第7章線性離散控制系統(tǒng) 內(nèi)容提要 采樣 離散 控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于采樣系統(tǒng)中既包含有連續(xù)信號 又包含有離散信號 是一個混和信號系統(tǒng) 分析和設計采樣系統(tǒng)的數(shù)學工具是Z變換 采用的數(shù)學模型是差分方程 脈沖傳遞函數(shù) 本章介紹采樣控制系統(tǒng)即線性離散控制系統(tǒng)理論與前幾章討論的連續(xù)控制系統(tǒng)的控制理論不同 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)間的根本區(qū)別在于 連續(xù)系統(tǒng)中的控制信號 反饋信號以及偏差信號都是連續(xù)型的時間函數(shù) 模擬信號 而在離散系統(tǒng)中則不然 在一般情況下 控制系統(tǒng)中至少有一處或幾處信號在時間上為離散的脈沖或數(shù)字信號 7 1基本概念 爐溫自動控制系統(tǒng)原理圖 當爐溫偏離給定值時 熱敏電阻的阻值發(fā)生變化 使電橋失去平衡 檢流計指針發(fā)生偏移 轉(zhuǎn)角為S 同步電機帶動凸輪使檢流計指針上下周期性地運動 檢流計指針每隔T秒與電信號接觸一次 每次接觸時間為 秒 此時電位器輸出是一串寬度 周期為T的脈沖電壓信號 用表示 信號僅僅在檢流計指針與電位器接觸時才能通過 它經(jīng)過放大器 電動機 減速器控制爐門角度來改變氣體的進氣量 使爐溫趨于給定值 當檢流計離開電位器時 有誤差信號 但執(zhí)行電機不動作 相當于開關(guān)斷開 爐溫采樣控制系統(tǒng)示意圖 檢流計的輸出是連續(xù)偏差信號 而通過指針 電位器的輸出為離散信號 即連續(xù)信號 經(jīng)采樣周期為T的采樣開關(guān)變?yōu)橐幌盗忻}沖信號 數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 數(shù)字控制系統(tǒng) 分析離散系統(tǒng)可以采用Z變換法 或狀態(tài)空間法 Z變換法和線性定常離散系統(tǒng)的關(guān)系 恰似拉氏變換法和線性定常連續(xù)系統(tǒng)的關(guān)系 因此 Z變換法是分析單輸入 單輸出線性定常離散系統(tǒng)的有力工具 它是本章的重點內(nèi)容 狀態(tài)空間法特別適用于多輸入 多輸出線性離散系統(tǒng)的分析 離散控制系統(tǒng)的特點由數(shù)字計算機構(gòu)成的數(shù)字校正裝置 比連續(xù)式校正裝置好 且控制規(guī)律易于通過軟件編程改變 控制功能強 采樣信號 特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲 從而顯著提高了系統(tǒng)的抗干擾能力 同時信號傳遞和轉(zhuǎn)換精度高 允許采用高靈敏度的控制元件 以提高系統(tǒng)的控制精度 可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng) 提高了設備的利用率 經(jīng)濟性好 容易實現(xiàn)一些復雜的控制算法和實現(xiàn) 最優(yōu)控制 對于具有傳輸延遲 特別是大滯后的控制系統(tǒng) 可以引入采樣的方式使之穩(wěn)定 綜合問題的性能指標函數(shù)可分為優(yōu)化型和非優(yōu)化型性能指標 離散控制系統(tǒng)的研究方法研究連續(xù)線性系統(tǒng)所用的方法 例如拉氏變換 傳遞函數(shù)和頻率特性等不再適用 通過z變換這個數(shù)學工具 可以把我們以前學習過的傳遞函數(shù) 頻率特性 根軌跡法等概念應用于離散控制系統(tǒng) z變換具有和連續(xù)系統(tǒng)中拉氏變換同等的作用 是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學工具 與連續(xù)系統(tǒng)對比 只是運用了不同的數(shù)學工具 所研究的內(nèi)容范圍一樣 7 2采樣過程與采樣定理 7 2 1采樣過程 實現(xiàn)采樣控制首先遇到的問題 就是如何把連續(xù)信號變換為脈沖序列 信號 的問題 按一定的時間間隔對連續(xù)信號進行采樣 將其轉(zhuǎn)換為相應的脈沖序列的過程稱為采樣過程 實現(xiàn)采樣過程的裝置叫采樣器或采樣開關(guān) 采樣器可以用一個周期性閉合的開關(guān)來表示 其間隔周期為T 每次閉合時間為 實際上 由于采樣持續(xù)時間 通常遠小于采樣周期T 也遠小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù) 因此 在分析采樣系統(tǒng)時 可近似認為 趨近于0 在這種條件下 當采樣開關(guān)的輸入信號為連續(xù)信號e t 時 其輸出信號e t 是一個脈沖序列 采樣瞬時e t 的幅值等于相應瞬時e t 的幅值 即e 0T e T e 2T e nT 如圖所示 采樣過程 采樣過程可以看成是一個脈沖調(diào)制過程 理想的采樣開關(guān)相當于一個單位理想脈沖序列發(fā)生器 它能夠產(chǎn)生一系列單位脈沖 采樣開關(guān)相當于一個單位脈沖發(fā)生器 采樣信號的調(diào)制過程如圖所示 采樣信號的調(diào)制過程 調(diào)制器 載波 脈沖序列的拉普拉斯變換表達式 若用j 代替s 得脈沖序列的頻域表達式 2 采樣過程的數(shù)學描述 另外 還可得脈沖序列的另一種表示形式 單位脈沖序列是周期為T的周期函數(shù) 