2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽人工智能倫理試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）1.算法公平性與數(shù)學(xué)建模某高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)機(jī)構(gòu)使用AI系統(tǒng)篩選參賽選手，其算法模型基于歷史參賽數(shù)據(jù)構(gòu)建。已知該模型在預(yù)測(cè)女生選手決賽通過(guò)率時(shí)，準(zhǔn)確率比男生低12%。若用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這一現(xiàn)象，下列說(shuō)法正確的是（）A.模型的混淆矩陣在性別維度存在顯著差異B.算法的ROC曲線下面積（AUC）與性別變量正相關(guān)C.特征工程中未對(duì)性別特征進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理D.訓(xùn)練數(shù)據(jù)存在幸存者偏差導(dǎo)致協(xié)變量偏移2.數(shù)據(jù)隱私與概率統(tǒng)計(jì)某競(jìng)賽平臺(tái)要求參賽選手上傳包含面部特征的身份驗(yàn)證視頻，系統(tǒng)采用差分隱私技術(shù)保護(hù)數(shù)據(jù)。若原始視頻數(shù)據(jù)包含100個(gè)面部特征點(diǎn)，添加拉普拉斯噪聲后特征點(diǎn)誤差服從參數(shù)為ε=0.1的拉普拉斯分布，下列計(jì)算正確的是（）A.相鄰特征點(diǎn)距離的期望誤差為0.2B.特征點(diǎn)坐標(biāo)的方差為0.02C.隱私保護(hù)強(qiáng)度滿足(ε,δ)-差分隱私（δ=0.01）D.10個(gè)特征點(diǎn)同時(shí)被準(zhǔn)確識(shí)別的概率為e?13.博弈論與AI決策在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的自動(dòng)評(píng)分系統(tǒng)中，某AI模型采用強(qiáng)化學(xué)習(xí)策略調(diào)整評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)選手使用非常規(guī)解題方法時(shí)，系統(tǒng)面臨"嚴(yán)格扣分"或"寬容加分"的決策困境，收益矩陣如下（行代表AI策略，列代表選手策略）：常規(guī)解法非常規(guī)解法嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)(80,60)(90,30)寬容標(biāo)準(zhǔn)(70,80)(60,90)該博弈的納什均衡點(diǎn)為（）A.（嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，常規(guī)解法）B.（寬容標(biāo)準(zhǔn)，非常規(guī)解法）C.混合策略均衡（嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)概率0.4，常規(guī)解法概率0.6）D.不存在純策略納什均衡4.可解釋性與邏輯推理某符號(hào)主義AI系統(tǒng)在證明幾何題時(shí)，輸出如下推理過(guò)程：∵四邊形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C又∵系統(tǒng)通過(guò)圖像識(shí)別判定AD∥BC（置信度0.85）∴四邊形ABCD是平行四邊形若用數(shù)學(xué)邏輯評(píng)估該推理的可靠性，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.缺少AD=BC的條件導(dǎo)致推理不充分B.圖像識(shí)別的不確定性違反矛盾律C.可解釋性評(píng)分應(yīng)低于基于規(guī)則推理的證明D.結(jié)論的置信度可表示為0.85×P(AB=CD∩∠A=∠C→平行四邊形)5.算力分配與優(yōu)化理論某分布式AI競(jìng)賽系統(tǒng)有5個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)，需處理100道競(jìng)賽題的自動(dòng)批改任務(wù)。每道題的批改復(fù)雜度服從正態(tài)分布N(15,4)分鐘，節(jié)點(diǎn)處理能力分別為20題/小時(shí)、18題/小時(shí)、15題/小時(shí)、12題/小時(shí)、10題/小時(shí)。