7 1二元一次不等式 組 與簡單的線性規(guī)劃問題 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 1 一般地 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax By C 0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的 我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域邊界直線 當(dāng)我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫不等式Ax By C 0所表示的平面區(qū)域時(shí) 此區(qū)域應(yīng)邊界直線 則把邊界直線畫成 2 因?yàn)榘阎本€Ax By C 0同一側(cè)的所有點(diǎn) x y 代入Ax By C 所得的符號(hào)都 所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn) x0 y0 作為測(cè)試點(diǎn) 由Ax0 By0 C的即可判斷Ax By C 0表示的是直線Ax By C 0哪一側(cè)的平面區(qū)域 3 由幾個(gè)不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分 平面區(qū)域 不包括 包括 實(shí)線 相同 符號(hào) 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 2 線性規(guī)劃的相關(guān)概念 線性約束條件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 2 點(diǎn)P1 x1 y1 和P2 x2 y2 位于直線Ax By C 0的兩側(cè)的充要條件是 Ax1 By1 C Ax2 By2 C 0 3 常見目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 3 z x a 2 y b 2 z表示可行域內(nèi)的點(diǎn) x y 和點(diǎn) a b 間的距離的平方 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 2 3 4 1 5 1 判斷下列結(jié)論是否正確 正確的畫 錯(cuò)誤的畫 1 不等式x y 1 0表示的平面區(qū)域一定在直線x y 1 0的上方 2 兩點(diǎn) x1 y1 x2 y2 在直線Ax By C 0異側(cè)的充要條件是 Ax1 By1 C Ax2 By2 C 0 3 任何一個(gè)二元一次不等式組都表示平面上的一個(gè)區(qū)域 4 線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上 5 在目標(biāo)函數(shù)z ax by b 0 中 z的幾何意義是直線ax by z 0在y軸上的截距 答案 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 2 3 4 1 5 答案 解析 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 2 3 4 1 5 答案 解析 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 2 3 4 1 5 答案 解析 知識(shí)梳理 考點(diǎn)自測(cè) 2 3 4 1 5 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 答案 1 C 2 D 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 思考如何確定二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 解題心得確定二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域的方法 1 直線定界 特殊點(diǎn)定域 即先作直線 再取特殊點(diǎn)并代入不等式 組 若滿足不等式 組 則不等式 組 表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域 否則就表示直線與特殊點(diǎn)異側(cè)的那部分區(qū)域 2 當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí) 邊界畫為實(shí)線 不帶等號(hào)時(shí) 邊界應(yīng)畫為虛線 特殊點(diǎn)常取原點(diǎn) 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 1 在平面直角坐標(biāo)系中 若不等式組 a為常數(shù) 所表示的平面區(qū)域的面積等于2 則a的值為 A 5B 1C 2D 3 2 如圖陰影部分表示的平面區(qū)域可用二元一次不等式組表示為 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 其面積為2 AC 4 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 1 4 代入ax y 1 0 解得a 3 故選D 2 兩條直線方程分別為x 2y 2 0與x y 1 0 把x 0 y 0代入x 2y 2得2 可知直線x 2y 2 0右下方所表示的二元一次不等式為x 2y 2 0 把x 0 y 0代入x y 1得 1 可知直線x y 1 0右上方所表示的二元一次不等式為x y 1 0 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考向1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2 2017全國 理14 設(shè)x y滿足約束條件則z 3x 2y的最小值為思考怎樣利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 答案 5 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考向2已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的取值例3設(shè)x y滿足不等式組若z ax y的最大值為2a 4 最小值為a 1 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 A 1 2 B 2 1 C 3 2 D 3 1 思考如何利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其取值范圍 答案 B 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 解析 由z ax y得y ax z 如圖 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域 陰影部分 則A 1 1 B 2 4 由題意與圖可知 直線z ax y過點(diǎn)B時(shí) 取得最大值為2a 4 過點(diǎn)A時(shí) 取得最小值為a 1 若a 0 則y z 此時(shí)滿足條件 若a 0 k a0 則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足 a kAC 2 即 2 a 0 綜上 2 a 1 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 答案 1 C 2 3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 解析 1 如圖 作出不等式組所表示的可行域 陰影部分 設(shè)可行域內(nèi)任一點(diǎn)P x y 則x2 y2的幾何意義為 OP 2 顯然 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí) 取得最大值 所以x2 y2的最大值為32 