2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽三角不等式試卷一、選擇題（每題5分，共30分）在銳角△ABC中，下列不等式恒成立的是（）A.sinA+sinB<cosCB.tanA+tanB>2C.sinA+sinB+sinC>2D.cosA+cosB+cosC>1已知θ∈(0,π/2)，則函數(shù)f(θ)=sinθ+2/cosθ的最小值為（）A.2√3B.3C.2+√2D.3√3在△ABC中，若a=2，b=3，c=4，則cosA+cosB+cosC的值為（）A.11/16B.13/16C.15/16D.17/16設(shè)α,β∈(0,π/2)，且sin2α+sin2β=sin(α+β)，則α+β的值為（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|sinx+cosx|≤a恒成立，則a的最小值為（）A.1B.√2C.2D.2√2在△ABC中，若tanA+tanB+tanC=3√3，則△ABC的形狀為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形二、填空題（每題5分，共30分）在△ABC中，已知tanA=1/2，tanB=1/3，則tanC=________。函數(shù)f(x)=sinx+cosx+sinxcosx的最大值為________。若θ∈[0,π/2]，則sinθcosθ/(1+sinθ+cosθ)的最大值為________。在△ABC中，若a2+b2=2c2，則cosC的最小值為________。設(shè)x,y∈[0,π/2]，且x+y=π/3，則sinx+siny的最大值為________。對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b，不等式a/sin2θ+b/cos2θ≥(√a+√b)2恒成立，則θ的取值范圍是________。三、解答題（共90分）13.（15分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知a=2，b=√3，c=√7，求：（1）角C的大?。唬?）sinA+sinB的值；（3）△ABC的面積。解答：（1）由余弦定理得：cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4+3-7)/(2×2×√3)=0∵C∈(0,π)，∴C=π/2（2）由正弦定理得：sinA=a/c=2/√7，sinB=b/c=√3/√7∴sinA+sinB=(2+√3)/√7=(2√7+√21)/7（3）S=1/2ab=1/2×2×√3=√314.（15分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，x∈R。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值；（3）若f(x)=3/5，求sin4x的值。解答：（1）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，最小正周期T=2π/2=π（2）當(dāng)x∈[0,π/2]時(shí)，2x+π/4∈[π/4,5π/4]∴sin(2x+π/4)∈[-√2/2,1]，故f(x)∈[-1,√2]最大值為√2（x=π/8時(shí)），最小值為-1（x=π/2時(shí)）（3）由√2sin(2x+π/4)=3/5，得sin(2x+π/4)=3√2/10sin4x=-cos(4x+π/2)=-[1-2sin2(2x+π/4)]=-[1-2×(9×2)/100]=-[1-36/100]=-64/100=-16/2515.（20分）在△ABC中，求證：（1）sinA+sinB+sinC≤3√3/2；（2）tan2(A/2)+tan2(B/2)+tan2(C/2)≥1；（3）a2+b2+c2≥4√3S（其中S為△ABC的面積）。解答：（1）由琴生不等式，y=sinx在(0,π)上為凸函數(shù)∴(sinA+sinB+sinC)/3≤sin[(A+B+C)/3]=sin(π/3)=√3/2∴sinA+sinB+sinC≤3√3/2（當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=π/3時(shí)取等）（2）令x=A/2,y=B/2,z=C/2，則x+y+z=π/2，且x,y,z>0需證tan2x+tan2y+tan2z≥1由柯西不等式：(tan2x+tan2y+tan2z)(1+1+1)≥(tanx+tany+tanz)2又tanx+tany+tanz≥3tan[(x+y+z)/3]=3tan(π/6)=√3∴tan2x+tan2y+tan2z≥(√3)2/3=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=π/6時(shí)取等）（3）由余弦定理及面積公式S=1/2absinCa2+b2+c2-4√3S=a2+b2+(a2+b2-2abcosC)-4√3×(1/2absinC)=2a2+2b2-2abcosC-2√3absinC=2a2+2b2-4abcos(C-π/3)≥2a2+2b2-4ab=2(a-b)2≥0當(dāng)且僅當(dāng)a=b且C=π/3時(shí)取等，即△ABC為等邊三角形16.（20分）已知α,β,γ∈(0,π/2)，且sin2α+sin2β+sin2γ=1。（1）求證：tanαtanβtanγ≤√2/4；（2）求1/cosα+1/cosβ+1/cosγ的最小值。解答：（1）令a=sinα,b=sinβ,c=sinγ，則a2+b2+c2=1，且a,b,c∈(0,1)tanα=a/√(1-a2)=a/√(b2+c2)≤a/(√2bc)（均值不等式）同理tanβ≤b/(√2ac)，tanγ≤c/(√2ab)三式相乘得tanαtanβtanγ≤(abc)/(√2bc·√2ac·√2ab)=1/(2√2)=√2/4（2）由權(quán)方和不等式：1/cosα+1/cosβ+1/cosγ=1/√(1-a2)+1/√(1-b2)+1/√(1-c2)令f(x)=1/√(1-x2)，則f''(x)=(2x2+1)/(1-x2)^(5/2)>0，函數(shù)下凸由琴生不等式：[f(a)+f(b)+f(c)]/3≥f[(a+b+c)/3]又a2+b2+c2=1≥(a+b+c)2/3?a+b+c≤√3∴f[(a+b+c)/3]≥f(√3/3)=1/√(1-1/3)=√3/√2∴1/cosα+1/cosβ+1/cosγ≥3×√3/√2=3√6/2（當(dāng)a=b=c=√3/3時(shí)取等）17.（20分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx-ksinxcosx（k∈R）。（1）若k=0，求f(x)在[0,π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若對(duì)任意x∈[0,π/2]，f(x)≥0恒成立，求k的取值范圍；（3）當(dāng)k=1時(shí)，求f(x)在[0,π]上的值域。解答：（1）k=0時(shí)，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)令√2sin(x+π/4)=0，得x+π/4=π?x=3π/4在[0,π]上有1個(gè)零點(diǎn)（2）令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，x∈[0,π/2]時(shí)t∈[1,√2]則sinxcosx=(t2-1)/2，f(x)=t-k(t2-1)/2≥0當(dāng)t=1時(shí)，1≥0恒成立；當(dāng)t∈(1,√2]時(shí)，k≤2t/(t2-1)令g(t)=2t/(t2-1)，g’(t)=2(t2-1-2t2)/(t2-1)2=-2(t2+1)/(t2-1)2<0∴g(t)在(1,√2]上遞減，g(t)min=g(√2)=2√2/(2-1)=2√2故k≤2√2（3）k=1時(shí)，f(x)=t-(t2-1)/2=-1/2t2+t+1/2t∈[-√2,√2]，對(duì)稱軸t=1當(dāng)t=1時(shí)，f(x)max=-1/2+1+1/2=1當(dāng)t=-√2時(shí)，f(x)min=-1/2×2+(-√2)+1/2=-1-√2+1/2=-1/2-√2∴值域?yàn)閇-1/2-√2,1]四、附加題（20分）在非鈍角△ABC中，求證：cosAcosBcosC≤1/8，并求等號(hào)成立的條件。解答：當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，不妨設(shè)C=π/2，則cosC=0，不等式成立當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，令A(yù)≤B≤C<π/2，則A≤π/3由y=lncosx在(0,π/2)上為凸函數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)y''=-sec2x<0）∴l(xiāng)ncosA+lncosB+lncosC≤