采用匈牙利算法進(jìn)行任務(wù)分配，最小總處理時(shí)間為（）A.8.2小時(shí)B.9.7小時(shí)C.11.3小時(shí)D.12.8小時(shí)6.倫理決策的數(shù)學(xué)建模國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽擬引入AI倫理審查委員會(huì)，要求對(duì)參賽AI輔助工具進(jìn)行倫理風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。建立風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估函數(shù)R=ω?C+ω?D+ω?P，其中C為公平性指數(shù)，D為透明度指數(shù)，P為隱私保護(hù)指數(shù)，權(quán)重向量ω滿足ω?+ω?+ω?=1且ω?,ω?,ω?>0。若某工具的評(píng)估向量為(0.8,0.6,0.9)，在下列權(quán)重組合中，該工具最可能通過(guò)審查的是（）A.ω=(0.5,0.3,0.2)B.ω=(0.4,0.4,0.2)C.ω=(0.3,0.3,0.4)D.ω=(0.2,0.5,0.3)7.機(jī)器學(xué)習(xí)與競(jìng)賽公平性某省數(shù)學(xué)競(jìng)賽采用AI輔助命題系統(tǒng)，其生成的題目難度服從正態(tài)分布N(75,σ2)。為確保城鄉(xiāng)選手公平競(jìng)爭(zhēng)，需驗(yàn)證題目難度與選手所在地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平（用人均GDP衡量）是否存在相關(guān)性。收集100道歷史題目數(shù)據(jù)，計(jì)算得相關(guān)系數(shù)r=0.32，下列結(jié)論正確的是（）A.存在顯著相關(guān)性（顯著性水平α=0.05）B.相關(guān)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為0.098C.消除地區(qū)變量后題目難度的方差減少10.24%D.題目難度與GDP的決定系數(shù)R2=0.328.人機(jī)協(xié)作的優(yōu)化模型在團(tuán)隊(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，人類選手與AI助手的協(xié)作效率E可表示為E=k·H^a·A^b/(1+e^(-t/τ))，其中H為人類解題能力，A為AI輔助能力，t為訓(xùn)練時(shí)間，k,a,b,τ為正常數(shù)。若某團(tuán)隊(duì)H=85，A=90，a=0.6，b=0.4，τ=10小時(shí)，當(dāng)訓(xùn)練時(shí)間t=20小時(shí)時(shí)，協(xié)作效率E最接近（）A.87.3B.89.6C.91.4D.93.89.強(qiáng)化學(xué)習(xí)與競(jìng)賽策略某AI競(jìng)賽機(jī)器人參加數(shù)學(xué)建模比賽，采用Q-learning算法優(yōu)化解題策略。已知狀態(tài)空間包含"問(wèn)題理解"、"模型構(gòu)建"、"求解驗(yàn)證"三個(gè)狀態(tài)，動(dòng)作空間包含"深度思考"、"快速嘗試"兩種選擇。在"模型構(gòu)建"狀態(tài)下選擇"深度思考"的Q值更新公式為：Q(s,a)←Q(s,a)+α[r+γ·max?'Q(s',a')-Q(s,a)]若當(dāng)前Q值為75，學(xué)習(xí)率α=0.2，獎(jiǎng)勵(lì)r=80，折扣因子γ=0.9，下?tīng)顟B(tài)最優(yōu)Q值max?'Q(s',a')=85，則更新后的Q值為（）A.78.5B.80.2C.82.6D.84.310.AI創(chuàng)作物的知識(shí)產(chǎn)權(quán)某數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目自動(dòng)生成系統(tǒng)，通過(guò)生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)（GAN）創(chuàng)作了100道原創(chuàng)競(jìng)賽題。系統(tǒng)的生成器G采用ResNet架構(gòu)，判別器D采用LSTM網(wǎng)絡(luò)。若對(duì)這些題目主張知識(shí)產(chǎn)權(quán)保護(hù)，下列數(shù)學(xué)分析正確的是（）A.題目創(chuàng)新性可通過(guò)與訓(xùn)練集題目的余弦相似度衡量B.GAN生成過(guò)程的互信息I(G;D)與原創(chuàng)性正相關(guān)C.題目難度分布的香農(nóng)熵低于人工命題時(shí)，不具備獨(dú)創(chuàng)性D.