1 2 10 故選C 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考向4最優(yōu)解不唯一的條件下求參數(shù)的值例5已知x y滿足約束條件若z y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一 則實(shí)數(shù)a的值為 答案 解析 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 解題心得1 利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法 利用約束條件作出可行域 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)找到最優(yōu)解時(shí)的點(diǎn) 解得點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可 2 利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍的方法 1 若限制條件中含參數(shù) 依據(jù)參數(shù)的不同范圍將各種情況下的可行域畫出來 尋求最優(yōu)解 確定參數(shù)的值 2 若線性目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù) 可對(duì)線性目標(biāo)函數(shù)的斜率分類討論 以此來確定線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過哪個(gè)頂點(diǎn)取得最值 從而求出參數(shù)的值 也可以直接求出線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過各頂點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值 然后進(jìn)行檢驗(yàn) 找出符合題意的參數(shù)值 3 利用可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法 畫出可行域 分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是斜率問題還是距離問題 依據(jù)幾何意義可求得最值 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 解析 1 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示 結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z 2x y的幾何意義 可得z在點(diǎn)B 6 3 處取得最小值 即zmin 12 3 15 故選A 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 2 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖 陰影部分 則A 2 0 B 1 1 若z ax y過點(diǎn)A時(shí)取得最大值為4 則2a 4 解得a 2 此時(shí) 目標(biāo)函數(shù)為z 2x y 即y 2x z 平移直線y 2x z 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A 2 0 時(shí) 截距最大 此時(shí)z最大為4 滿足條件 若z ax y過點(diǎn)B時(shí)取得最大值為4 則a 1 4 解得a 3 此時(shí) 目標(biāo)函數(shù)為z 3x y 即y 3x z 平移直線y 3x z 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A 2 0 時(shí) 截距最大 此時(shí)z最大為6 不滿足條件 故a 2 故選B 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 例6電視臺(tái)播放甲 乙兩套連續(xù)劇 每次播放連續(xù)劇時(shí) 需要播放廣告 已知每次播放甲 乙兩套連續(xù)劇時(shí) 連續(xù)劇播放時(shí)長 廣告播放時(shí)長 收視人次如下表所示 已知電視臺(tái)每周安排的甲 乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘 廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘 且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍 分別用x y表示每周計(jì)劃播出的甲 乙兩套連續(xù)劇的次數(shù) 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 1 用x y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式 并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域 2 問電視臺(tái)每周播出甲 乙兩套連續(xù)劇各多少次 才能使總收視人次最多 答案 1 由已知 x y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分 圖1 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 思考利用線性規(guī)劃求解實(shí)際問題的一般步驟是什么 解題心得利用線性規(guī)劃求解實(shí)際問題的一般步驟 1 認(rèn)真分析并掌握實(shí)際問題的背景 收集有關(guān)數(shù)據(jù) 2 將影響該問題的各項(xiàng)主要因素作為決策量 設(shè)未知量 3 根據(jù)問題的特點(diǎn) 寫出約束條件 4 根據(jù)問題的特點(diǎn) 寫出目標(biāo)函數(shù) 并求出最優(yōu)解或其他要求的解 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲 乙兩種新型材料 生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1 5kg 乙材料1kg 用5個(gè)工時(shí) 生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0 5kg 乙材料0 3kg 用3個(gè)工時(shí) 生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元 生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元 該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg 乙材料90kg 則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下 生產(chǎn)產(chǎn)品A 產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元 答案 216000 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 2 線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的常見類型及解題策略 1 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得 因此對(duì)于一般的線性規(guī)劃問題 我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn) 然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值 從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值 2 由目標(biāo)函數(shù)的最