第3章 3 1空間向量與立體幾何 3 1 5空間向量的數(shù)量積 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解空間向量坐標(biāo)的概念 會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo) 2 掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律 并會(huì)判斷兩個(gè)向量是否共線或垂直 3 掌握空間向量的模 夾角公式和兩點(diǎn)間距離公式 并能運(yùn)用這些知識(shí)解決一些相關(guān)問題 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角 1 文字?jǐn)⑹?a b是空間兩個(gè)非零向量 過空間任意一點(diǎn)O 作 a b 則叫做向量a與向量b的夾角 記作 2 圖形表示 AOB a b 0 銳角 3 范圍 a b 4 空間向量的垂直 如果 a b 那么稱a與b互相垂直 記作 直角 0 a b 思考 知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積 兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量 還是向量 數(shù)量 由數(shù)量積的定義a b a b cos a b 知其為數(shù)量而非向量 答案 梳理 1 定義 設(shè)a b是空間兩個(gè)非零向量 把數(shù)量叫做a b的數(shù)量積 記作 a b 即a b 2 運(yùn)算律 a b cos a b a b cos a b b a a b a b a c 3 坐標(biāo)表示 已知非零向量a b a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 則 a b a b a cos a b x1x2 y1y2 z1z2 a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0 知識(shí)點(diǎn)三空間中兩點(diǎn)間的距離公式 思考 空間兩點(diǎn)間的距離公式與兩點(diǎn)順序有關(guān)嗎 空間兩點(diǎn)間的距離是同名坐標(biāo)的差的平方和的算術(shù)平方根 因此空間兩點(diǎn)間的距離公式與兩點(diǎn)順序無關(guān) 答案 梳理 在空間直角坐標(biāo)系中 設(shè)A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則AB 題型探究 類型一空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 命題角度1空間向量的數(shù)量積基本運(yùn)算例1 1 下列命題是否正確 正確的請(qǐng)給出證明 不正確的給予說明 p2 q2 p q 2 解答 此命題不正確 p2 q2 p 2 q 2 而 p q 2 p q cos p q 2 p 2 q 2 cos2 p q 當(dāng)且僅當(dāng)p q時(shí) p2 q2 p q 2 p q p q p2 q2 解答 此命題不正確 p2 q2 p q p q p q p q cos p q p q 當(dāng)且僅當(dāng) p q p q 時(shí) p2 q2 p q p q 若a與 a b c a c b均不為0 則它們垂直 解答 此命題正確 a a b c a c b a a b c a a c b a b a c a b a c 0 且a與 a b c a c b均為非零向量 a與 a b c a c b垂直 2 設(shè) a b 120 a 3 b 4 求 a b 解答 a b a b cos a b a b 3 4 cos120 6 3a 2b a 2b 解答 3a 2b a 2b 3 a 2 4a b 4 b 2 3 a 2 4 a b cos120 4 b 2 3a 2b a 2b 3 9 4 3 4 4 16 27 24 64 61 1 已知a b的模及a與b的夾角 直接代入數(shù)量積的公式計(jì)算 2 如果欲求的是關(guān)于a與b的多項(xiàng)式形式的數(shù)量積 可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項(xiàng)式展開 再利用a a a 2及數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1已知a b均為單位向量 它們的夾角為60 那么 a 3b a 3b 2 a 3b 2 a2 6a b 9b2 1 6 cos60 9 13 a 3b 答案 解析 命題角度2利用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的運(yùn)算問題例2已知長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 AD 4 E為側(cè)面ABB1A1的中心 F為A1D1的中點(diǎn) 試計(jì)算 則 a c 2 b 4 a b b c c a 0 解答 解答 解答 兩向量的數(shù)量積 其運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量 而不是向量 零向量與任意向量的數(shù)量積為0 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1 求 解答 解答 類型二利用數(shù)量積求夾角或模 命題角度1利用數(shù)量積求夾角例3已知BB1 平面ABC 且 ABC是 B 90 的等腰直角三角形 ABB1A1 BB1C1C的對(duì)角線都分別相互垂直且相等 若AB a 求異面直線BA1與AC所成的角 解答 AB BC BB1 AB BB1 BC 又 異面直線所成的角是銳角或直角 異面直線BA1與AC所成的角為60 反思與感悟 利用向量求異面直線夾角的方法 如圖 取直線l的方向向量a 同時(shí)取向量 跟蹤訓(xùn)練3已知 PO PA分別是平面 的垂線 斜線 AO是PA在平面 內(nèi)的射影 l 且l OA 求證 l PA 證明 命題角度2利用數(shù)量積求模 或距離 例4如圖所示 在平行六面體ABCD A1B1C1D1中 AB 1 AD 2 AA1 3 BAD 90 BAA1 DAA1 60 求AC1的長(zhǎng) 解答 因?yàn)?BAD 90 BAA1 DAA1 60 利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離 可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題 其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量 將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式 求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模 利用公式 a 求解即可 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練4如圖 已知線段AB 平面 BC CD BC DF 平面 且 DCF 30 D與A在 的同側(cè) 若AB BC CD 2 求A D兩點(diǎn)間的距離 解答 類型三利用空間向量的數(shù)量積解決垂直問題 因?yàn)镺B OC AB AC OA OA 所以 OAC OAB 所以 AOC AOB 例5如圖 在空間四邊形OABC中 OB OC AB AC 求證 OA BC 證明 反思與感悟 1 證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量 看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直 2 證明與空間向量a b c有關(guān)的向量m n垂直的方法 先用向量a b c表示向量m n 再判斷向量m n的數(shù)量積是否為0 跟蹤訓(xùn)練5已知向量a b滿足 a 2 b 且a與2b a互相垂直 則a與b的夾角為 45 答案 解析 a與2b a垂直 a 2b a 0 即2a b a 2 0 2 a b cos a b a 2 0 又 a b 0 180 a與b的夾角為45 當(dāng)堂訓(xùn)練 2 3 4 5 1 b c 2 2 5 a b c 4 6 5 3 1 若a 2 3 1 b 2 0 3 c 0 2 2 則a b c 的值為 答案 解析 3 2 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b與2a b互相垂直 則k的值是 依題意得 ka b 2a b 0 所以2k a 2 ka b 2a b b 2 0 而 a 2 2 b 2 5 a b 1 所以4k k 2 5 0 解得k 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 4 已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2 E F分別為BC AD的中點(diǎn) 則EF的長(zhǎng)為 2 3 4 5 1 12 22 12 2 1 2 cos120 0 2 1 cos120 2 答案 解析 5 已知A 2 5 1 B 2 2 4 C 1 4 1 則向量與的夾角為 2 3 4 5 1 答案 解析 1 在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟 1 首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式 2 利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展