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第19講等比數(shù)列及其求和學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.等比數(shù)列的概念(1)定義:如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù)q,即eq\f(an+1,an)=q恒成立,則稱{an}為等比數(shù)列,其中q稱為等比數(shù)列的公比.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:eq\f(an,an-1)=q(n≥2,q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng):如果x,G,y是等比數(shù)列,則稱G為x與y的等比中項(xiàng),且G2=xy.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比是q,則其通項(xiàng)公式為an=a1qn-1;通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),Sn=eq\f(a1(1-qn),1-q)=eq\f(a1-anq,1-q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若正整數(shù)s,t,p,q滿足s+t=p+q,則as·at=apaq,特別地,如果2s=p+q,則aeq\o\al(2,s)=ap·aq.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數(shù)列,公比為qm.(3)當(dāng)q≠-1,或q=-1且n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比數(shù)列,其公比為qn.考點(diǎn)和典型例題1、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算【典例1-1】(2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))在正項(xiàng)等比數(shù)列中,,且,則(

)A.1024 B.960 C.768 D.512【答案】A【詳解】解:依題意設(shè)公比為,且、,由,則,即,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以,所以;故選:A【典例1-2】(2022·山東日照·三模)在公差不為0的等差數(shù)列中,成公比為3的等比數(shù)列,則(

)A.14 B.34 C.41 D.86【答案】C【詳解】因?yàn)槌晒葹?的等比數(shù)列,可得,所以又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,所以公差,所以,所以,解得.故選:C.【典例1-3】(2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)(文))等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,成等差數(shù)列,則的公比為(

)A. B. C.3 D.【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)?,,成等差?shù)列,所以,所以,化為:,解得.故選:D【典例1-4】(2022·新疆喀什·高三期末(理))70周年國慶閱兵活動(dòng)向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象,展示了科技強(qiáng)軍的偉大成就以及維護(hù)世界和平的堅(jiān)定決心,在閱兵活動(dòng)的訓(xùn)練工作中,不僅使用了北斗導(dǎo)航、電子沙盤、仿真系統(tǒng)、激光測(cè)距機(jī)、邁速表和高清攝像頭等新技術(shù)裝備,還通過管理中心對(duì)每天產(chǎn)生的大數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲(chǔ)、分析,有效保證了閱兵活動(dòng)的順利進(jìn)行,假如訓(xùn)練過程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a,其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的倍,那么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為(

)A. B. C. D.【答案】D【詳解】根據(jù)題意可知每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是以為首項(xiàng),()為公比的等比數(shù)列,所以訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為,故選:D【典例1-5】(2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,則的最小值為(

)A.16 B.24 C.32 D.8【答案】C【詳解】等比數(shù)列滿足,且公比,則,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選:C.【典例1-6】(2022·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè))如圖是標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分.最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力記錄,這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列,公差為;最右邊一列“小數(shù)記錄”為國際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近似值,這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列,公比為.已知標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為,則標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為(

)(參考數(shù)據(jù):)A. B. C. D.【答案】D【詳解】依題意,以標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力為左邊數(shù)據(jù)組的等差數(shù)列的首項(xiàng),其公差為-0.1,標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力為該數(shù)列第3項(xiàng),標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值1.0為右邊數(shù)據(jù)組的等比數(shù)列的首項(xiàng),其公比為,因此,標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力對(duì)應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值為該等比數(shù)列的第3項(xiàng),其大小為.故選:D2、等比數(shù)列的判定與證明【典例2-1】(2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè))(多選)已知為數(shù)列的前項(xiàng)之和,且滿足,則下列說法正確的是(

