2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式

已知點(diǎn)，直線，如何求點(diǎn)到直線的距離？課堂探究及直線的斜率由得直線的斜率為的方程為因此直線解方程組得課堂探究即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)

之間的距離

（到

的距離）為逐項(xiàng)整理課堂探究的距離為到直線由此我們得到點(diǎn)1.此公式是在A、B≠0的前提下推導(dǎo)的；2.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立；注意課堂探究請(qǐng)問(wèn)除了以上思路，我們還可以怎么求距離？課堂探究下面設(shè)A≠0,B≠0,我們進(jìn)一步探求點(diǎn)到直線的距離公式:[思路二]利用兩點(diǎn)間距離公式，設(shè)而不求:PyxolQ點(diǎn)P到直線/的距離，就是從點(diǎn)P到直線/的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足(如右圖).因此，求出垂足Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|PQ|,就可以得到點(diǎn)P到直線l的距離.

課堂探究[思路二]利用兩點(diǎn)間距離公式，設(shè)而不求:將(1)(2)兩邊平方后相加，得

課堂探究[思路三]構(gòu)造直角三角形求其高.[思路四]向量法求點(diǎn)到直線的距離.我們知道，向量是解決距離、角度問(wèn)題的有力工具.能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離?課堂探究課堂探究P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離：（1）分子是P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；（2）分母是直線未知數(shù)x、y系數(shù)平方和的算術(shù)根類似于勾股定理求斜邊的長(zhǎng)(3)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,

若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(4)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然

適用.課堂探究1、P（2，-3）到直線x+2y+4=0的距離是_______2、點(diǎn)P(-1,2)到直線3x=2的距離是______.3、點(diǎn)P(-1,2)到直線3y=2的距離是______.課堂探究0解：如圖，設(shè)

邊上的高為

，則y1234xO-1123AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到AB的距離．已知點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（-1,0）,求三角形ABC的面積。例6、典例精講即

點(diǎn)到

的距離因此

邊所在直線的方程為：典例精講已知點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（-1,0）,求三角形ABC的面積。例6、y1234xO-11231、已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.解:(方法一)當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,故x=-1滿足題意;當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)與B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,得即x+3y-5=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.鞏固訓(xùn)練(方法二)由題意得l∥AB或l過(guò)AB的中點(diǎn).當(dāng)l∥AB時(shí),設(shè)直線AB的斜率為kAB,

即x+3y-5=0.當(dāng)l過(guò)AB的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.鞏固訓(xùn)練1、已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離

新知探究

課堂探究1.定義：夾在兩平行線間的__________的長(zhǎng).公垂線段2.圖示：

3.求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.兩條平行直線間的距離公式解析課堂探究例7、求平行線2x-7y-8=0與6x-21y-1=0的距離.在l1上任取一點(diǎn)，例如A(4,0)A到l2的距離等于l1與l2的距離yOxl2:6x-21y-1=0l1:2x-7y-8=0A(4,0)兩平行線間的距離處處相等直線到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離典例精講例8、Oyxl2l1PQ證明:典例精講例8、典例精講l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0用兩平行線間距離公式須將方程中x、y的系數(shù)化為對(duì)應(yīng)相同的形式。兩平行線間的距離公式Oyxl2l1

PQ課堂探究1、兩平行線2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距離是______;

2、兩條平行線3x+4y=10和6x+8y=0的距離是____.2132鞏固訓(xùn)練

3、求與直線l：5x-12y+6=0平行，且到l的距離是2的直線的方程．解：設(shè)所求直線為5x-12y+C=0,

所求直線為5x-12y-20=0或5x-12+32=0．

即|6-C|=26,解得C=-20或32．鞏固訓(xùn)練

4、兩條互相平行的直線分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？鞏固訓(xùn)練

4、兩條互相平行的直線分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？變式:上述問(wèn)題中，當(dāng)d取最大值時(shí)，請(qǐng)求出兩條直線的方程．鞏固訓(xùn)練5、求點(diǎn)P(－5,13)關(guān)于直線l:2x－3y－3＝0的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo).解設(shè)P′的坐標(biāo)為(x0，y0)，即2x0－3y0－55＝0.①鞏固訓(xùn)練5、求點(diǎn)P(－5,13)關(guān)于直線l:2x－3y－3＝0的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo).即3x0＋2y0－11＝0. ②∴P′的坐標(biāo)為(11，－11).鞏固訓(xùn)練(2)直線關(guān)