等比數(shù)列

【課前斷新】

成績(jī)(滿分1()):完成情況：優(yōu)/中/差

I.在等差數(shù)列(〃"｝中，“2=—5,〃6=44+6,則41等于().

A.-9B.-8C.-7D.-4

【答案】B

2.數(shù)列(〃“｝滿足ai=l,ann=an-3(nwN"),則如=

A.10B.8C.-8D.-10

【答案】C

3.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,且。1=2,%+。3=13,那么則。4+%+%等于()

A.40B.42C.43D.45

【答案】B

4.設(shè)｛%｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若q+%+/=15,a]a2a3=80,則4]+。]2+%等

于()

A.120B.105

C.90D.75

【答案】B

5.數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為3,也“｝為等差數(shù)列且4=為+1一。”(〃￡“).若&二—2,九二12,

則4=()

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

【知詼點(diǎn)】

1等比數(shù)列的定義：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)

列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比：公比通常用字母q表示(4工0),即：

二夕⑨工0).

要點(diǎn)詮釋：

①由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0,因此q不能是0；

②“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)q”,這里的項(xiàng)具有任意性和有序性,

常數(shù)是同一個(gè)；

③隱含條件：任一項(xiàng)qw0且q=0工0”是數(shù)列｛〃“｝成等比數(shù)列的必要不充分條件；

④常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列.不為。的常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

首項(xiàng)為G,公比為9的等比數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為：N*,qywO)

3.等比中項(xiàng)

如果三個(gè)數(shù)。、G、b成等比數(shù)列，那么稱數(shù)G為。與b的等比中項(xiàng)淇中G=±瘋.

要點(diǎn)詮釋：

①只有當(dāng)〃與b同號(hào)即曲＞0時(shí)，。與％才有等比中項(xiàng)，且〃與b有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中

項(xiàng).當(dāng)。與3異號(hào)或有一個(gè)為零即出時(shí)，〃與b沒有等比中項(xiàng).

②任意兩個(gè)實(shí)數(shù)。與b都有等差中項(xiàng)，且當(dāng)。與〃確定時(shí)，等差中項(xiàng)c=±L2唯一.但任意兩

2

個(gè)實(shí)數(shù)〃與匕不一定有等比中項(xiàng)，且當(dāng)。與方有等比中項(xiàng)時(shí)，等比中項(xiàng)不唯一.

③當(dāng)必＞0時(shí)，。、G、力成等比數(shù)列o￡=2oG2=aboG=±J^.

aG

④G?二c而是〃、G、b成等比數(shù)列的必要不充分條件。

4.等比數(shù)列的判定

(I)定義法：S=q(qwO)

a..

(2)等比中項(xiàng)法：%=戶0)

5.等比數(shù)列的性質(zhì)

（1）若犯〃,〃，夕cM，且m+〃=p+q,則%?〃“二%?《’,

特別地,當(dāng)〃z+〃=2〃時(shí)atn?a”=aj.

（2）下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為6的項(xiàng)氏，4+小《+2……組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，

公比為夕

（3）若｛〃」，也｝是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則｛%"｝、｛%-｝、｛垢〃｝"是常數(shù)且AW。）、

｛—｝，｛叫（機(jī)￡乂，機(jī)是常數(shù)）、｛a,r5.｝、（?）也是等比數(shù)列：

（4）連續(xù)攵項(xiàng)和（不為零）仍是等比數(shù)列.即耳，52人一5火，53?-52?一..成等比數(shù)列，該等

比數(shù)列的公比為

（5）等比數(shù)列單調(diào)性問題：

?當(dāng)q>1且q>0時(shí)，等比數(shù)列｛《』是遞增數(shù)列；

?當(dāng)4>1且4<0時(shí)，等比數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列；

?當(dāng)0<“<1且q>0時(shí)，等比數(shù)列｛《』是遞減數(shù)列：

?當(dāng)0<4<1且q<0時(shí)，等比數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列。

當(dāng)“V。時(shí)，等比數(shù)列伍J是擺動(dòng)數(shù)列。

nax（q=D

6.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：5〃=卜］（1一"4一4〃

（4工1）

.1一41一4

4

由(1)得：(qq4)2=64,AaAq=8......(4)

1+夕4205

(3)汽4)得:--:—=—=—，

夕282

:.2g4-5/+2=0,解得夕？=2或/=g

當(dāng)q2=2時(shí)，4=2,Q”=q?，')=64；

【答案】128

考點(diǎn)二：等比中項(xiàng)問題

例1.等比數(shù)列｛4｝中，夕=2,則%與％的等比中項(xiàng)是（）

8

A.±4B.4C.±jD.1

【答案】A

練1.在等比數(shù)列｛%｝中，出=2,且,+-!-=：,則q+%的值為

a\ai4

【答案】5

例2.已知數(shù)列｛〃”｝是公比為夕的等比數(shù)列，4?%=4,%=8,則％+q的值為

A.3B.3C.3或2D.3或一3

【答案】D

例3.若x,2什2,3工十3是一個(gè)等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則x的值為.

