第五章一元一次方程一元一次方程的應(yīng)用（1）——幾何圖形問題（預(yù)習(xí)教材P147～P148，完成以下練習(xí)）1.

長為a，寬為b的長方形：周長＝

，面積＝

?.2.

邊長為a的正方形：周長＝

，面積＝

?.3.

棱長為a的正方體：V＝

；長為a，寬為b，高為h的長方體：

V＝

；底面半徑為r，高為h的圓柱：V＝

?.2（a＋b）

ab

4a

a2

a3

abh

πr2h

知識點1

等積變化【例1】將一個底面半徑為6

cm，高為40

cm的“瘦長”圓柱形鋼材鍛壓

成底面半徑為12

cm的“矮胖”圓柱形零件毛坯，請問毛坯的高是多少？解：設(shè)毛坯的高為x

cm.根據(jù)題意，得π×62×40＝π×122·x，解：設(shè)毛坯的高為x

cm.根據(jù)題意，得π×62×40＝π×122·x，解得x＝10.答：毛坯的高是10

cm.解得x＝10.答：毛坯的高是10

cm.【變式1】如圖，一圓柱形容器的底面半徑為0.5

m，高為1.5

m，里面盛

有1

m深的水，將底面半徑為0.3

m，高為0.5

m的圓柱形鐵塊沉入水

中，則容器內(nèi)水面將升高多少米？

解：設(shè)容器內(nèi)水面將升高x

m.根據(jù)題意，得π×0.52x＝π×0.32×0.5，

知識點2

等長變形【例2】（北師教材P147例1改編）用一根長為10

m的鐵絲圍成一個

長方形.（1）使該長方形的長比寬多2

m，此時長方形的面積是多少？解：（1）設(shè)長方形的寬為x

m.根據(jù)題意，得（x＋x＋2）×2＝10，解得x＝1.5.1.5×（1.5＋2）＝5.25（m2）.答：長方形的面積是5.25

m2.解：（1）設(shè)長方形的寬為x

m.根據(jù)題意，得（x＋x＋2）×2＝10，解得x＝1.5.1.5×（1.5＋2）＝5.25（m2）.答：長方形的面積是5.25

m2.（2）使該長方形的長和寬相等，此時正方形的面積是多少？解：（2）設(shè)正方形的邊長為x

m.根據(jù)題意，得4x＝10，解得x＝2.5.2.5×2.5＝6.25（m2）.答：正方形的面積是6.25

m2.解：（3）∵6.25＞5.25，∴用這根鐵絲圍成正方形的面積大.解：（2）設(shè)正方形的邊長為x

m.根據(jù)題意，得4x＝10，解得x＝2.5.2.5×2.5＝6.25（m2）.答：正方形的面積是6.25

m2.【例2】（北師教材P147例1改編）用一根長為10

m的鐵絲圍成一個

長方形.解：（1）設(shè)長方形的寬為x

m.根據(jù)題意，得（x＋x＋2）×2＝10，解得x＝1.5.1.5×（1.5＋2）＝5.25（m2）.答：長方形的面積是5.25

m2.（3）比較（1）與（2）的大小，請說出用這根鐵絲圍成什么樣的圖形面

積大？解：（3）∵6.25＞5.25，∴用這根鐵絲圍成正方形的面積大.解：（3）∵6.25＞5.25，∴用這根鐵絲圍成正方形的面積大.【例2】（北師教材P147例1改編）用一根長為10

m的鐵絲圍成一個

長方形.解：（1）設(shè)長方形的寬為x

m.根據(jù)題意，得（x＋x＋2）×2＝10，解得x＝1.5.1.5×（1.5＋2）＝5.25（m2）.答：長方形的面積是5.25

m2.

解得x＝18.

18×12＝216（cm2）.答：這個長方形的長為18

cm，寬為12

cm；面積為216

cm2.（2）使長方形的寬比長少4

cm，求這個長方形的面積.解：（2）設(shè)長方形的長為y

cm，則寬為（y－4）

cm.根據(jù)題意，得2（y＋y－4）＝60，解得y＝17.則y－4＝17－4＝13.17×13＝221（cm2）.答：這個長方形的面積為221

cm2.解：（2）設(shè)長方形的長為y

cm，則寬為（y－4）

cm.根據(jù)題意，得2（y＋y－4）＝60，解得y＝17.則y－4＝17－4＝13.17×13＝221（cm2）.答：這個長方形的面積為221

cm2.【變式2】用一根長60

cm的鐵絲圍成一個長方形.18×12＝216（cm2）.答：這個長方形的長為18

cm，寬為12

cm；面積為216

cm2.1.

