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第5講指對冪函數(shù)及其應用學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理指數(shù)和指數(shù)函數(shù)1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念:eq\r(n,a)稱為根式,n稱為根指數(shù),a稱為被開方數(shù).(2)性質(zhì):(eq\r(n,a))n=a;當n為奇數(shù)時,eq\r(n,an)=a,當n為偶數(shù)時,eq\r(n,an)=|a|.2.分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定:正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)=eq\r(n,am)(a>0,m,n∈N*,且n>1);正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a-eq\f(m,n)=eq\f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0;0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):asat=as+t,(as)t=as__t,(ab)s=asbs,其中a>0,b>0,s,t∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念:一般地,函數(shù)y=ax稱為指數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域為R值域值域為(0,+∞),即對任何實數(shù),都有ax>0過定點過定點(0,1),即x=0時,y=1函數(shù)值的變化當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對稱性y=ax與y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖像關于y軸對稱對數(shù)和對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)的概念在表達式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,當a與N確定之后,只有唯一的b能滿足這個式子,此時,冪指數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù),記作b=logaN,其中a稱為對數(shù)的底數(shù),N稱為對數(shù)的真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式(1)對數(shù)的性質(zhì):①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).(2)對數(shù)的運算性質(zhì)①loga(MN)=logaM+logaN,②logaMα=αlogaM,③logaeq\f(M,N)=logaM-logaN.其中,a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R.(3)換底公式:logab=eq\f(logcb,logca)(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念:一般地,函數(shù)y=logax稱為對數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.(2)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域為(0,+∞),圖像在y軸的右邊值域值域為R過定點過定點(1,0),即x=1時,y=0函數(shù)值的變化當0<x<1時,y<0,當x>1時,y>0當0<x<1時,y>0,當x>1時,y<0單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)對稱性y=logax與y=logeq\s\do9(\f(1,a))x的圖像關于x軸對稱4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖像關于直線y=x對稱.冪函數(shù)和二次函數(shù)1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=xα稱為冪函數(shù),其中α為常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖像(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都有定義,因此在第一象限內(nèi)都有圖像,并且圖像都通過點(1,1).②如果α>0,則冪函數(shù)的圖像通過原點,并且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).③如果α<0,則冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),且在第一象限內(nèi);當x從右邊趨向于原點時,圖像在y軸右方且無限地逼近y軸;當x無限增大時,圖像在x軸上方且無限地逼近x軸.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),頂點坐標為(m,n).零點式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖像(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac-b2,4a),+∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(4ac-b2,4a)))對稱軸x=-eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),\f(4ac-b2,4a)))奇偶性當b=0時是偶函數(shù),當b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是減函數(shù);在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是增函數(shù);在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是減函數(shù)考點和典型例題1、指數(shù)和指數(shù)函數(shù)【典例1-1】(2020·黑龍江·東寧市第一中學高二階段練習)關于函數(shù)的結論正確的是(

)A.值域是 B.單調(diào)增區(qū)間是C.值域是 D.單調(diào)減區(qū)間是【答案】AB【詳解】令,則,又為增函數(shù),所以,所以函數(shù)的值域為,故A正確,C錯誤;因為在上單調(diào)遞增,為增函數(shù),所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,故選:AB【典例1-2】(2021·湖北省直轄縣級單位·高二階段練習)已知函數(shù)(且)的圖象如下圖所示,則下列四個函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應正確的是(

)A. B.C. D.【答案】ABD【詳解】由圖可得,即,單調(diào)遞減過點,故A正確;為偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故B正確;為偶函數(shù),結合指數(shù)函數(shù)圖象可知C錯誤;,根據(jù)““上不動、下翻上”可知D正確;故選:ABD.【典例1-3】(2022·全國·高三專題練習)將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉角,得到曲線,若曲線仍然是一個函數(shù)的圖像,則的可能取值為(

)A. B. C. D.【答案】ABCD【詳解】如上圖所示,分別是繞著原點逆時針方向旋轉,,,,所得到的的曲線,根據(jù)函數(shù)的定義可知,這四個曲線都符合函數(shù)圖像的定義.故選:ABCD.【典例1-4】(2022·重慶·模擬預測)已知(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則(

)A. B. C. D.【答案】AD【詳解】因為,所以,,.對,,這三個數(shù)先取自然對數(shù)再除以,則,,,設,則,由,解得,所以在上單調(diào)遞增,故,即,則,故,故選:AD.【典例1-5】(2022·全國·高三專題練習)為排查新型冠狀病毒肺炎患者,需要進行核酸檢測.現(xiàn)有兩種檢測方式:(1)逐份檢測:(2)混合檢測:將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測,若檢測結果為陰性,則這k份核酸全為陰性,因而這k份核酸只要檢測一次就夠了,如果檢測結果為陽性,為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性,就需要對這k份核酸再逐份檢測,此時,這k份核酸的檢測次數(shù)總共為次.假設在接受檢測的核酸樣本中,每份樣本的檢測結果是陰性還是陽性都是獨立的,并且每份樣本是陽性的概率都為,若,運用概率統(tǒng)計的知識判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式.(參考數(shù)據(jù):)(