其采樣頻率 可展開成付里葉級數(shù) 脈沖序列的另一種拉普拉斯變換表達式 若用j 代替s 得的頻域表達式 采樣定理 shannon香農(nóng)采樣定理 給出了從采樣的離散信號恢復到原連續(xù)信號所必需的最低采樣頻率 所以在設計離散控制系統(tǒng)時是很重要的 7 2 2采樣定理 從采樣過程及信號頻譜的變化 給出采樣定理 上式表明 采樣信號的拉氏變換式E s 是以 s為周期的周期函數(shù) 另外 上式表示了采樣函數(shù)的拉氏變換式E s 與連續(xù)函數(shù)拉氏變換式E s 之間的關(guān)系 連續(xù)信號e t 經(jīng)采樣后的脈沖信號表達式 通常E s 的全部極點均位于S平面的左半平面 因此可用j 代替上式中的復變量s 直接求得采樣信號的頻率特性 上式即為采樣信號的頻譜函數(shù) 它反映了離散信號頻譜和連續(xù)信號頻譜之間的關(guān)系 一般說來 連續(xù)函數(shù)的頻譜是孤立的 其帶寬是有限的 即上限頻率為有限值 連續(xù)函數(shù)的頻譜 而離散函數(shù)e t 則具有以 s為周期的無限多個頻譜 在離散函數(shù)的頻譜中 n 0的部分E j T稱為主頻譜 它對應于連續(xù)信號的頻譜 除了主頻譜外 E j 還包含無限多個附加的高頻頻譜 1 若時 采樣信號頻譜的各頻譜分量彼此不發(fā)生重疊 2 若時 采樣信號頻譜的各頻譜分量彼此相互重疊 為了準確復現(xiàn)采樣的連續(xù)信號 必須使采樣后的離散信號的頻譜彼此不重疊 這樣就可以用一個比較理想的低通濾波器 濾掉全部附加的高頻頻譜分量 僅僅保留主頻譜 由圖可見 相鄰兩頻譜互不重迭的條件是 如果滿足條件 采樣后的離散信號e t 經(jīng)理想濾波器上 則在濾波器的輸出端將不失真地復現(xiàn)原連續(xù)信號 幅值相差l T倍 倘若 s 2 max 則會出現(xiàn)相鄰頻譜的重疊現(xiàn)象 這時 即使用理想濾波器也不能將主頻譜分離出來 因而就難以準確復現(xiàn)原有的連續(xù)信號 對一個具有有限頻譜為的連續(xù)信號采樣 當采樣頻率的條件下 采樣后的離散信號e t 才有可能無失真地恢復到原來的連續(xù)信號 它給出了無失真地恢復原有連續(xù)信號的條件 所以成為設計采樣系統(tǒng)的一條重要依據(jù) 香農(nóng) Shannon 采樣定理 實際中應注意兩點 1 如果是以非周期連續(xù)函數(shù)的信號 即頻譜中的最高頻率是無限的 采用信號損失允許值來近似處理 2 采樣定理給出了采樣頻率的最低限度 但采樣頻率也不能過大 實現(xiàn)有困難 同時干擾影響也增大 7 3采樣信號保持器 實現(xiàn)采樣控制遇到的另一個重要問題 是如何把采樣信號恢復為原連續(xù)信號 根據(jù)采樣定理 在滿足 s 2 max的條件下 離散信號的頻譜彼此互不重疊 這時 就可以用理想濾波器濾去高頻頻譜分量 保留主頻譜 從而無失真地恢復原有的連續(xù)信號 理想濾波器頻率特性 理想濾波器實際上是不能實現(xiàn)的 因此 必須尋找在特性上接近理想濾波器 而且在物理上又是可以實現(xiàn)的濾波器 在采樣系統(tǒng)中廣泛采用的保持器就是這樣一種實際的濾波器 保持器是一種時域的外推裝置 即根據(jù)過去或現(xiàn)在的采樣值進行外推 通常把具有恒值 線性和拋物線外推規(guī)律的保持器分別稱為零階 一階和二階保持器 其中最簡單 最常用的是零階保持器 7 3 1零階保持器 零階保持器是一種按照恒值規(guī)律外推的保持器 它把前一采樣時刻nT的采樣值e nT 恒定不變保持到下一采樣時刻 n 1 T 其輸入信號和輸出信號的關(guān)系如圖 零階保持器的輸出信號是階梯信號 它與要恢復的連續(xù)信號是有區(qū)別的 包含有高次諧波 若將階梯信號的各中點連接起來 可以得到比連續(xù)信號滯后T 2的曲線 這反映了零階保持器的相位滯后特性 零階保持器的傳遞函數(shù) 零階保持器頻率特性 零階保持器具有如下特性 低通濾波特性 由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減 說明零階保持器基本上是一個低通濾波器 但與理想濾波器特性相比 在 s 2 其幅值只有初值的63 7 且截止頻率不止一個 所以零階保持器允許主要頻譜分量通過外 還允許部分高頻分量通過 從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波 相角特性 由相頻特性可見 零階保持器要產(chǎn)生相角遲后 且隨 的增大而加大 在 s 2時 相角遲后可達 180 從而使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差 時間遲后 零階保持器的輸出為階梯信號eh t 其平均響應為e t T 2 表明輸出比輸入在時間上要遲后T 2 相當于給系統(tǒng)增加一個延遲時間為T 2的延遲環(huán)節(jié) 對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利 7 4Z變換 線性連續(xù)系統(tǒng)用線性微分方程來描述 可以應用拉氏變換的方法來分析其動態(tài)及穩(wěn)態(tài)過程 線性采樣系統(tǒng)中包含離散信號 用差分方程來描述 同樣可以應用一種Z變換的方法來進行分析 Z變換是由拉氏變換引伸出來的一種變形 7 4 1Z變換定義 設連續(xù)時間函數(shù)f t 的拉氏變換為F s 連續(xù)時間函數(shù)f t 經(jīng)采樣周期為T的采樣開關(guān)后 變成離散信號f t 離散信號的拉氏變換為 上式中各項均含有e