（北師教材P149T1改編）一個梯形的面積是60

cm2，高為5

cm，它的

上底比下底短2

cm，求這個梯形上底和下底的長度，設(shè)下底長為x

cm，

則下面所列方程正確的是（C

）A.5[x＋（x－2）]＝60B.5[x＋（x＋2）]＝60C.

×5[x＋（x－2）]＝60D.

×5[x＋（x＋2）]＝60C2.

用5個大小相同的小長方形拼成如圖所示的大長方形，若大長方形的

周長是28，求每個小長方形的周長.解：設(shè)小長方形的寬為x，則小長方形的長為2x.根據(jù)題意，得2（3x＋2x＋2x）＝28，解得

x＝2.則2x＝4.2×（2＋4）＝12.答：小長方形的周長為12.解：設(shè)小長方形的寬為x，則小長方形的長為2x.根據(jù)題意，得2（3x＋2x＋2x）＝28，解得

x＝2.則2x＝4.2×（2＋4）＝12.答：小長方形的周長為12.3.

（北師教材P154T4）如圖，小強將一個正方形紙片剪去一個寬為4

cm

的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5

cm的長條.如果兩次

剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？解：設(shè)原來正方形紙片的邊長是x

cm，則第一次剪下的長條的長是x

cm，寬是4

cm；第二次剪下的長條的長是（x－4）

cm，寬是5

cm.根據(jù)題意，得4x＝5（x－4），解：設(shè)原來正方形紙片的邊長是x

cm，則第一次剪下的長條的長是x

cm，寬是4

cm；第二次剪下的長條的長是（x－4）

cm，寬是5

cm.根據(jù)題意，得4x＝5（x－4），解得x＝20.20×4＝80（cm2）.答：每一個長條的面積為80

cm2.解得x＝20.20×4＝80（cm2）.答：每一個長條的面積為80

cm2.4.

（創(chuàng)新題）如圖，一個瓶子的容積為1

L，瓶內(nèi)裝著一些溶液.當(dāng)瓶子

正放時，瓶內(nèi)溶液的高度為30

cm，將瓶子倒放時，空余部分的高度為10

cm.求瓶內(nèi)溶液的體積.（注：1

L＝1

000

cm3）解：設(shè)瓶內(nèi)溶液的底面積為x

cm2.根據(jù)題意，得1

000－30x＝10x，解：設(shè)瓶內(nèi)溶液的底面積為x

cm2.根據(jù)題意，得1

000－30x＝10x，解得x＝25.25×30＝750（cm3）.答：瓶內(nèi)溶液的體積為750

cm3.解得x＝25.25×30＝750（cm3）.答：瓶內(nèi)溶液的體積為750

cm3.5.

一個底面直徑為5

cm，高為18

cm的圓柱形瓶內(nèi)裝滿水，再將瓶內(nèi)的

水倒入一個底面直徑為6

cm，高為10

cm的圓柱形玻璃杯中，能否完全裝

下？若裝不下，那么瓶內(nèi)水面還有多高？若未能裝滿，求杯內(nèi)水面離杯

口的距離.（不考慮容器厚度）解：底面直徑為5

cm，高為18

cm的圓柱形瓶體積為π

底面直徑為6

cm，高為10

cm的圓柱形玻璃杯體積為π×（6÷2）2×10＝90π（cm3）.

∴裝不下.設(shè)瓶內(nèi)水面高度還有x

cm.

