第6講函數(shù)的圖像學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖像步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線(xiàn).2.利用圖像變換法作函數(shù)的圖像(1)平移變換(2)對(duì)稱(chēng)變換y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)))y＝－f(x)的圖像；y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)))y＝f(－x)的圖像；y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)))y＝－f(－x)的圖像；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖像eq\o(→,\s\up17(關(guān)于直線(xiàn)),\s\do15(y＝x對(duì)稱(chēng)))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖像.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(縱坐標(biāo)不變),\s\do15(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(橫坐標(biāo)不變),\s\do15(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A(A>0)倍))y＝Af(x).(4)翻折變換y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up17(x軸下方部分翻折到上方),\s\do15(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖像；y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up17(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do15(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖像.考點(diǎn)和典型例題1、函數(shù)的圖像【典例1-1】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【詳解】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．故選：B.【典例1-2】（2022·天津·漢沽一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)若(互不相等)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示:設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以，所以，?當(dāng)時(shí)，解得或，所以.設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：D.【典例1-3】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱(chēng)陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱(chēng)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，則（）A．函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)B．函數(shù)不是圓O：的太極函數(shù)C．函數(shù)不是圓O：的太極函數(shù)D．函數(shù)不是圓O：的太極函數(shù)【答案】A【詳解】解：兩曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心均為點(diǎn)，且兩曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，所以能把圓一分為二，如圖：故A正確；同理易知B，C不正確；函數(shù)為奇函數(shù)，且，，如圖：所以函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)，故D不正確，故選：A．【典例1-4】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象如下圖1，則如下圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】圖1：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于圖2不符合，故排除C、D．∵恒成立，于圖2不符合，故排除B．故選：A．【典例1-5】（2022·安徽淮南·二模（文））函數(shù)的部分圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記,則,故,是奇函數(shù),故圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).此時(shí)可排除A,C,取,排除D.故選:B2、圖像的平移和變換【典例2-1】（2022·四川綿陽(yáng)·三模（理））已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．為奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】D【詳解】化簡(jiǎn)得，的可以看作是函數(shù)先向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位得到，先畫(huà)出的圖象，再進(jìn)行平移畫(huà)出的圖象，明顯可見(jiàn)，對(duì)于原函數(shù)，為奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在和上為單調(diào)減函數(shù)，所以，經(jīng)過(guò)平移后變成的在上單調(diào)遞減，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，非奇函數(shù)也非偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，D正確；A、B、C錯(cuò)誤.故選：D【典例2-2】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，，且的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在和上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.故選：C.【典例2-3】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將曲線(xiàn)上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到曲線(xiàn)，則上到直線(xiàn)距離最短的點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將化為，則將曲線(xiàn)上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到曲線(xiàn)，即，要使曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短，只需曲線(xiàn)上在該點(diǎn)處的切線(xiàn)和直線(xiàn)平行，設(shè)曲線(xiàn)上該點(diǎn)為，因?yàn)?，且的斜率為，所以，解得或（舍），即該點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.【典例2-4】（2021·北京四中高三期中）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（

）A．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【詳解】要得到函數(shù)的圖象，則只需要把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可.故選：C．【典例2-5】（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，則下列圖象錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，表示一條線(xiàn)段，且線(xiàn)段經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，表示一段曲線(xiàn)．函數(shù)的圖象如圖所示．的圖象可由的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故A正確；的圖象可由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后得到，故B正確；由于的值域?yàn)椋?，故的圖象與的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中的圖象不正確．故選：D．3、圖像的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2022·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】A函數(shù)為遞減的，錯(cuò)誤；C函數(shù)的值域大于等于0，錯(cuò)誤；D函數(shù)為二次函數(shù)，錯(cuò)誤，只有B符合.故選：B.【典例3-2】（2022·天津南開(kāi)·一模）函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意，函數(shù)，因?yàn)?，即函?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可排除A、B項(xiàng)；又因?yàn)?，可排除D項(xiàng)，故選：C.【典例3-3】（2022·浙江嘉興·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，所以函?shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，所以函?shù)為偶函數(shù)，符合題意；對(duì)于C，函數(shù)，則，得且，故函數(shù)的定義域?yàn)榍?，結(jié)合函數(shù)圖像可知，不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)榍?，結(jié)合函數(shù)圖像可知，不符題意.故選：B.【典例3-4】（2022·安徽·安慶一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)在上的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故排除AB.當(dāng)時(shí)，則，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故D正確故選：D.【典例3-5】（2022·江西上饒·二模（理））函數(shù)的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)，，函數(shù)為奇函數(shù)，排除C；，排除AD；故選：B.【典例3-6】（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））雙曲函數(shù)在實(shí)際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類(lèi)與三角函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)，和雙曲余弦函數(shù).下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．雙曲正弦函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，雙曲余弦函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)B．若直線(xiàn)與雙曲余弦函數(shù)圖象和雙曲正弦函數(shù)圖象共有三個(gè)交點(diǎn)，則C．雙曲余弦函數(shù)圖象總在雙曲正弦函數(shù)圖象上方D．雙曲正弦函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的圖象與雙曲余弦函數(shù)圖象重合【答案】B【詳解】對(duì)于A，由于，故為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，而，故為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故在時(shí)為增函數(shù)，