一 變力沿直線(xiàn)所作的功 二 液體的側(cè)壓力 三 引力問(wèn)題 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 一 變力沿直線(xiàn)所作的功 設(shè)物體在連續(xù)變力F x 作用下沿x軸從x a移動(dòng)到 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行 求變力所做的功 在其上所作的功元 素為 因此變力F x 在區(qū)間 上所作的功為 例1 一個(gè)單 求電場(chǎng)力所作的功 解 當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)r時(shí) 由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為 則功的元素為 所求功為 位正電荷沿直線(xiàn)從距離點(diǎn)電荷a處移動(dòng)到b處 a b 在一個(gè)帶 q電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下 例2 試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功 解 建立坐標(biāo)系如圖 在任一小區(qū)間 上的一薄層水的重力為 這薄層水吸出桶外所作的功 功元素 為 故所求功為 KJ 設(shè)水的密度為 KN 一蓄滿(mǎn)水的圓柱形水桶高為5m 底圓半徑為3m 面積為A的平板 二 液體側(cè)壓力 設(shè)液體密度為 深為h處的壓強(qiáng) 當(dāng)平板與水面平行時(shí) 當(dāng)平板不與水面平行時(shí) 所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決 平板一側(cè)所受的壓力為 小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng) 例3 的液體 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力 解 建立坐標(biāo)系如圖 所論半圓的 利用對(duì)稱(chēng)性 側(cè)壓力元素 端面所受側(cè)壓力為 方程為 一水平橫放的半徑為R的圓桶 內(nèi)盛半桶密度為 說(shuō)明 當(dāng)桶內(nèi)充滿(mǎn)液體時(shí) 小窄條上的壓強(qiáng)為 側(cè)壓力元素 故端面所受側(cè)壓力為 三 引力問(wèn)題 質(zhì)量分別為 的質(zhì)點(diǎn) 相距r 二者間的引力 大小 方向 沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線(xiàn) 若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 則需用積分解決 例4 設(shè)有一長(zhǎng)度為l 線(xiàn)密度為 的均勻細(xì)直棒 其中垂線(xiàn)上距a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M 該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 解 建立坐標(biāo)系如圖 細(xì)棒上小段 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 故垂直分力元素為 在 試計(jì)算 利用對(duì)稱(chēng)性 棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力 故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為 99考研 思考與練習(xí) 提示 作x軸如圖 1 為清除井底污泥 用纜繩將抓斗放入井底 泥后提出井口 纜繩每 在提升過(guò)程中污泥 以20N s的速度從抓斗縫隙中漏掉 現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口 抓斗抓起的污泥重2000N 提升速度為3m s 問(wèn) 克服重力需作多少焦耳 J 功 已知井深30m 抓斗自重400N 將抓起污泥的抓斗由 抓起污 x提升dx所作的功為 米重50N 提升抓斗中的污泥 井深30m 抓斗自重400N 纜繩每米重50N 抓斗抓起的污泥重2000N 提升速度為3m s 污泥以20N s的速度從抓斗縫隙中漏掉 克服纜繩重 抓斗升至x處所需時(shí)間 克服抓斗自重 銳角 取多大時(shí) 薄板所受的壓力P最大 2 斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板 垂直放置于 解 選取坐標(biāo)系如圖 設(shè)斜邊長(zhǎng)為l 水中 并使一直角邊與水面相齊 則其方程為 問(wèn)斜邊與水面交成的 故得唯一駐點(diǎn) 故此唯一駐點(diǎn) 即為所求 由實(shí)際意義可知最大值存在 即 1 求極限 提示 原式 左邊 右邊 定積分習(xí)題課 2 證明 證 令 則 令 得 故 3 解3 4 4 是偶函數(shù) 5 6 5 解 7 6 解 設(shè) 在 0 1 上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 證明 8 9 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 且 1 在 a b 內(nèi)f x 0 2 在 a b 內(nèi)存在點(diǎn) 使 3 在 a b 內(nèi)存在與 相異的點(diǎn) 使 03考研 證 1 由f x 在 a b 上連續(xù) 知f a 0 所以f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)增 因此 2 設(shè) 滿(mǎn)足柯西中值定理?xiàng)l