解得x＝3.6.答：裝不下，瓶內(nèi)水面還有3.6

cm.第五章一元一次方程一元一次方程的應(yīng)用（2）——盈不足問題（教材新增）（預(yù)習(xí)教材P149～P150，完成以下練習(xí)）把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人

分4本，則還缺25本，這個班有多少名學(xué)生？解：設(shè)這個班有x名學(xué)生.則：每人分3本，加上剩余的20本，這批書共有（3x＋20）本；每人分4本，減去缺的25本，這批書共有（4x－25）本.根據(jù)題意，得3x＋20＝4x－25，解得x＝45.答：這個班有45名學(xué)生.每人分3本，加上剩余的20本，這批書共有（3x＋20）本；每人分4本，減去缺的25本，這批書共有（4x－25）本.根據(jù)題意，得3x＋20＝4x－25，解得x＝45.答：這個班有45名學(xué)生.知識點1

一盈一不足【例1】《九章算術(shù)》“盈不足”章第一題：今有共買物，人出八，盈

三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價各幾何？題目大意：幾個人合伙買東西，若每人出8錢，則會多出3錢；若每人出7

錢，則還少4錢.合伙人數(shù)、物品的價格分別是多少？解：設(shè)合伙人數(shù)為x人.根據(jù)題意，得8x－3＝7x＋4，解得x＝7.8x－3＝8×7－3＝53.答：合伙人數(shù)是7人，物品的價格是53錢.解：設(shè)合伙人數(shù)為x人.根據(jù)題意，得8x－3＝7x＋4，解得x＝7.8x－3＝8×7－3＝53.答：合伙人數(shù)是7人，物品的價格是53錢.【變式1】（北師教材P150T1）隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七

兩分之多四兩，九兩分之少半斤.問人、銀各幾何？（選自《算法統(tǒng)

宗》）題目大意：幾個人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則

差8兩.有多少個人？有多少兩銀子？解：設(shè)有x個人.根據(jù)題意，得7x＋4＝9x－8，解得x＝6.則7x＋4＝7×6＋4＝46.答：有6個人，有46兩銀子.解：設(shè)有x個人.根據(jù)題意，得7x＋4＝9x－8，解得x＝6.則7x＋4＝7×6＋4＝46.答：有6個人，有46兩銀子.知識點2

雙盈或雙不足【例2】（北師教材P149例2）《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：

今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.問人數(shù)、

金價各幾何？題目大意：幾個人合伙買金，每人出400錢，會多出3

400錢；每人出300

錢，會多出100錢.合伙人數(shù)、金價各是多少？解：設(shè)合伙買金人數(shù)共有x人.根據(jù)題意，得400x－3

400＝300x－100，解：設(shè)合伙買金人數(shù)共有x人.根據(jù)題意，得400x－3

400＝300x－100，解得x＝33.則400x－3

400＝400×33－3

400＝9

800.答：合伙人數(shù)是33人，金價是9

800錢.【變式2】（北師教材P160T6）今有共買羊，人出五，不足四十五；人

出七，不足三.問人數(shù)、羊價各幾何？（選自《九章算術(shù)》）題目大意：幾個人合伙買羊，若每人出5錢，則差45錢；若每人出7錢，

則差3錢.合伙人數(shù)、羊價各是多少？解：設(shè)合伙人數(shù)為x人.根據(jù)題意，得5x＋45＝7x＋3，解：設(shè)合伙人數(shù)為x人.根據(jù)題意，得5x＋45＝7x＋3，解得x＝21.則5x＋45＝5×21＋45＝150.答：合伙人數(shù)是21人，羊價是150錢.解得x＝21.則5x＋45＝5×21＋45＝150.答：合伙人數(shù)是21人，羊價是150錢.課堂歸納：盈不足問題通常涉及兩個量，通常設(shè)“每”字后面的量為x，再根據(jù)兩

種情況把另一個量表示出來，即可列出方程.1.

（2025·湖北模擬）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：

“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房

空.”詩中后面兩句的意思：如果一間客房住7人，那么有7人無房可?。?/p>

如果一間客房住9人，那么就空出一間客房.若設(shè)該店有客房x間，則可

列方程為

，求出客房數(shù)量為

間.7x＋7＝9（x－1）

8

2.

（北師教材P155T7）今有共買牛，七家共出一百九十，不足三百三

十；九家共出二百七十，盈三十.問家數(shù)、牛價各幾何？（選自《九章算

術(shù)》）題目大意：幾家人合伙買牛，若每7家合伙出190錢，則差330錢；若每9

家合伙出270錢，則多了30錢.家數(shù)、牛價各是多少？

解：設(shè)家數(shù)為x家.

解得x＝126.

答：家數(shù)為126家，牛價是3

750錢.

解：設(shè)牧童有x個.

解得x＝24.

答：牧童有24個，杏有50個.

解：設(shè)這根木材長x尺.