)A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】CD【詳解】設混合檢測分式,樣本需要檢測的總次數(shù)可能取值為,故的分布列為:111設逐份檢測方式,樣本需要檢測的總次數(shù),則要使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式,需即,即,即又,,故選:CD2、對數(shù)和對數(shù)函數(shù)【典例2-1】(2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預測(理))設,,,則,,的大小關系正確的是(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】,因為函數(shù)為上的增函數(shù),,所以,故,又為R上的增函數(shù),,所以,即,所以,故選:A【典例2-2】(2022·江蘇南京·三模)我們知道,任何一個正整數(shù)N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),此時lgN=n+lga(0≤lga<1).當n≥0時,N是一個n+1位數(shù).已知lg5≈0.69897,則5100是(

)位數(shù).A.71 B.70 C.69 D.68【答案】B【詳解】,則其為70位數(shù),故選:B【典例2-3】(2022·河南開封·三模(理))函數(shù)的部分圖象大致為(

)A. B.C. D.【答案】A【詳解】因為,所以為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,故CD不正確;當時,,故B不正確.故選:A【典例2-4】(2022·全國·高三階段練習(理))已知,,,則(

)A. B.C. D.【答案】C【詳解】,;,;,;,,.故選:C.【典例2-5】(2022·湖北·荊門市龍泉中學一模)有一個非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列,此數(shù)列的前n項和已經(jīng)被研究了幾百年,但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式,只是得到它的近似公式:當n很大時,,其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù),……,至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無理數(shù).由于上式在n很大時才成立,故當n較小時計算出的結果與實際值之間是存在一定誤差的,已知,.用上式估算出的與實際的的誤差絕對值近似為(

)A.0.073 B.0.081 C.0.122 D.0.657【答案】B【詳解】解:依題意所以,又所以估算出的與實際的的誤差絕對值近似為;故選:B3、冪函數(shù)和二次函數(shù)【典例3-1】(2022·浙江·高三專題練習)下列冪函數(shù)中,定義域為的是(

)A. B. C. D.【答案】C【詳解】對選項,則有:對選項,則有:對選項,定義域為:對選項,則有:【典例3-2】(2022·全國·高三專題練習)冪函數(shù)在上為增函數(shù),則實數(shù)的值為(

)A. B.0或2 C.0 D.2【答案】D【詳解】因為是冪函數(shù),所以,解得或,當時,在上為減函數(shù),不符合題意,當時,在上為增函數(shù),符合題意,所以.故選:D.【典例3-3】(2022·安徽蚌埠·模擬預測(理))若冪函數(shù)滿足,則下列關于函數(shù)的判斷正確的是(

)A.是周期函數(shù) B.是單調(diào)函數(shù)C.關于點對稱 D.關于原點對稱【答案】C【詳解】由題意得,即,故,令,則,當時,,則單調(diào)遞減;當時,,則單調(diào)遞增;所以,因此方程有唯一解,解為,因此,所以不是周期函數(shù),不是單調(diào)函數(shù),關于點對稱,故選:C.【典例3-4】(2022·浙江·模擬預測)已知,函數(shù)的圖象不可能是(

)A. B.C. D.【答案】C【詳解】當時,,此時函數(shù)為一條射線,且函數(shù)在上為增函數(shù),B選項符合;當時,函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),所以函數(shù)在上為增函數(shù),此時函數(shù)在上只有一個零點,A選項符合;當時,時,函數(shù)的增長速度遠小于函數(shù)的增長速度,所以時,函數(shù)一定為減函數(shù),選項D符合,C不符合.故選:C【典例3-5】(2021·湖南·長沙一中高三階段練習)已知函數(shù),若當時,恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【詳解】由題意,,即為奇函數(shù),同時也為增函數(shù),∵,即,∴,即恒成立,,若不等式恒成立,只需,令,∴,∴.故選:C【典例3-6】(2021·四川省綿陽實驗高級中學高三階段練習(理))冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的圖象過定點(

)A. B. C. D.【答案】D【詳解】解:因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,解得,所以,故令得,所以所以的圖象過定點故選:D4、綜合應用【典例4-1】(2022·安徽·南陵中學模擬預測(文))已知,則a,b,c的大小關系為(

)A. B. C. D.【答案】D【詳解】由可得,,,,由于,,,而,,所以,所以.故選:D.【典例4-2】(2022·北京·二模)若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集,則正數(shù)的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】B【詳解】解:因為,所以的定義域為,,當時,則在上單調(diào)遞增,所以;要使定義域和值域的交集為空集,顯然,當時,若則,此時顯然不滿足定義域和值域的交集為空集,若時在上單調(diào)遞減,此時,則,所以,解得,即故選:B【典例4-3】(2022·安徽·壽縣第一中學高三階段練習(理))若為定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,則(

)A. B.C. D.【答案】D【詳解】由為

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