專題19二次求導(dǎo)函數(shù)處理問題構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題．二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題。方法二次求導(dǎo)使用情景對(duì)函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.解題步驟設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.一、單選題1．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”；已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，，由題意在上恒成立，即在上恒成立，分離參數(shù)，而在上的最大值為2，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由知，∴，∴，令，則，，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖，若圖象在圖象上方，則，要使圖象在圖象上方，則表示x軸截距的相反數(shù)，的最小值即為截距的最大值，而當(dāng)截距最大時(shí)，直線與相切，記切點(diǎn)為，則，又，所以，有，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上，的最小值為.故選：D.3．設(shè)實(shí)數(shù)，那么的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【解析】，令，令，，在上是減函數(shù)，，在上是減函數(shù)，又，，即，故選：C.4．若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】依題意，，設(shè)函數(shù)，則，令，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，則.故選：B．5．若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由，得，又關(guān)于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，則，設(shè)，，則，即在上單調(diào)遞增，則，于是有，從而得在上單調(diào)遞增，因此，，則，所以的取值范圍是.故選：D6．已知函數(shù)，若函數(shù)與有相同的最小值，則的最大值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，，∵（），∴在上單調(diào)遞增，又∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，即得，所以根據(jù)題意，若使，需使的值域中包含，即得，故的最大值為2.故選：B.7．在關(guān)于的不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】由，化簡(jiǎn)得：，設(shè)，，則原不等式即為.若，則當(dāng)時(shí)，，，原不等式的解集中有無數(shù)個(gè)大于2的整數(shù)，∴.∵，，∴.當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，則.設(shè)，則在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞減，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，即，∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù).要使原不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則，即，解得.則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D二、多選題8．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【解析】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，則的兩根為，由，得，設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖，由圖可知，解得，故A錯(cuò)誤；又，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，得，所以，又，所以，故函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，故C錯(cuò)誤；，故D正確；設(shè)，則，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，則在上，即，函數(shù)單調(diào)遞增，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，有，又，所以，由，得，又函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即，故B正確.故選：BD9．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．f（x）無最大值 B．f（x）有唯一零點(diǎn)C．f（x）在（0，＋∞）單調(diào)遞增 D．f（0）為f（x）的一個(gè)極小值【解析】，記因?yàn)?，且，在區(qū)間上顯然遞增，所以記為的零點(diǎn)，則有所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，D正確；由上可知，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)x趨近于正無窮時(shí)，也趨于正無窮，故AC正確；易知，故B錯(cuò)誤故選：ACD10．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)，時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，有最值C．當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)D．當(dāng)僅有一個(gè)整數(shù)解時(shí)，【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，令因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，所以，即，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，令，則所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以，即，所以在上單調(diào)遞減，沒有最值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，令，則因?yàn)?，所以由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以令，則所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以為減函數(shù)，故C正確對(duì)于D，由可得，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減的圖象如下：表示的是過點(diǎn)的直線，所以當(dāng)僅有一個(gè)整數(shù)解時(shí)，，故D正確.故選：ACD三、填空題11．已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【解析】，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得為增函數(shù).又為偶函數(shù)，故，恒成立.因?yàn)?，，所以有，故答案為?2．已知函數(shù).若是的極大值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________________.【解析】由題知，且，令，則，①若，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增；所以.因此不可能是的極大值點(diǎn).②若，令，當(dāng)時(shí)，，所以即在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，，因此存在滿足：，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)是的極大值點(diǎn)時(shí)，.故答案為：13．已知，若方程在上有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【解析】當(dāng)時(shí)，方程可化為，，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，作函數(shù)的圖象如下，又，因?yàn)榉匠淘谏嫌形ㄒ粚?shí)根，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，14．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【解析】由，，得，設(shè)，即恒成立，，，所以在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值為，即，所以，故答案為：.四、解答題15．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)?，，，所以?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，的最小值為不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在的最小值為，則不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，的最小值為，則．(2)在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，，設(shè)，在上恒為正，則在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為20，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，，①當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)單調(diào)遞增，有，解得；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得或.解得（舍去）或舍去）；當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得，解得（舍去）；當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得.綜上知或；(2)可化為，整理，得，即在上恒成立，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樗院瘮?shù)為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)將化為，設(shè)，則，由（1）可知，是上的增函數(shù)，且，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，故存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，不等式不恒成立．綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為．18．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)證明：．【解析】(1)因?yàn)?，所以．令，則，可得在上單調(diào)遞減，所以．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)證明：令，則．令，則，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以存在，使得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以．因?yàn)椋?，所以，所以．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以．19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，則，易知函數(shù)，都是R上的減函數(shù)，所以是R上的減函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.(2)由，得，設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，易知，所以在R上是減函數(shù)，即在R上是減函數(shù).又，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由（1）可知，滿足題意；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，又，則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減.又，，則存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋圆环项}意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，則在上恒成立；令，則，令，得，單調(diào)遞減；令，得，單調(diào)遞增；則的最小值為，所以.（2）令，當(dāng)時(shí)，.令，令，，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.故，滿足條件；綜上：.21．已知，函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的極值；（2）若，當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，對(duì)，，則在是增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，，令，解得，若，則，若，則，當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值；（2）時(shí)，設(shè)，，求導(dǎo)得，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是得在單調(diào)遞增，，即，從而得在上單調(diào)遞增，因此有，即，所以在上恒成立.22．已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)?0,+∞)，.當(dāng)時(shí)，令，得到；令，得到，此時(shí)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上為增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，令，得到；令，得到或，此時(shí)在(a,1)上為減函數(shù)，在(0,a)和上為增函數(shù)；③當(dāng)a=1時(shí),顯然恒成立，此時(shí)在0,+∞)上為增函數(shù)；④當(dāng)a>1時(shí),令，得到；令，得到或.此時(shí)在(1,a)上為減函數(shù),在(0,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).綜上：①當(dāng)時(shí)，在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上為增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在(a,1)上為減函數(shù)，在(0,a)和上為增函數(shù)；③當(dāng)a=1時(shí)，在0,+∞)上為增函數(shù)；④當(dāng)a>1時(shí)，在(1,a)上為減函數(shù),在(0,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).（2）在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令則，令，則，顯然在上恒成立,故在上單調(diào)遞增.因?yàn)閜(1)=0，所以當(dāng)，有，即所以單調(diào)遞減；當(dāng)，有，即所以單調(diào)遞增；因?yàn)?，所以a的取值范圍23．已知函數(shù)滿足，且曲線在處的切線方程為．（1）求，，的值；（2）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求的最大值．【解析】（1）由已知得，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，則解得，，．（2）由（1）得．若在上恒成立，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，所以，從而可得在上恒成立．令，則，令，則恒成立，在上為增函數(shù)．又，，所以存在，使得，得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．則．又，所以，代入上式，得．又，所以．因?yàn)?，且，所以，故的最大值?．24．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意得，的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意得，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意．當(dāng)時(shí)，令，解得，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，為．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即，解得．當(dāng)時(shí)，，，，，令，則，故在上單調(diào)遞增，，即，所以，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．25．已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【解析】(1)因?yàn)楹愠闪?，所以，?令函數(shù)，則恒成立.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以等價(jià)于，即恒成立，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故的取值范圍是；(2)因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)根，令，則，有（1）的討論可知，若存在兩個(gè)零點(diǎn)，，且，由，即，因?yàn)?，所以，即需證恒成立，由可得，令，則，，所以等價(jià)于，即，令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故；26．已知函數(shù)，且0是的一個(gè)極值點(diǎn)．(1