單位：元）的頻數(shù)分布為獲獎金額1234頻數(shù)125222其獲獎金額的條形圖如下圖所示（2）甲射擊一次所獲獎金至少為三元，即打靶所得環(huán)數(shù)至少為8，因為甲所得環(huán)數(shù)至少為8的有（次）所以估計甲射擊一次所獲獎金至少為三元的概率為.（3）甲50次獲獎金的平均數(shù)為， 乙50次獲獎金的平均數(shù)為， 甲50次獲獎金額的方差為.乙50次獲獎金額的方差為.甲、乙的平均數(shù)相等.甲的方差小，故派甲參賽比較好.【點睛】本題主要考查條形圖的應用，古典概型概率公式的應用以及平均數(shù)與方差的實際意義，屬于中檔題. 樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù),樣本方差，標準差.20.已知直線過圓的圓心且平行于軸，曲線上任一點到點的距離比到的距離小1（1）求曲線的方程；（2）過點 （異于原點）作圓的兩條切線，斜率分別為，過點作曲線的切線，斜率為，若成等差數(shù)列，求點的坐標【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由已知可得點到的距離等于到直線的距離，即曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，從而可得結果；（2）結合（1）可設，則，設過點所作圓的兩切線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑可得，也適合，由韋達定理，結合成等差數(shù)列，可得，解方程即可得結果.【詳解】（1）易知直線，曲線上任一動點到點的距離比到的距離小1，點到的距離等于到直線的距離，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，設拋物線方程，曲線的方程為.（2）由（1）知曲線，設，則，曲線上過點的切線方程為，即，設過點所作圓的兩切線方程為：，即：，又，即，*.同理也適合*式，故，是方程的兩個不相等的根，成等差數(shù)列，解得，點的坐標為.【點睛】本題主要考查拋物線的軌跡方程以及直線與拋物線的位置關系，屬于難題. 求軌跡方程的常見方法有:直接法，設出動點的坐標，根據(jù)題意列出關于的等式即可；定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；逆代法，將代入.21.已知函數(shù)，其中為常數(shù)（1）若直線是曲線的一條切線，求實數(shù)的值；（2）當時，若函數(shù)在上有兩個零點求實數(shù)的取值范圍【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）設切點， 由題意得，解方程組即可得結果；（2）函數(shù)在上有兩個零點等價于，函數(shù) 的圖象與直線有兩個交點，設，利用導數(shù)可得函數(shù)在處取得極大值，結合，從而可得結果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，曲線在點處的切線方程為. 由題意得 解得，.所以的值為1.（2）當時，則，由，得，由，得，則有最小值為，即，所以，由已知可得函數(shù) 的圖象與直線有兩個交點，設，則，令，由，可知，所以在上為減函數(shù)，由，得時，當時，即當時，當時，則函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在處取得極大值，又，所以，當函數(shù)在上有兩個零點時，的取值范圍是，即.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求切線斜率及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，屬于難題. 應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導數(shù)；(2) 己知斜率求切點即解方程；(3) 巳知切線過某點(不是切