2025年下學(xué)期高中inquiry學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和對(duì)稱軸方程分別是（）A.π，x=kπ/2+π/12（k∈Z）B.2π，x=kπ+π/12（k∈Z）C.π，x=kπ+π/6（k∈Z）D.2π，x=kπ/2+π/6（k∈Z）已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥(a-b)，則m=（）A.3B.5C.7D.9某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=1，S?=13，則公比q=（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.1B.2C.3D.4已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的離心率為√5/2，實(shí)軸長(zhǎng)為4，則雙曲線C的方程為（）A.x2/4-y2=1B.x2/16-y2/4=1C.x2/4-y2/5=1D.x2/16-y2/9=1從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k=（）A.±√3B.±√2C.±1D.0已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x（a>0），若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A.(0,1/2)B.(1/2,1)C.(0,1)D.(1,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=________。若x，y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤0，y≤2}，則z=x+2y的最大值為_(kāi)_______。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，則f(-3)=________。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿足a?=1，S???=2S?+1。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b?=log?(a?+1)，求數(shù)列{1/(b?b???)}的前n項(xiàng)和T?。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足acosB+bcosA=2ccosC。（1）求角C的大?。唬?）若c=2√3，△ABC的面積為3√3，求a+b的值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=4，E是PD的中點(diǎn)。（1）求證：AE⊥平面PCD；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（注：頻率分布直方圖中各小組的區(qū)間分別為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]）（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從成績(jī)?cè)赱80,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績(jī)?cè)赱90,100]的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1（a∈R）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x?，x?（x?<x?），求證：x?+x?<2lna；（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證：對(duì)任意的x>0，f(x)>x2/2。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.A3.C4.D5.C6.B7.A8.A9.A10.C11.C12.B二、填空題√214.615.316.19π三、解答題（1）由S???=2S?+1，得S?=2S???+1（n≥2），兩式相減得a???=2a?（n≥2）。又S?=2S?+1，得a?+a?=2a?+1，解得a?=2=2a?，所以數(shù)列{a?}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，因此a?=2??1。（5分）（2）由（1）得b?=log?(a?+1)=log?2?=n，所以1/(b?b???)=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，因此T?=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)。（10分）（1）由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin(A+B)=2sinCcosC。因?yàn)锳+B=π-C，所以sinC=2sinCcosC。又sinC≠0，所以cosC=1/2，因此C=π/3。（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即12=a2+b2-ab。又S=1/2absinC=3√3，得ab=12。因此(a+b)2=a2+b2+2ab=12+ab+2ab=12+3ab=48，所以a+b=4√3。（12分）（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)。向量AE=(0,1,1)，PC=(4,2,-2)，PD=(0,2,-2)。因?yàn)锳E·PC=0×4+1×2+1×(-2)=0，AE·PD=0×0+1×2+1×(-2)=0，所以AE⊥PC，AE⊥PD，又PC∩PD=P，因此AE⊥平面PCD。（6分）（2）平面PAB的一個(gè)法向量為AD=(0,2,0)，平面PCD的一個(gè)法向量為AE=(0,1,1)。設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為θ，則cosθ=|AD·AE|/(|AD||AE|)=|0×0+2×1+0×1|/(2×√2)=2/(2√2)=√2/2，因此平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為√2/2。（12分）（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.01)×10=1，解得a=0.015。（3分）（2）平均數(shù)為45×0.05+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74.5。設(shè)中位數(shù)為x，則0.05+0.15+0.15+0.03(x-70)=0.5，解得x=75。（7分）（3）成績(jī)?cè)赱80,90)的學(xué)生有0.25×100=25人，成績(jī)?cè)赱90,100]的學(xué)生有0.1×100=10人。從35名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，共有C??2=595種方法，其中至少有1人成績(jī)?cè)赱90,100]的方法有C??1C??1+C??2=250+45=295種，因此所求概率為295/595=59/119。（12分）（1）由題意得e=c/a=√3/2，且4/a2+1/b2=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，因此橢圓C的方程為x2/8+y2/2=1。（4分）（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)。因?yàn)镺A⊥OB，所以x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0，整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0。代入得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，化簡(jiǎn)得5m2=8(1+k2)，解得m=±2√10/5√(1+k2)。因此直線l的方程為y=kx±2√10/5√(1+k2)，即y-kx=±2√10/5√(1+k2)，平方得(y-kx)2=8/5(1+k2)，整理得y2-2kxy+k2x2=8/5+8/5k2，即k2(x2-8/5)-2kxy+(y2-8/5)=0。令x2-8/5=0，-2xy=0，y2-8/5=0，解得x=0，y=±2√10/5。當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=m，代入橢圓方程得y2=2-m2/4，由OA⊥OB得m2-(2-m2/4)=0，解得m=±2√10/5，此時(shí)直線l也過(guò)點(diǎn)(±2√10/5,0)。綜上，直線l恒過(guò)定點(diǎn)(±2√10/5,0)。（12分）（1）f'(x)=e?-a。當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=lna，當(dāng)x<lna時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>lna時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。（4分）（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則f(lna)=a-alna-1<0，解得a>1。由f(0)=0，得x?=0，x?>lna。要證x?+x?<2lna，即證x?<2lna。設(shè)g(x)=f(2lna-x)-f(x)=e2?????-a(2lna-x)-1-e?+ax+1=a2e??-2alna+ax-e?+ax=a2e??-e?+2ax-2alna。則g'(x)=-a2e??-e?+2a=-(e?+a2/e?)+2a≤-2a+2a=0，當(dāng)且僅當(dāng)e?=a，即x=lna時(shí)取等號(hào)。因此g(x)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)x>lna時(shí)，g(x)<g(lna)=a2e????-e???+2alna-2alna=a-a=0，即f(2lna-x)<f(x)。因?yàn)閤?>lna，所以2lna-x?<lna，又f(x?)=f(x?)=0，所以f(2lna-x?)<f(x?)=f(x?)。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，所以2lna-x?>x?，即x?+x?<2lna。（8分）（3）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=e?-x-1。要證對(duì)任意的x>0，f(x)>x2/2，即證e?-x-1>x2/2，即證e?-x2/2-x-1>0。設(shè)g(x)=e?-x2/2-x-1，則g'(x)=e?-x-1=f(x)。由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)≥f(0)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)。因此當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)=f(x)>0，函數(shù)g