【答案】-4

練1.如果25,x,），,z,l成等比數(shù)列，那么

A.y=5,xz=25B.y=-5,xz=25

C.y=5yxz=-25D.y=-5,xz=-25

【答案】A

練2.設(shè)等差數(shù)列｛七｝的公差d不為0,4=%/.若/是&與g的等比中項(xiàng)，則上等于（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】選B.

練3.在等比數(shù)列｛〃”｝中，4=1,公比|同wl.若a,”=44。必〃5，貝物"=（）

A.9B.10C.llD.12

【答案】C

考點(diǎn)三：等比數(shù)列性質(zhì)問題

例1.已知等比數(shù)列｛《』中，4+出=1嗎+%=-8則公比夕=(

1

A.-2B.2C.-1D

2-

2

【答案】A

例2.等比數(shù)列｛%｝中，若a,?必=9,求log3〃i+Iog3〃2+…+l°g3qo-

【答案】???｛可｝是等比數(shù)列，???4?40=。2=4.%=%./=9

+|

??10g36+10g3/+0g34o=嗓式《生?為…即:）=1咆3（。54）'=10g39'=10

例3.已知等比數(shù)列前20項(xiàng)和是21,前30項(xiàng)和是49,則前10項(xiàng)和是()

A.7B.9C.63D.7或36

【答案】D

由5|0?S20-5|0,§3。-$20成等比數(shù)列，

???(S20—SK))2=SKr(S30—S2)),即(21—SIO)2=SIO(49—21),

Q97

例4.在2和'之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為.

32

【答案】216；

法一：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為｛4｝,其公比為外

?”號(hào)，夕紅="."

9、

63

a。聞"；6-=

42a3?4=%q?aW=a?q4/

o77

法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為｛?“｝,公比為q,則q=2,a5=—,

32

a

加入的三項(xiàng)分別為a2,%，4，

由題意修，a3,生也成等比數(shù)列，

=gx§=36>故%=6,

a2,ciy-a4=a；?氏=a\=216

例5.已知等比數(shù)列｛q｝的公比gwl,則下面說法中不正確的是（）

A.｛a〃+2+4j是等比數(shù)列B.對(duì)于ZeN-，k>\,ak_｝+ak+l^2ak

C.對(duì)于〃wN*,都有anan+2>0D.若%>4，則對(duì)于任意〃￡N*,都an+l

【答案】D

練1.已知等比數(shù)列（《』中，生+%=1，2+。5=2，則4+。7等于（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

【答案】C

練2.等比數(shù)列｛an］的各項(xiàng)均為正數(shù)，且%%+a4Oj=18，則log,q+log3q+…+log3%=

【答案】10

練3.若等比數(shù)列滿足〃/向=16",則公比為

A.2B.4C.8D.16

【答案】選B

因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足二16"①所以《加%+2=16向②

②+①得=16.又因?yàn)椤?川=16">0,所以q=4.

練4.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，若§6：53=1:2,則S/S3等于（）

A.1：2B.2：3C.3：4D.1：3

【答案】C

考點(diǎn)8:利用定義證明等比數(shù)列

22a?

例1.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4=：;,4加二>\,〃=1,2,3,……，證明：數(shù)歹i]｛一—1｝是等

3。“+1冊(cè)

比數(shù)列.

1

【解析】由0,”含花i=^44

1一『姓f又行|,,,『|

???數(shù)歹1｝是首項(xiàng)為J,公比為L(zhǎng)的等比數(shù)列.

凡22

練1.已知數(shù)列｛凡｝中4=1,a.+241T+3=0(/?>2).判斷數(shù)歹ij｛%+1｝是等比數(shù)列，并說明理

由

【答案】｛凡+1｝是等比數(shù)列

:4=1,an+2。"_]+3=0(//>2).

