2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)必修三階段評估試卷一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）下列角中，與$-30^\circ$終邊相同的是（）A.$330^\circ$B.$150^\circ$C.$210^\circ$D.$390^\circ$已知扇形的半徑為$2$，圓心角為$\frac{\pi}{3}$，則扇形的面積為（）A.$\frac{\pi}{3}$B.$\frac{2\pi}{3}$C.$\pi$D.$\frac{4\pi}{3}$若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$為第二象限角，則$\cos\alpha=$（）A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$-\frac{3}{4}$函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期為（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(-1,2)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.$-4$B.$4$C.$8$D.$13$已知$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=3$，則$|\vec{a}+\vec|=$（）A.$\sqrt{19}$B.$\sqrt{13}$C.$5$D.$7$$\cos\left(-\frac{17\pi}{6}\right)=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$函數(shù)$f(x)=\cosx+\sinx$的最大值為（）A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$2$D.$\sqrt{3}$若$\tan\alpha=2$，則$\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$（）A.$-3$B.$3$C.$-\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{3}$在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=4$，$C=60^\circ$，則$\triangleABC$的面積為（）A.$3$B.$3\sqrt{3}$C.$6$D.$6\sqrt{3}$函數(shù)$f(x)=\sinx\cosx$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$\left-\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi\right$B.$\left-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right$C.$\left\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{3\pi}{4}+k\pi\right$D.$\left\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{3\pi}{2}+k\pi\right$已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}$，則$\sin2\alpha=$（）A.$\frac{24}{25}$B.$-\frac{24}{25}$C.$\frac{12}{25}$D.$-\frac{12}{25}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若$\alpha$為第四象限角，且$\tan\alpha=-\frac{3}{4}$，則$\sin\alpha=$________。函數(shù)$f(x)=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$的圖象可由$y=\sinx$的圖象先向______平移______個單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的______倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的______倍得到。已知向量$\vec{a}=(m,1)$，$\vec=(1,-2)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$m=$________。在$\triangleABC$中，若$\sinA:\sinB:\sinC=2:3:4$，則$\cosC=$________。三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）已知角$\alpha$的終邊經(jīng)過點(diǎn)$P(-3,4)$，求$\sin\alpha$，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$的值。18.（12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1$，（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值。19.（12分）已知向量$\vec{a}=(1,\sqrt{3})$，$\vec=(\sqrt{3},1)$，（1）求$\vec{a}$與$\vec$的夾角；（2）若向量$\vec{c}=2\vec{a}-\vec$，$\vecz3jilz61osys=k\vec{a}+\vec$，且$\vec{c}\parallel\vecz3jilz61osys$，求實(shí)數(shù)$k$的值。20.（12分）化簡下列各式：（1）$\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tan(-\alpha)$；（2）$\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta+\cos^2\alpha\cos^2\beta}{\sin^2\alpha\sin^2\beta+\cos^2\alpha\cos^2\beta}$。21.（12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，已知$a=2\sqrt{3}$，$b=2$，$A=60^\circ$，（1）求角$B$的大小；（2）求邊$c$的長及$\triangleABC$的面積。22.（12分）某港口的水深$y$（米）是時間$t$（$0\leqt\leq24$，單位：小時）的函數(shù)，下面是該港口某一天的水深數(shù)據(jù)：$t$（小時）03691215182124$y$（米）1013107101310710（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷該港口水深$y$與時間$t$的函數(shù)關(guān)系是否符合$y=A\sin(\omegat+\varphi)+b$的形式，并求出函數(shù)解析式；（2）若某船的吃水深度（船底與水面的距離）為$6$米，安全條例規(guī)定船底與海底的距離至少為$2$米，則該船在一天內(nèi)（$0\leqt\leq24$）可以進(jìn)出港口的時間范圍是多少？參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（注：實(shí)際試卷中可根據(jù)教學(xué)重點(diǎn)調(diào)整題目難度和分值分布，此處僅為示例框架。）一、單項選擇題1.A2.B3.B4.B5.B6.A7.C8.B9.A10.B11.A12.B二、填空題$-\frac{3}{5}$14.右，$\frac{\pi}{12}$，$\frac{1}{2}$，$3$15.$2$16.$-\frac{1}{4}$三、解答題解：由題意得，$|OP|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$，$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$，$\tan\alpha=-\frac{4}{3}$。（每問2分，共10分）解：（1）最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$；單調(diào)遞減區(qū)間為$\left\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{2\pi}{3}+k\pi\right$。（6分）（2）當(dāng)$x=\frac{\pi}{6}$時，$f(x){\text{max}}=2$；當(dāng)$x=\frac{\pi}{2}$時，$f(x){\text{min}}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。（6分）解：（1）$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2\times2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，夾角$\theta=30^\circ$。（6分）（2）$\vec{c}=(2-\sqrt{3},2\sqrt{3}-1)$，$\vecz3jilz61osys=(k+\sqrt{3},\sqrt{3}k+1)$，由$\vec{c}\parallel\vecz3jilz61osys$得$k=-2$。（6分）解：（1）原式$=\sin\alpha(-\cos\alpha)(-\tan\alpha)=\sin^2\alpha$。（6分）（2）原式$=1$。（6分）解：（1）由正弦定理得$\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{1}{2}$，$B=30^\circ$。（6分）（2）$c=4$，面積$S=2\sqrt{3}$。（6分）解：（1）$y=3\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+10$。（6分）（2）水深需滿足$y