kTs因子 為便于計算定義一個新變量z esT 其中T為采樣周期 z是復數(shù)平面上定義的一個復變量 通常稱為z變換算子 得到以z為自變量的函數(shù)F z 是相互補充的兩種變換形式 前者表示s平面上的函數(shù)關(guān)系 后者表示z平面上的函數(shù)關(guān)系 若所示級數(shù)收斂 則稱F z 是f t 的z變換 記為Z f t F z 應該指出 式所表示的z變換只適用于離散函數(shù) 或者說只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性 而不能反映其在采樣時刻之間的特性 人們習慣上稱F z 是f t 的z變換 指的是經(jīng)過采樣后f t 的z變換 采樣函數(shù)f t 所對應的z變換F z 是唯一的 但是 一個離散函數(shù)f t 所對應的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的 而是有無窮多個 7 4 2Z變換方法 求離散函數(shù)的z變換方法有很多 介紹其中三種 1 級數(shù)求和法 由離散函數(shù) 及其拉氏變換 根據(jù)z變換的定義有 已知函數(shù)在采樣時刻kT k 0 1 2 3 4 的采樣值便可求取離散函數(shù)z變換的級數(shù)展開式 對常用離散函數(shù)的z變換應寫成級數(shù)的閉合形式 例1 試求函數(shù)f t 1 t 的z變換 解 f kT 1 kT 1 k 0 1 2 3 例2 試求函數(shù)f t e at的z變換 2 部分分式法設連續(xù)函數(shù)f t 的拉氏變換式為有理函數(shù) 可以展開成部分分式的形式 即 式中pi為F s 的極點 Ai為常系數(shù) 對應的時間函數(shù)為其Z變換為 可見 f t 的Z變換為 利用部分分式法求z變換時 先求出已知連續(xù)時間函數(shù)f t 的拉氏變換F s 然后將有理分式函數(shù)F s 展成部分分式之和的形式 最后求出 或查表 給出每一項相應的z變換 例3 求的Z變換 例4 求f t sin t的Z變換 解 的原函數(shù)為 其Z變換為 3 留數(shù)計算法 已知連續(xù)信號f t 的拉氏變換F s 及它的全部極點 可用下列的留數(shù)計算公式求F z 函數(shù)在極點處的留數(shù)計算方法 若Si為ri重極點 則 若Si為單極點 則 解 F s 的極點為單極點 例5已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 應用留數(shù)計算法求F z 例6 求 t 0 的Z變換 解 F s 有兩個s 0的極點 即 若對于任意常數(shù)a和b 則有 7 4 3Z變換的基本定理 1 線性定理 若連續(xù)函數(shù)x t 當t 0時 x t 0 且 2 實數(shù)位移定理又稱平移定理 則有 及 定理表明 原函數(shù)在時域中延遲k個采樣周期 相當于其z變換乘以 3 復域位移定理 若則有 定理的含義是 函數(shù)x t 乘以指數(shù)函數(shù)e at的Z變換 等于在x t 的Z變換表達式X z 中 以取代原算子z 例 試用復數(shù)位移定理計算函數(shù)te at的Z變換 解 令x t t 查附表知 根據(jù)復數(shù)位移定理 有 4 復數(shù)微分定理 若Z x t X z 則 5 初值定理 若Z x t X z 且當t 0時 x t 0則 6 終值定理 若Z x t X z 且 z 1 X z 的全部極點位于Z平面的單位圓內(nèi) 則 例 設Z變換函數(shù)為試用終值定理確定穩(wěn)態(tài)值 解 由終值定理得 7 卷積定理 若 稱為兩個采樣信號的離散卷積 且 則有 7 4 4Z反變換 與拉氏反變換類似 z反變換可表示為 下面介紹三種常用的z反變換法 1 長除法 2 部分分式法 3 留數(shù)法 7 5離散系統(tǒng)的數(shù)學模型 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型有差分方程 脈沖傳遞函數(shù)和離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式三種 7 5 1線性定常離散系統(tǒng)差分方程 1 差分的定義一階前向差分的定義為二階前向差分定義為n階前向差分定義為 同理一階后向差分為n階后向差分為 一個方程中除含有函數(shù)本身外 還有函數(shù)的差分 此方程為差分方程 即 2 差分方程 對于輸入為r t 輸出為c t 的線性定常離散系統(tǒng) 其差分方程為 3 差分方程的解 1 迭代法 2 z變換法用z變換法解差分方程 類似拉斯變換解微分方程 z變換將差分方程變?yōu)閦變量的代數(shù)方程 通過z反變換 就可求出差分方程的解 例 系統(tǒng)的差分方程為c k 2 3c k 1 2c k 0初始條件c 0 0 c 1 1 試求c k 解 迭代法 由差分方程得c k 2 3c k 1 2c k 當k 0時 c 2 3c 1 2c 0 3k 1時 c 3 3c 2 2c 1 7k 2時 c 4 3c 3 2c 2 15 Z變換法 方程兩邊取z變換得 代入初始條件并整理得 Z反變換得 k 0時 c 0 0k 1時 c 1 1k 2時 c 2 3k 3時 c 3 7k 4時 c 4 15 7 5 3脈沖傳遞函數(shù) z傳遞函數(shù) 在線性連續(xù)系統(tǒng)中 我們把初始條件為零下系統(tǒng) 