第20講數(shù)列綜合學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.考點(diǎn)和典型例題1、分組轉(zhuǎn)化求和【典例1-1】（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】D【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，所以，所以，所以；故選：D【典例1-2】（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．216【答案】A【詳解】解：數(shù)列滿足，在，之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列，1，，1，1，，1，1，1，，，所以共有個數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由于，所以．故選：A．【典例1-3】（2022·河北滄州·二模）（多選）已知數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.所以，選項(xiàng)錯誤；又因?yàn)椋?，選項(xiàng)B正確；故C正確，選項(xiàng)D正確.故選：BCD【典例1-4】（2022·湖北·襄陽五中二模）已知數(shù)列、，，，其前項(xiàng)和分別為，，（1）記數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則=_________；（2）記最接近的整數(shù)為，則_________．【答案】

2550【詳解】依題意，，則，即有，從而有，即，若，則，若，則，，所以.故答案為：；2550．【典例1-5】（2022·海南省直轄縣級單位·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求【答案】(1)，(2)【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為（），∵，，，∴，，∴，，∴，(2)由（1）知，，∴，∴，【典例1-6】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．(2)由（1）得，，所以，，．2、裂項(xiàng)相消法求和【典例2-1】（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?所以前5項(xiàng)和為故選：D【典例2-2】（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的各項(xiàng)互異，且，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【詳解】由題意，得，則，即，所以.故選：C.【典例2-3】（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列{}各項(xiàng)均為正數(shù)，，、為方程(m為常數(shù))的兩根，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和為_________．【答案】【詳解】等比數(shù)列{}中、為方程的兩根，設(shè)數(shù)列{}的公比為，則，且又，所以，所以∴∴∴數(shù)列的前2022項(xiàng)和，故答案為：.【典例2-4】（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足時，，．若函數(shù)的圖像與x軸恰好有個不同的交點(diǎn)，則_________．【答案】【詳解】∵，∴，所以函數(shù)周期為4，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，函數(shù)周期為4，令，即與函數(shù)恰有個不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象知，直線與第個半圓相切，故，故，所以．故答案為：.【典例2-5】（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，，，且(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5【解析】(1)由題意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差為2的等差數(shù)列，則an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；(2)由題知，則由得，解得，所以n的最大值為5．【典例2-6】（2022·四川·綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)若，是的前項(xiàng)和，求．【答案】(1)(2)【解析】(1)時，，，所以；(2)時，，，所以，所以.3、錯位相減法求和【典例3-1】（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，若，且對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解:由，得，所以，當(dāng)時，，符合上式，所以．所以，，作差得，所以．由，得，整理得．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以.故選：A．【典例3-2】（2022·上海·模擬預(yù)測）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_________．【答案】【詳解】的傾斜角，設(shè)圓、與直線的切點(diǎn)分別為，連接，過作，垂足為，則∵，整理得數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，即∴，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則有：兩式相減得：即故答案為：．【典例3-3】（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，(2)【解析】(1)當(dāng)時，由可得,由已知，有,兩式相減得,即,

因?yàn)椋?所以,所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以；(2)由（1）可得，所以，

，則，所以，所以.【典例3-4】（2022·山東煙臺·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時，.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】(1)當(dāng)時，，所以，，整理得：，即.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以，即.(2)由（1）知，，所以，①所以，②①-②得，，所以，，所以，，所以，即，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.【典例3-5】（2022·山東淄博·三模）設(shè)為等差數(shù)列