解得x＝6.5.答：這根木材長6.5尺.第五章一元一次方程一元一次方程的應(yīng)用（3）——行程問題（預(yù)習(xí)教材P151～P152，完成以下練習(xí)）（1）甲的速度比乙的速度多10

km/h，兩人同時出發(fā)行駛3

h，設(shè)乙的速

度為x

km/h，則甲的速度為

km/h，乙行駛的路程

為

km.（2）甲的速度為30

km/h，乙的速度為50

km/h，乙在甲出發(fā)2

h后再出

發(fā)，則乙出發(fā)x

h后，甲的路程為

km，乙的路程

為

km.行程問題通常在路程這個量中存在等量關(guān)系，所以通常要把兩車的路程

表示出來.（x＋10）

3x

（30x＋60）

50x

知識點1

相遇問題（s甲＋s乙＝s總）【例1】甲、乙兩人騎自行車同時從相距50

km的兩地相向而行，2

h后相

遇.已知甲比乙每小時多騎5

km，求乙的速度.解：設(shè)乙每小時騎x

km，甲每小時騎（x＋5）km.根據(jù)題意，得2x＋2（x＋5）＝50，解得x＝10.答：乙的速度為10

km/h.解：設(shè)乙每小時騎x

km，甲每小時騎（x＋5）km.根據(jù)題意，得2x＋2（x＋5）＝50，解得x＝10.答：乙的速度為10

km/h.

解：設(shè)兩車相遇的時間為x

h.根據(jù)題意，得60x＋90x＝200，

答：兩車相遇的地方離A地80

km.知識點2

追及問題（s快－s慢＝s原）【例2】一輛慢車速度為48

km/h，一輛快車速度為60

km/h，慢車在前，

快車在后，兩車之間的距離為36

km，快車追上慢車需要多少小時？解：設(shè)快車追上慢車需要x

h.根據(jù)題意，得60x－48x＝36，解得x＝3.答：快車追上慢車需要3

h.解：設(shè)快車追上慢車需要x

h.根據(jù)題意，得60x－48x＝36，解得x＝3.答：快車追上慢車需要3

h.解：設(shè)經(jīng)過x

h

A車追上B車.根據(jù)題意，得85x－65x＝160，解得x＝8.答：經(jīng)過8

h

A車追上B車.解：設(shè)經(jīng)過x

h

A車追上B車.根據(jù)題意，得85x－65x＝160，解得x＝8.答：經(jīng)過8

h

A車追上B車.【變式2】已知甲、乙兩地相距160

km，A，B兩車分別從甲、乙兩地同

時出發(fā)，A車速度為85

km/h，B車速度為65

km/h.A，B兩車同時同向而

行，A車在后，則經(jīng)過幾小時A車追上B車？知識點3

先出發(fā)問題（s甲＝s乙）【例3】（北師教材P151引入）小明每天早上要到距家1

000

m的學(xué)校上

學(xué).一天，小明以80

m/min的速度出發(fā)，出發(fā)后5

min，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)

小明忘了帶語文書.于是，爸爸立即以180

m/min的速度沿同一條路去追

小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多長時間？追上小明時，

距離學(xué)校還有多遠？解：設(shè)爸爸追上小明用了x

min.根據(jù)題意，得180x＝80x＋80×5，解：設(shè)爸爸追上小明用了x

min.根據(jù)題意，得180x＝80x＋80×5，解得x＝4.1

000－180×4＝280（m）.答：爸爸追上小明用了4

min；追上小明時，距離學(xué)校還有280

m.解得x＝4.1

000－180×4＝280（m）.答：爸爸追上小明用了4

min；追上小明時，距離學(xué)校還有280

m.【變式3】張華和李明登一座山，張華每分鐘登高10

m，并且先出發(fā)30

min，李明每分鐘登高15

m，兩人同時登上山頂.李明花了多少分鐘登

山？山高多少米？解：設(shè)張華登山用了x

min，則李明登山用了（x－30）min.根據(jù)題意，得10x＝15（x－30），解：設(shè)張華登山用了x

min，則李明登山用了（x－30）min.根據(jù)題意，得10x＝15（x－30），解得x＝90.10x＝90×10＝900.90－30＝60（min）.答：李明花了60

min登山；山高為900

m.解得x＝90.10x＝90×10＝90