或環(huán)節(jié) 輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變拉之比 定義為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 并用它來描述系統(tǒng) 或環(huán)節(jié) 的特性 與此相類似 在線性離散系統(tǒng)中 把初始條件為零下系統(tǒng) 或環(huán)節(jié) 的輸出離散信號的Z變換與輸入離散信號的z變換之比 定義為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)G z 又稱為z傳遞函數(shù) 脈沖傳遞函數(shù)是離散系統(tǒng)的一個重要概念 是分析離散系統(tǒng)的有力的數(shù)學工具 1 脈沖傳遞函數(shù)的定義 在零初始條件下 線性定常離散系統(tǒng)的離散輸出信號z變換C z 與離散輸入信號z變換R z 之比 稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G z 或z傳遞函數(shù) 應該指出 多數(shù)實際采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號 如圖所示 在這種情況下 可以在輸出端虛設一個采樣開關(guān) 并設它與輸入采樣開關(guān)以相同的采樣周期T同步工作 這樣就可以沿用脈沖傳遞函數(shù)的概念 在連續(xù)系統(tǒng)中 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應的拉普拉斯變換 同樣 對離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應的z變換 2 脈沖傳遞函數(shù)的求法 1 根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義 若已知系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G s 或系統(tǒng)脈沖響應g t 則系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G z 為 2 若已知系統(tǒng)的差分方程 在零初始條件下 差分方程式兩邊求z變換 輸出的z變換和輸入的z變換之比即為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 即 例12 若采樣系統(tǒng)的差分方程為 試求其脈沖傳遞函數(shù) 解 對差分方程兩邊進行z變換 并令初始條件為零 有 例13系統(tǒng)如圖 其中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為 試求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 解 由z變換公式得 3 采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 對于離散系統(tǒng) 由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同 即使系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)完全相同 求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也會截然不同 1 采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性 2 采樣函數(shù)的拉氏變換與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換相乘后再離散化 則可以從離散符號中提出來 即 1 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時 等效開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的z變換 2 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時 等效開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積 3 帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 設有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)如圖 a 所示 經(jīng)簡單變換為如圖 b 所示等效開環(huán)系統(tǒng) 有零階保持器時 開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 例14設離散系統(tǒng)為具有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng) 解 求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G z 4 采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 在采樣系統(tǒng)中 由于設置采樣器方式是多種多樣的 所以閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式也不是統(tǒng)一的 