【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第39講圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系（精講）題型目錄一覽①圓的方程②點(diǎn)與圓的位置關(guān)系③與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題④直線與圓相交⑤直線與圓相切、相離一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、圓的基本概念平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓．二、圓的基本性質(zhì)、定理與公式1．圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．注意：對(duì)于圓的最值問(wèn)題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交四、直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離．【常用結(jié)論】關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．（2）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（3）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（4）求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形符合題意．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一圓的方程策略方法求圓的方程的兩種方法【典例1】已知圓過(guò)三點(diǎn)，，，則的圓心和半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線是圓的對(duì)稱軸，則的值為（

）A． B．C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，，則其外接圓的方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓C：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．7．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，8．（2023秋·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．則四邊形的面積為（

）．A．6 B．12 C．14 D．189．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上的圓與軸相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．3 B． C． D．4二、填空題10．（2023秋·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知圓的面積為，則．11．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知圓的半徑為3，則.12．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中?？奸_(kāi)學(xué)考試）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)過(guò)點(diǎn)，且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，為．13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)四點(diǎn)的圓的方程為.14．（2023春·河南商丘·高三臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圓心與圓的圓心重合，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為．15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C：，則當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為．16．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及點(diǎn)的圓的方程為．題型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系策略方法判斷集合關(guān)系的三種方法在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對(duì)應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對(duì)參數(shù)的制約．【典例1】“m<1”是“點(diǎn)P（1，1）在圓C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓：，若直線在軸上的截距為，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．以上都有可能2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定4．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（

）．A．點(diǎn)在l上 B．點(diǎn)在圓O上C．點(diǎn)在圓O內(nèi) D．點(diǎn)在圓O外5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.7．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓，若點(diǎn)在圓上，并且點(diǎn)到直線的距離為，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則的最大值為.題型三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題策略方法求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解．(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解．【典例1】已知直線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線3．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則使為等腰三角形的點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．2 C．3 D．44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．5．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓，圓，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓、圓的切線PA，PB（A，B為切點(diǎn)），使得，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）．A． B．C． D．6．（2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知直線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓的直徑，若平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)距離的倍，則的面積的最大值為（

）A．64 B．12 C． D．二、填空題8．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），使得，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.9．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到點(diǎn)C距離的最大值為．10．（2023春·云南紅河·高三開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M到直線的距離可以是．（寫(xiě)出一個(gè)符合題意的整數(shù)值）11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上.若MP的中點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為.12．（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）點(diǎn)P圓上，點(diǎn)在直線上，O坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．13．（2023·四川成都·三模）已知，是圓內(nèi)一點(diǎn)，對(duì)圓O上任意一點(diǎn)P都有為定值，則mn的值為．題型四直線與圓相交策略方法直線與圓的相交問(wèn)題（1）研究直線與圓的相交問(wèn)題，應(yīng)牢牢記住三長(zhǎng)關(guān)系，即半徑長(zhǎng)、弦心距和半徑之間形成的數(shù)量關(guān)系．（2）弦長(zhǎng)問(wèn)題=1\*GB3①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)具有的關(guān)系，這也是求弦長(zhǎng)最常用的方法．=2\*GB3②利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)．=3\*GB3③利用弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線，與圓的兩交點(diǎn)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長(zhǎng)：．【典例1】直線l：截圓所得的弦長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線和圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切C．相離 D．無(wú)法確定3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2=1，直線：y=2x+b相交，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A．（-3，1） B．（-，-） C．（，） D．（-，）4．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·北京·高三專題練習(xí)）若圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C． D．6．（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．37．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上的圓與軸相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．3 B． C． D．48．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．9．（2023秋·天津河?xùn)|·高三天津市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓被過(guò)點(diǎn)的直線截得的最短弦長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C． D．10．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．511．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．12．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C． D．13．（2023秋·北京海淀·高三清華附中校考開(kāi)學(xué)考試）若直線把圓分成長(zhǎng)度為1：2的兩段圓弧，則（

）A． B． C． D．14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為區(qū)間，且,則（

）A． B． C． D．215．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有兩點(diǎn)P，Q，它們關(guān)于直線x＋my＋4＝0對(duì)稱，且，則直線PQ的方程為（

）A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1C．y＝x－1 D．y＝x＋1二、填空題16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)是6，則該直線的方程為.17．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)的值是.18．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)．若為直角三角形，則的值為．19．（2023春·廣東珠海·高三珠海市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，直線l過(guò)點(diǎn)，且交圓O于P，Q兩點(diǎn)，使弦長(zhǎng)為整數(shù)的直線l共有條.20．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓交于A，兩點(diǎn)，若是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)定點(diǎn)的直線截圓C：所得弦長(zhǎng)小于3，則該直線斜率的取值范圍為22．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知圓，過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線l交圓C于M、N兩點(diǎn)，且，則直線l的方程是.題型五直線與圓相切、相離策略方法直線與圓相切、相離的問(wèn)題（1）圓的切線方程的求法=1\*GB3①點(diǎn)在圓上，法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．=2\*GB3②點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．（2）常見(jiàn)圓的切線方程過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程是；過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程是．過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為過(guò)曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．（3）關(guān)于直線與圓的相離問(wèn)題的題目大多是最值問(wèn)題，即直線上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最近或最遠(yuǎn)距離問(wèn)題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長(zhǎng)的問(wèn)題．【典例1】已知直線是圓的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為，則（

）A．2 B． C． D．7【典例2】已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓，直線，則圓C與直線l（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過(guò)圓C的圓心2．（2023·江蘇常州·校考一模）已知是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則（

）A．且與圓相交 B．且與圓相離C．且與圓相離 D．且與圓相交3．（2023秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線與圓相切，則實(shí)數(shù)（

）A．或 B．或9 C．11或 D．或4．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎?，直線，若l與⊙O相離，則（

）A．點(diǎn)在l上 B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在內(nèi) D．點(diǎn)在外5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023·四川成都·樹(shù)德中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若直線，與相切，則最大值為（

）A． B． C．3 D．59．（2023·陜西寶雞·?？家荒＃┮阎c(diǎn)在圓上，過(guò)作圓的切線，則的傾斜角為（）A． B． C． D．10．（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．11．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓在點(diǎn)處的切線上一點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．912．（2023秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線與平行時(shí)，（

）