3.1向量乘積（1）向量的乘積向量乘積的定義(A.1)圖A.1向量乘積的定義(2)三向量的乘積由式（A.7）（A.8）（A.9）：這是矢量三重積和矩陣次向量之間的交換式。3.2任意軸的旋轉矩陣我們可推導出繞任意K軸旋轉α的旋轉矩陣其中k是單位矢量?？紤]單位矢量I，J，k和矢量k如圖（B.1）。向量p可描述為（B.1）而向量?*是向量?通過繞K軸旋轉α角得到，故：（B.2）同理：（B.3）圖B.1單位向量i,j,k把向量p旋轉α，旋轉后的向量記作p*:（B.4）由可得:（B.5）（B.6）（B.7）把（B.2）、（B.3）式代入（B.5）式得：由（見附錄A）得：由于向量p是任意的，可取。那么p*=x*也是單位向量：（B.10）（B.9）（B.8）由于，則有:（B.11）同理：由定義，可得：（B.12）（B.11）3.3慣性張量和角動量當在一個剛體上的向量p以ω角速度旋轉，p的速度由下式表示:（C.1）（C.3）（C.2）（C.5）把p點的小部分的質量描述為dm：這小部分的動量=vdm這小部分的角動量=p×

vdm對于整個剛體，角動量M是：（C.4）圖C.1剛體的旋轉通過使用向量三重積?矩陣倍矢量式，（C.6）（C.7）可得:（C.8）I被稱為“慣性張量”。剛體在坐標系Σ0中旋轉。這意味慣性張量I是隨時間t的變化而變化的。這是不利的。因此，我們接下來描述關于剛體坐標框系的慣性張量來表示為固定值的元素。在ΣA中，可得：（C.9）動量M和角速度ω是向量，所以:（C.11）（C.10）把上述方程代入M=Iω:（C.12）對式兩邊，得：（C.13）比較方程（C.9）和方程（C.13）：（C.14）（C.15）或等價于:這是慣性張量坐標變換公式。需要注意的是AI是不變的，但是0RA和I不是恒定的。3.4平行軸定理接下來，我們推導慣性張量（瞬間）的平移?？紤]一個剛體中任意點p?；仡櫼幌拢杭僭O這兩個坐標系ΣA和ΣB是平行的，ΣA的原點是剛體的質心，我們現(xiàn)在考慮ΣB中的方程式，通過設置（D.1）由右側的第一部分：（D.3）（D.2）圖D.1剛體上的ΣA和ΣB右側的第二組成部分是使用關系其中因此可得到：這就是所謂的“定理平行軸”。我們也從中獲得使用元素另一種表示。3.5歐拉運動方程

圖示為剛體坐標系

這個方程是ΣA的運動歐拉方程。在這里，我們準備了下面的關系：

（12）

（13）

（14）

由以及式（11）、式（14）可得：

（15）

3.6拉格朗日運動方程我們通過分析力學獲得拉格朗日運動方程，假設一個在廣義坐標q1，···，qn和時間t的三維空間質點xj。這是一個有h個獨立約束條件的N質點系統(tǒng)，對于這個系統(tǒng)，自由度數(shù)n為：n=3N-h（F.2）然后，獨立的N質點系統(tǒng)可以由n個獨立的一般坐標q1，....qn表示。對于第j個質點，有Xj的時間導數(shù)可以被寫成：由公式（F.4）可得：通過對公式（F.4）中qi求偏導：

公式（F.7)在對時間求導數(shù)：在這里我們使用公式（F.5）和（F.6），取和內積的總和通過重新排列方程（F.8）將方程代入式（F.9）將方程的左側表示為Qi，其中可以得到：

這就是拉格朗日運動方程。拉格朗日運動方程3.7李雅普諾夫穩(wěn)定性定理一般非線性獨立系統(tǒng)（不包含t）被描述為：我們考慮滿足F（x0）=0的平衡點x0，一般情況下，我們可以寫：F(0)=0需要注意的是:如果x0≠0，則它滿足由x←（X-X0）李亞普諾夫穩(wěn)定1.穩(wěn)定：如果對?ε>0都存在?δ>0滿足||x（0）||<δ和滿足||X（t）||<ε（t≥0）的任意初始態(tài)的x（0）出發(fā)的運動軌跡，那么原點0是穩(wěn)定的。2.漸進穩(wěn)定：如果原點0是穩(wěn)定的且存在?ρ<δ滿足||X（0）||<ρ和滿足t→∞，X（t）→0時從任意x（0）的軌跡X（t），那么原點0是漸近穩(wěn)定的。3.全局漸進穩(wěn)定：如果原點0是穩(wěn)定的并且軌跡X（t）上的任意x（0）是t→∞