第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高新區(qū)慧仁學(xué)校九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列各式中，是二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A. B. C. D.4.下列方程中是一元二次方程的是（）A.x+6=0 B.x3-x=0 C.x2-x-2=0 D.xy=35.若方程ax2+bx+c=0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍為（）A.a≠0 B.a=0 C.a＞0 D.a＜06.若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k=0的一個(gè)根是x=-2，則它的另一個(gè)根是（）A.x=1 B.x=-1 C.x=5 D.x=-57.在平面直角坐標(biāo)系中，下列各點(diǎn)位于第四象限的是（）A.（2，4） B.（2，-4） C.（-2，-4） D.（-2，4）8.近年來(lái)電商發(fā)展迅速，某服裝店?duì)I業(yè)額逐年下降，2022年?duì)I業(yè)額為36萬(wàn)元，2024年?duì)I業(yè)額為23.04萬(wàn)元，設(shè)該服裝店2022年到2024年?duì)I業(yè)額平均每年的下降率是x,根據(jù)題意，下列方程中正確的是（）A.36（1-x2）=23.04 B.36（1+x）2=23.04

C.36（1-x）2=23.04 D.36（1-2x）=23.04二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9.若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是______.10.若關(guān)于x的方程x2+nx-2m=0的一個(gè)根是2，則m-n的值是

.11.若關(guān)于x的一元二次方程x2-x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為_(kāi)_____.12.如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則α的度數(shù)是______.

13.如圖，△AOB和△COD是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，且CD=2AB.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，-2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____.

14.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C和點(diǎn)D重合），連結(jié)AF，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，邊EF與正方形ABCD的對(duì)角線AC相交于點(diǎn)H，連結(jié)BE.給出下面四個(gè)結(jié)論：

①∠FAC=∠EAB；

②△FAC∽△EAB；

③當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)∠EBC的大小隨之變化；

④當(dāng)點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H是邊EF的中點(diǎn).

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有

.三、解答題：本題共7小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題11分)

計(jì)算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.16.(本小題11分)

解下列方程：

（1）（x+1）2-4=0；

（2）x（x-2）=x-2.

（3）x2-4x-5=0；

（4）.17.(本小題11分)

如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，線段AC為對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別為線段BC、AD的中點(diǎn)，連接EF交AC于點(diǎn)O.

（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；

（2）若OF=3，求CD的長(zhǎng).18.(本小題11分)

圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無(wú)刻度的直尺按下列要求畫(huà)圖，保留作圖痕跡.

（1）在圖①中作邊AC上的中線BD；

（2）在圖②中作△ABC的角平分線CE；

（3）在圖③中的BC邊上找到一點(diǎn)F，使BF：CF=2：1.19.(本小題11分)

某公司實(shí)行年薪工資制，職工的年薪工資由基本工資、工齡工資和崗位工資三項(xiàng)組成，具體規(guī)定如下：項(xiàng)目第一年的工資（萬(wàn)元）一年后的計(jì)算方法基本工資2每年增長(zhǎng)率相同工齡工資0.05每年增加0.05萬(wàn)元崗位工資0.3368固定不變（1）設(shè)基本工資每年增長(zhǎng)率為x,用含x的代數(shù)式表示第三年的基本工資為_(kāi)_____；

（2）某人在公司工作了3年，他這3年拿到的工齡工資和崗位工資的和正好是他這3年基本工資總額的18%，求基本工資每年的增長(zhǎng)率是多少？20.(本小題11分)

【閱讀材料】閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：

（?。┯欣砘蚴剑簝蓚€(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式相互叫做有理化因式.

例如：的有理化因式是；的有理化因式是.

（ⅱ）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號(hào)化去，指的是如果二次根式中分母有根號(hào)，那么通常在分子、分母上同乘以一個(gè)二次根式，達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的.

例知：；.

【知識(shí)運(yùn)用】

（1）填空：的有理化因式是______（寫(xiě)出一個(gè)即可）；的有理化因式是______.

（2）把下列各式的分母有理化：

①；

②.

（3）化簡(jiǎn)：.21.(本小題11分)

【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

如圖①，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF=2AF，CF與AD交于點(diǎn)E，求的值.

【問(wèn)題分析】

小明對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行仔細(xì)地研究后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F、D都是某一邊上固定比例的分點(diǎn)，我們可以稱之為“定比分點(diǎn)”，過(guò)其中一個(gè)定比分點(diǎn)作平行線即可得到兩組相似三角形.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到相應(yīng)的比例關(guān)系，并解決該問(wèn)題.

【問(wèn)題解決】

解：如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DH∥CF交AB于點(diǎn)H，

∵DH∥CF，∴△BDH∽△BCF

∴，∴

∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴.

接下來(lái)小明想嘗試證明△AFE∽△AHD.并結(jié)合已知條件得出結(jié)果.

請(qǐng)幫助小明繼續(xù)完成上述求解過(guò)程.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】a≥5

10.【答案】2

11.【答案】

12.【答案】70°

13.【答案】（2，1）

14.【答案】①②④

15.【答案】；

；

2；

16.【答案】x1=1，x1=-3；

x1=2，x2=1；

x1=5，x2=-1；

，

17.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵點(diǎn)E、F分別為線段BC、AD的中點(diǎn)，

∴AF=AD，CE=BC，

∴AF=CE，

∵AF∥CE，

∴四邊形AECF為平行四邊形；

（2）解：∵四邊形AECF為平行四邊形，

∴OA=OC，

∵AF=DF，

∴OF為△ACD的中位線，

∴CD=2OF=2×3=6．

18.【答案】見(jiàn)解析

見(jiàn)解析

見(jiàn)解析

19.【答案】（1）每年的增長(zhǎng)率為x,則第三年的基本工資為2（1+x）2