可+1=-2(2_]+1),

???數(shù)列｛4+1｝是首項(xiàng)為2,公比為-2的等比數(shù)列

考點(diǎn)五：等比數(shù)列百〃項(xiàng)和

例1.等比數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為S”,已知&=%+10%,生=9，則%=

A.lB-C.-D」

3399

【答案】C

例2.已知等比數(shù)列｛*｝中q=l,且(十.十一=8,那么S,的值是()

a1+a2+as

A.15B.3IC.63D.64

【答案】B

例3.設(shè)等比數(shù)列｛/｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為“，前〃項(xiàng)和為S”.若對(duì)T〃wN”,有

S2“<3S”,則4的取值范圍是()

A.(O,1]B.(0,2)C.[l,2)D.(0,V2)

【答案】A

練1.已知｛%｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S“表示｛%｝的前〃項(xiàng)的和，若q=3,

%q=144,則名的值是()

69

A.—B.69C.93D.189

2

【答案】c

練2.已知數(shù)列｛4｝滿足4M=2%,且數(shù)列的前2項(xiàng)和S2=3,則數(shù)列的前5項(xiàng)和S，等于

45

A.15B.—C.31D.62

2

【答案】C

練3.若等比數(shù)列｛“”｝滿足〃2+包=20,%+%=40,則公比鄉(xiāng)=:前〃項(xiàng)和

S“=-----------

【答案】2；2H+,-2

例4.已知等比數(shù)列｛%｝的公比q＞0,且q=l,4a.=a2a4.

（I）求公比q和的的值；

（1【）若｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S”，求證：.-2.

【答案】（I）法一：因?yàn)椤镀叨?，所?/=母，所以%=4,

因?yàn)椴?&■二*所以夕=±2,因?yàn)榉病?,所以q＞0,即4=2.

法二:因?yàn)?小二生小，所以4aq2=°q4,所以有一=4,所以夕=±2.

因?yàn)?＞0，所以鄉(xiāng)＞0,即9=2.

所以〃3=〃—=4.

（II）當(dāng)4=2時(shí)，/=40』=2"-1

s”cq（l-4"）m1口-3S”2n-11

所以S〃=、_q=2-1.所以7=可丁=2-產(chǎn)?

?s1

因?yàn)榕_(tái)＞。，所以：=2—聲＜2

法二：當(dāng)"=2時(shí)，氏=q/"=2〃T.

所以S〃=駕二《1=2”一1.

1—q

S1s

所以1-2=一。＜0,所以口＜2.

冊(cè)2an

法三：當(dāng)q=2時(shí)，氏=〃聞1=21,

所以&二駕二?=2”一1,

1一夕

s

要證j<2,只需要s.<2q,只需2“一1<2"

n

上式顯然成立，得證.

【小試牛刀】

1.若數(shù)列｛?！埃凉M足。=2*1則

A.數(shù)列｛/｝不是等比數(shù)列B.數(shù)列｛qj是公比為4的等比數(shù)列

C.數(shù)列伍“｝是公比為2的等比數(shù)列D.數(shù)列｛%｝是公比為」的等比數(shù)列

【答案】B

2.已知等比數(shù)列｛4｝,若4+出+。3=7,a｝a2a3=8,求%.

【答案]。”=2“7或?！?23?"；

3.等比數(shù)列僅“｝中，43T2,%+4=30,則％0的值為()

A.3x10-5B.3x29C.128D.3X2'或

滿足()

A.(/>1B.0<^<1C.gv”1D.-l<<7<0

【答案】選B

解析：.6+L4”=〃同"一。-1)>()對(duì)任意正整數(shù)〃都成匕而”]<(),只能0<夕<1.

6.已知等比數(shù)列｛〃“｝中，生+%=8,q?％=4,則&■=

a,

【答案】9

7.設(shè)等比數(shù)列｛〃”｝的前"項(xiàng)和為若%=1$=4s,,則%=

【答案】3

【鞏固練習(xí)——基礎(chǔ)篇】

1.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃〃｝中，首項(xiàng)q=3,前三項(xiàng)和為21,則為+4+%等于

A.33B.72C.84D.189

【答案】C

2.設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q(gwl),則數(shù)列。3,4，%，，為”，…的前n項(xiàng)和為()

67.(1-^)[("/)生(「/”)

A.---------------n,----------:----L?----------:----U.----------z----

\-q\-qy\-qy\-q3

【答案】D

3.已知等比數(shù)列｛%｝滿足4>0,〃=1,2,???，且％y.jZzpzNB),則當(dāng)〃21時(shí),

log2ax+log24-...4-log2a2n_]=().

A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(〃—

【答案】C

【解析】由。5如-5=2叫磋3)得干"2=22",又如＞0,

則〃"=2",Iog241+log2s+…+log242“-l=1+3+…+(2〃-1)=〃2,故選C.

4.若等比數(shù)列｛a,J滿足見+a=20,&+&=40,則公比q=

【答案】2

5.若數(shù)列｛%｝滿足=q/T(q>1)給出以下四個(gè)結(jié)論:

①｛冊(cè)｝是等比數(shù)列；②｛明｝可能是等差數(shù)列也可能是等比數(shù)列

③｛冊(cè)｝是遞增數(shù)列；④｛冊(cè)｝可能是遞減數(shù)列.

其中正確的結(jié)論是()

A.①③B.①@C.??D.??

【答案】D

.在等比數(shù)列｛明｝中，是方