)A.為等差數(shù)列 B.若為等差數(shù)列,則公差為2C.可能為等比數(shù)列 D.的最小值為0,最大值為20【答案】BCD【詳解】當(dāng)時(shí),,解得或,當(dāng)時(shí),,,整理得,當(dāng)時(shí),若,可得,若,,可得數(shù)列為等比數(shù)列,;當(dāng)時(shí),可得,數(shù)列為等差數(shù)列,若,可得,若,可得;故A錯(cuò)誤;B正確;C正確;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;故D正確.故選:BCD.【典例2-2】(2022·湖南·雅禮中學(xué)二模)(多選)著名的“河內(nèi)塔”問題中,地面直立著三根柱子,在1號(hào)柱上從上至下?從小到大套著n個(gè)中心帶孔的圓盤.將一個(gè)柱子最上方的一個(gè)圓盤移動(dòng)到另一個(gè)柱子,且保持每個(gè)柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面,視為一次操作.設(shè)將n個(gè)圓盤全部從1號(hào)柱子移動(dòng)到3號(hào)柱子的最少操作數(shù)為,則(

)A. B.C. D.【答案】AD【詳解】將圓盤從小到大編為號(hào)圓盤,則將第號(hào)圓盤移動(dòng)到3號(hào)柱時(shí),需先將第號(hào)圓盤移動(dòng)到2號(hào)柱,需次操作;將第號(hào)圓盤移動(dòng)到3號(hào)柱需1次操作;再將號(hào)圓需移動(dòng)到3號(hào)柱需次操作,故,,又,∴是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴,即,∴.故選:AD.【典例2-3】(2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè))(多選)若正整數(shù)m.n只有1為公約數(shù),則稱m,n互質(zhì),對(duì)于正整數(shù)k,(k)是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù),函數(shù)(k)以其首名研究者歐拉命名,稱為歐拉函數(shù),例如:,,,.已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù),即如果m,n互質(zhì),那么,例如:,則(

)A.B.?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C.?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和小于【答案】ABD【詳解】,A對(duì);∵2為質(zhì)數(shù),∴在不超過的正整數(shù)中,所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為,∴為等比數(shù)列,B對(duì);∵與互質(zhì)的數(shù)為共有個(gè),∴又∵=,∴一定是單調(diào)增數(shù)列,C錯(cuò);,的前n項(xiàng)和為,D對(duì).故選:ABD.【典例2-4】(2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足.?dāng)?shù)列滿足,.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:.【解析】(1)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以,整理得.所以,又,故.所以,即為等比數(shù)列.所以(2)由題意得,所以與同號(hào),又因?yàn)?,所以,即,即.所以?shù)列為遞增數(shù)列,所以,即,累加得.令,,所以,兩式相減得:,所以,所以,所以.【典例2-5】(2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足,.(1)若,求證:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)因?yàn)樗?,因?yàn)樗?/p>

所以所以

所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.(2)由(1)易得:

因?yàn)樗运?、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例3-1】(2022·湖南·邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,若存在、,使得,則的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由可得,解得,因?yàn)椋瑒t,,可得,由已知、,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,的最小值為.故選:D.【典例3-2】(2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè))設(shè)等比數(shù)列滿足,則的最大值為(

)A.64 B.128 C.256 D.512【答案】A【詳解】由,得.又,得.故.由,得,得,且.故當(dāng)或4時(shí),取得最大值,即.故選:A.【典例3-3】(2022·河南省??h第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足,則公比q=(

)A. B.2 C. D.3【答案】D【詳解】由,則,所以,即,解得q=3或q=-1(舍去).故選:D.【典例3-4】(2022·海南海口·二模)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)且互不相等,記為的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列是等比數(shù)列;②數(shù)列是等比數(shù)列;③.注:如選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】選擇①②為條件,③為結(jié)論.證明過程如下:設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由題意知且.則,,,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,所以,即,展開整理得,所以,即.選擇①③為條件,②為結(jié)論,證明過程如下:設(shè)的公比為q,由題意知且.因?yàn)?,即,因?yàn)?,所以.所以,所以.因?yàn)?,,所以是首?xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.選擇②③為條件,①為結(jié)論,證明過程如下:設(shè)的公比為,由題意知且.則,所以,又因?yàn)?,且,所以.所以.?dāng)時(shí),,所以,所以是首項(xiàng)為,

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