下圖是比較常見的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 圖中輸出端的采樣開關(guān)是為了方便于分析而虛設的 另一虛線開關(guān)是等效的 典型離散閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 由圖中信號關(guān)系得 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù) 與連續(xù)系統(tǒng)類似 令或的分母多項式為零 便可得到離散系統(tǒng)的特征方程 需要指出 離散閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能從和直接求Z變換得來 即 通過與上面類似的方法可以導出采樣器為不同配置形式的其它閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 但只要誤差信號e t 處沒有采樣開關(guān) 則輸入采樣信號r t 就不存在 此時不能寫出閉環(huán)系統(tǒng)對于輸入量的脈沖傳遞函數(shù) 而只能求出輸出采樣信號的Z變換函數(shù)C z 例14設閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示 試證其閉環(huán)脈沖傳函為 離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 證明 例15設閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 試求其輸出采樣信號的z變換函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解 由圖可得 離散化有 取Z變換有 7 6采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 7 6 1采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件 在線性連續(xù)系統(tǒng)中 判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性是根據(jù)特征方程的根在s平面的位置 若系統(tǒng)特征方程的所有根均在s平面左半平面 則系統(tǒng)穩(wěn)定 對線性離散系統(tǒng)進行了Z變換以后 對系統(tǒng)的分析要采用Z平面 因此需要弄清這兩個復平面的相互關(guān)系 1 s域到z域的映射 復變量s和z的相互關(guān)系為z esT 式中T為采樣周期 s域中的任意點可表示為 映射到z域則為 于是 s域到z域的基本映射關(guān)系式為 設復變量s在S平面上沿虛軸移動 這時s j 對應的復變量 后者是Z平面上的一個向量 其模等于1 與頻率 無關(guān) 其相角為 T 隨頻率 而改變 可見 S平面上的虛軸映射到Z平面上 為以原點為圓心的單位圓 當s位于S平面虛軸的左邊時 為負數(shù) 小于1 反之 當s位于s平面虛軸的右半平面時 為正數(shù) 大于1 s平面的左 右半平面在z平面上的映像為單位圓的內(nèi) 外部區(qū)域 Z平面和S平面的對應關(guān)系 S 線性采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 2 線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 線性采樣系統(tǒng)的特征方程為 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根 1 2 n 即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點 在z域中 離散系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件是 當且僅當離散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi) 或者所有特征根的模均小于1 相應的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的 7 6 2離散系統(tǒng)勞斯穩(wěn)定判據(jù) 對于線性連續(xù)系統(tǒng) 可以應用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 但是 對于線性采樣系統(tǒng) 直接應用勞斯判據(jù)是不行的 因為勞斯判據(jù)只能判別特征方程的根是否在復變量s平面虛軸的左半部 對于離散系統(tǒng) 必須采用一種新的變換 使z平面上的單位圓 在新的坐標系中的映象為虛軸 這種新的坐標變換 稱為雙線性變換 也稱為W變換 復變函數(shù)z與w雙線性變換公式 令 或 式中z和w均為復變量 分別把它們表示成實部和虛部相加的形式 即 對應關(guān)系 1 對于w平面上的虛軸 即u 0 則對應z平面以原點為圓心的單位圓上 2 z平面上單位圓內(nèi) 對應于w平面u為負 即虛軸的左半平面 3 Z平面上單位圓外 對應于w平面u為正 即虛軸的右半平面 Z平面和W平面的對應關(guān)系 對于線性采樣系統(tǒng)經(jīng)過雙線性變換后 可以使用勞斯判據(jù)了 例16設閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示 其中采樣周期T 0 1s 