生成題目與訓(xùn)練集的編輯距離均值大于閾值T時(shí)，可認(rèn)定為獨(dú)立創(chuàng)作二、解答題（共3題，共100分）11.算法公平性的數(shù)學(xué)量化（30分）某國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽組委會(huì)開(kāi)發(fā)AI閱卷系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)對(duì)不同語(yǔ)言背景的選手存在評(píng)分偏差?，F(xiàn)有1000份英文答卷和800份中文答卷的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，其中英文答卷平均分82分，中文答卷平均分76分。（1）建立回歸模型驗(yàn)證評(píng)分偏差是否顯著，需包含哪些解釋變量？寫出回歸方程形式并說(shuō)明各變量含義。（10分）（2）采用公平性約束優(yōu)化模型，設(shè)英文答卷評(píng)分函數(shù)為f(x)=w·x+b?，中文答卷為f(x)=w·x+b?，要求滿足|b?-b?|≤1.5且分類準(zhǔn)確率不低于90%。若w為d維參數(shù)向量，寫出該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式（包含目標(biāo)函數(shù)和約束條件）。（10分）（3）假設(shè)通過(guò)重新訓(xùn)練，系統(tǒng)達(dá)到demographicparity公平性標(biāo)準(zhǔn)，即P(評(píng)分≥90|英文答卷)=P(評(píng)分≥90|中文答卷)=0.2。若英文答卷中實(shí)際優(yōu)秀率（真實(shí)水平≥90分）為0.25，中文答卷為0.18，計(jì)算該系統(tǒng)對(duì)兩類答卷的誤分類率（假陽(yáng)性率+假陰性率）。（10分）12.AI輔助競(jìng)賽的倫理決策模型（35分）某數(shù)學(xué)競(jìng)賽允許選手使用AI解題助手，但限定每道題的AI使用時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)解題總時(shí)間的30%。選手小明在解一道幾何證明題時(shí)，面臨如下決策問(wèn)題：若不使用AI：解題成功率60%，耗時(shí)X~N(20,4)分鐘若使用AI：解題成功率提升至85%，但需額外支付5分鐘系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，且AI解答的可解釋性指數(shù)E=0.7（滿分1）競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：可解釋性指數(shù)低于0.6將扣除20%得分，超時(shí)解題按每分鐘扣5%得分。（1）建立小明的期望得分函數(shù)模型，需包含時(shí)間成本和可解釋性懲罰項(xiàng)。（10分）（2）若競(jìng)賽題目得分S與解題時(shí)間t的關(guān)系為S(t)=100/(1+e^(t-25)/5)，計(jì)算使用AI和不使用AI兩種策略的期望得分，并比較最優(yōu)決策。（15分）（3）假設(shè)AI系統(tǒng)的可解釋性指數(shù)E服從均勻分布U(0.5,0.9)，重新計(jì)算期望得分并分析結(jié)果對(duì)倫理決策的啟示。（10分）13.競(jìng)賽AI的治理機(jī)制設(shè)計(jì)（35分）全球青少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽聯(lián)盟擬建立AI競(jìng)賽工具的國(guó)際治理框架，需解決以下問(wèn)題：（1）設(shè)計(jì)AI工具的倫理認(rèn)證指標(biāo)體系，要求包含5個(gè)一級(jí)指標(biāo)和15個(gè)二級(jí)指標(biāo)，并用層次分析法（AHP）構(gòu)建權(quán)重計(jì)算模型，寫出判斷矩陣的一般形式及一致性檢驗(yàn)方法。（15分）（2）建立跨國(guó)競(jìng)賽的AI監(jiān)管博弈模型，假設(shè)有兩個(gè)國(guó)家A和B，每個(gè)國(guó)家可選擇"嚴(yán)格監(jiān)管"或"寬松監(jiān)管"策略，監(jiān)管成本分別為10和5單位，競(jìng)賽收益與參賽AI質(zhì)量正相關(guān)。若兩國(guó)同時(shí)選擇嚴(yán)格監(jiān)管，總收益增加50單位；若一國(guó)嚴(yán)格一國(guó)寬松，嚴(yán)格國(guó)收益減少10單位，寬松國(guó)收益增加20單位；若兩國(guó)均寬松，總收益減少30單位。構(gòu)建收益矩陣并求解納什均衡，分析均衡結(jié)果的倫理風(fēng)險(xiǎn)。