華東師大版·八年級上冊章末復(fù)習(xí)知識結(jié)構(gòu)直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理應(yīng)用反證法思考并回答下列問題：問題1：勾股定理與逆定理的內(nèi)容是什么？問題2：勾股定理與逆定理的證明方法是怎樣的，它們各體現(xiàn)什么樣的數(shù)學(xué)思想？你是怎樣理解的？問題3：如何判定一個三角形是直角三角形？問題4：反證法的步驟是什么？知識要點勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.abcAB如果在Rt△ABC中，∠C=90°，幾何語言：那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.C勾股定理的證明方法：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進(jìn)行整式運算，從理論上驗證了勾股定理.勾股定理逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.abcABC幾何語言：如果△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.勾股數(shù)

滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股定理與勾股定理的逆定理的關(guān)系A(chǔ)CBbcaa2+b2=c2數(shù)形勾股定理勾股定理的逆定理直角三角形的性質(zhì)直角三角形的判定是互逆定理.反證法：先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的，然后通過演繹推理，推出與基本事實、已證的定理、定義或已知條件相矛盾；從而說明假設(shè)不成立，近而得出原結(jié)論正確．反證法的一般步驟：反設(shè)1.假設(shè)命題結(jié)論的反面成立；2.推理得出的結(jié)論與已知、定義、公理、定理矛盾；歸謬3.假設(shè)不成立即原結(jié)論正確；結(jié)論復(fù)習(xí)題1.求下列各圖形著色部分的面積：(1)如圖①，著色部分是正方形；(2)如圖②，著色部分是長方形；A組12cm13cm15cm8cm3cm①②S=132-122=25(cm2).(3)如圖③，著色部分是半圓（保留π）.6cm10cm2.如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作三個等腰直角三角形，試探索這三個等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系.解：以a、b為斜邊的兩個等腰直角三角形的面積等于以c為斜邊的等腰直角三角形的面積．3.試判斷由下列三邊圍成的三角形是否是直角三角形：(1)三邊長分別為m2+n2、mn、m2?n2(m>n>0)；解：(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，(mn)2+(m2?n2)2=m2n2+m4?2m2n2+n4=m4?m2n2+n4，故(m2+n2)2≠(mn)2+(m2?n2)2，∴該三角形不是直角三角形.(2)三邊長之比為1∶1∶.解：∵(x)2=2x2=x2+x2，∴該三角形是直角三角形.4.一架2.5m長的梯子靠在墻壁上，梯子的底部離墻0.7m，如果梯子的頂部滑下0.4m，梯子的底部向外滑出多遠(yuǎn)？解：如圖，AB=DE=2.5m，BC=0.7m，AD=0.4m.∴在Rt△ABC中，AC===2.4(m).∵AD=0.4m，∴CD=AC?AD=2m.∴在Rt△CDE中，CE===1.5(m)，故BE=CE?BC=1.5?0.7=0.8(m).答：梯子的底部向外滑出0.8m.5.在如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為7cm.求正方形A、B、C、D的面積和.解：SA+SB+SC+SD=SE+SF=SG=72=49(cm2).ABCDEFG6.在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC邊上的高，DC=2.求BD的長.解：如圖，AD=AC?DC=10?2=8，在Rt△ABD中，BD===6.7.已知直角三角形的周長為30cm，斜邊長為13cm.求這個三角形的面積.解：設(shè)該直角三角形其中一條直角邊長為xcm，則另一條直角邊長為(30?13?x)cm.根據(jù)勾股定理得x2+(30?13?x)2=132.整理得17x?x2=60.∴這個三角形的面積為x(30?13?x)=(17x?x2)=30(cm2).B組8.如圖，有一塊四邊形地ABCD，∠B=∠90°.AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m.求該四邊形地的面積.解：連接AC，由勾股定理得AC==5(m)，AC2+CD2=52+122=132=AD2，由勾股定理的逆定理得∠ACD=90°，所以S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC答：這塊四邊形地的面積是36m2.9.我們已經(jīng)知道，3、4、5，6、8、10等都是一些勾股數(shù).請你再寫出其他5組勾股數(shù).解：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，12，15；12，16，20(答案不唯一).10.試證明一個五邊形不可能有4個內(nèi)角為銳角.證明：假設(shè)一個五邊形中存在4個內(nèi)角為銳角，則這4個內(nèi)角的和小于360°.而五邊形的內(nèi)角和等于540°，那么剩余的第5個角的度數(shù)必然大于180°，這與五邊形的每一個內(nèi)角都小于180°相矛盾，故假設(shè)不成立.即一個五邊形不可能有4個內(nèi)角為銳角.11.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°.求∠DAB的大小.解：連接AC，∵AB=BC=2，∠B=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=在△ACD中，AD2+AC2=9=CD2，∴△ACD中是直角三角形，∠DAC=90°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.12.如圖，在五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=5cm，△ABC的面積為30cm2，△ACD與△AED關(guān)于AD所在的直線成軸對稱.求AE的長.解：由題可知S△ABC=∵AB=5cm，S△ABC=30cm2.∴=30cm2，∴BC=12cm.在△ABC中，AC==13(cm).又∵△ACD與△AED關(guān)于AD所在的直線成軸對稱，∴AE=AC=13cm.13.已知△ABC的三邊長a、b、c滿足條件：a4?b4+b2c2?a2c2=0.試判斷△ABC的形狀.解：∵a4?b4+b2c2?a2c2=0，∴(a2+b2)(a2?b2)?c2(a2?b2)=0.∴(a2?b2)(a2+b2?c2)=0.①當(dāng)a2?b2=0時，得a=b，故△ABC是等腰三角形；②當(dāng)a2+b2?c2=0時，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.綜上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形.14.試著用反證法證明勾股定理的逆定理.解：假設(shè)一個三角形的三邊長a、b、c(a≤b≤c)有關(guān)系a2+b2≠c2，那么這個三角形是直角三角形，根據(jù)勾股定理，一定有a2+b2=c2，這與已知a2+b2≠c2矛盾，所以假設(shè)不成立.所以三角形的三邊長a、b、c(a≤b≤c)有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，所以勾股定理的逆定理成立.15.歐幾里得在《幾何原本》中給出了勾股定理的一個證明，其思路是把直角三角形斜邊所構(gòu)成的正方形分割成兩個長方形，然后證明每個長方形的面積分別與兩個由直角邊所構(gòu)成的正方形的面積相等.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，由Rt△ABC的三邊分別向外作正方形，過點C作AB的垂線，分別交AB、ED于點J和點K，這樣就把正方形ABDE分成兩個長方形AJKE和BDKJ．連結(jié)GB、CE.請試著利用該圖形證明勾股定理.證明：∵四邊形ABDE與四邊形ACFG均為正方形，∴AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°.∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠EAC=∠BAG.∴△AEC≌△ABG(SAS).∴S△AEC=S△ABG.又∵2S△AEC=S四邊形AEKJ，2S△ABG=S正方形ACFG=AC2，∴S四邊形AEKJ=S正方形ACFG=AC2.同理得S四邊形BDKJ=BC2.又∵S正方形ABDE=S四邊形AEKJ+S四邊形BDKJ=AB2，∴AC2+BC2=AB2.16.折竹抵地（源自《九章算術(shù)》）：

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問折者高幾何？意即：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子處3尺遠(yuǎn).求折斷后竹