試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的變化范圍 解 求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 代入上式 得 系統(tǒng)特征方程為 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 化簡后 得W域特征方程 列勞斯表 從勞斯表第一列系數(shù)可以看出 為保證系統(tǒng)穩(wěn)定 必須使K 0 2 736 0 632K 0 即0 K 4 33 7 7采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 線性連續(xù)系統(tǒng)的計算穩(wěn)態(tài)誤差方法都可以推廣到采樣系統(tǒng)中來 設單位反饋采樣系統(tǒng)如圖所示 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G z 由圖可得給定信號r t 作用下誤差的z域表達式 利用z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差 上式表明 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與G z 及輸入信號的形式有關(guān) 與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似引出離散系統(tǒng)型別的概念 由于的關(guān)系 線性連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G s 在s 0處極點的個數(shù)v作為劃分系統(tǒng)型別的標準 可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G z 在z 1處極點的數(shù)目v作為離散系統(tǒng)的型別 稱v 0 1 2 的系統(tǒng)為0型 I型 II型離散系統(tǒng) 典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 1 單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 式中稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù) 對0型離散系統(tǒng) 沒有z 1的極點 則Kp 從而ess 0 對I型 II型以上的離散系統(tǒng) 有一個或一個以上z 1的極點 則Kp 從而ess 0 因此 在單位階躍函數(shù)作用下 0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時存在位置誤差 I型或II型以上的離散系統(tǒng) 在采樣瞬時沒有位置誤差 這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似 2 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 式中稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù) 對于0型系統(tǒng)的kv 0 I型系統(tǒng)的為有限值kv 常數(shù) II型和II型以上系統(tǒng)的kv 有如下結(jié)論 0型離散系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)作用 I型離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差 II型和II型以上離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差 3 單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 式中稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 由于0型及I型系統(tǒng)的ka 0 II型系統(tǒng)的為常值 III型及III型以上系統(tǒng)ka 因此有如下結(jié)論成立 0型及I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)作用 II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用于下存在加速度誤差 只有III型及III型以上的離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下 才不存在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)位置誤差 在三種典型輸入信號作用下 離散系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)的計算與連續(xù)系統(tǒng)非常相似 但離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外 還與系統(tǒng)的采樣周期T有關(guān) 7 8采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應與脈沖傳遞函數(shù)零 極點分布的關(guān)系 一 閉環(huán)零 極點分布與瞬態(tài)響