（10分）（3）提出基于區(qū)塊鏈技術(shù)的AI競(jìng)賽倫理審計(jì)方案，要求用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：①時(shí)間戳驗(yàn)證的哈希函數(shù)設(shè)計(jì)；②智能合約的倫理規(guī)則編碼方式；③跨鏈協(xié)作的拜占庭容錯(cuò)算法（BFT）的共識(shí)機(jī)制。（10分）三、開(kāi)放論述題（50分）14.AI時(shí)代的數(shù)學(xué)競(jìng)賽倫理重構(gòu)隨著大語(yǔ)言模型（LLM）在數(shù)學(xué)推理領(lǐng)域的突破，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的評(píng)價(jià)體系面臨根本性挑戰(zhàn)。請(qǐng)結(jié)合數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，從以下三個(gè)維度展開(kāi)論述：（1）技術(shù)維度：分析Transformer架構(gòu)在證明數(shù)學(xué)定理時(shí)的局限性，用具體數(shù)學(xué)問(wèn)題說(shuō)明注意力機(jī)制的推理盲點(diǎn)（如非歐幾何證明中的公理選擇問(wèn)題）。（2）教育維度：建立"AI輔助學(xué)習(xí)-競(jìng)賽公平性"的動(dòng)態(tài)平衡模型，量化分析不同AI使用閾值對(duì)競(jìng)賽區(qū)分度的影響（需包含具體數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)）。（3）倫理維度：設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的AI倫理分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，提出基于"人機(jī)協(xié)作系數(shù)"的新型評(píng)價(jià)指標(biāo)，該系數(shù)需融合解題過(guò)程中的人類原創(chuàng)性占比、AI工具的透明度指數(shù)和倫理風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估值。（注：論述需包含數(shù)學(xué)公式、模型推導(dǎo)或量化分析，鼓勵(lì)使用博弈論、優(yōu)化理論、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)工具支持觀點(diǎn)）四、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)題（50分）15.數(shù)學(xué)競(jìng)賽AI的倫理風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估實(shí)驗(yàn)?zāi)逞芯繄F(tuán)隊(duì)擬設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)評(píng)估AI數(shù)學(xué)競(jìng)賽助手的倫理風(fēng)險(xiǎn)，現(xiàn)有工具包包含：①GPT-4數(shù)學(xué)推理模型②倫理風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)注數(shù)據(jù)集③Fairlearn公平性評(píng)估工具④TensorBoard可視化工具（1）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)包含訓(xùn)練集、驗(yàn)證集、測(cè)試集的數(shù)據(jù)集劃分方案，要求測(cè)試集包含10個(gè)倫理風(fēng)險(xiǎn)場(chǎng)景（如算法歧視、數(shù)據(jù)隱私、可解釋性不足等），每個(gè)場(chǎng)景需設(shè)計(jì)至少3個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題案例。（2）指標(biāo)設(shè)計(jì)：構(gòu)建倫理風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指標(biāo)體系，要求包含6個(gè)量化指標(biāo)（如公平性的demographicparity差異度、可解釋性的邏輯鏈條完整度等），寫出每個(gè)指標(biāo)的計(jì)算公式及取值范圍。（3）結(jié)果分析：假設(shè)實(shí)驗(yàn)獲得如下數(shù)據(jù)：①不同風(fēng)險(xiǎn)