2025年下學期高中數(shù)學競賽染色問題試卷一、選擇題（每題5分，共30分）用4種不同顏色對正四面體的4個頂點染色，要求相鄰頂點顏色不同，則不同的染色方案數(shù)為（）A.12B.24C.48D.96解析：正四面體每個頂點與其他3個頂點相鄰，屬于全排列問題。第一個頂點有4種選擇，第二個頂點有3種（與第一個不同），第三個頂點有2種（與前兩個不同），第四個頂點有1種（與前三個不同），故總方案數(shù)為(4\times3\times2\times1=24)。答案：B。對3×3的方格表進行黑白染色，要求每行每列至少有一個黑色方格，則不同的染色方案數(shù)為（）A.512B.496C.328D.256解析：總?cè)旧珨?shù)為(2^9=512)。減去“至少一行全白”或“至少一列全白”的情況，用容斥原理：全白行數(shù)：(C_3^1\times2^6-C_3^2\times2^3+C_3^3\times2^0=3\times64-3\times8+1=192-24+1=169)全白列數(shù)同理為169，但需減去重復計算的“既有全白行又有全白列”的情況（共(3\times3-3=6)種）。最終方案數(shù)：(512-169-169+6=180)（注：原選項無正確答案，此處按容斥原理修正計算邏輯）。二、填空題（每題5分，共30分）用紅、黃、藍三種顏色對正六邊形的6個頂點染色，要求相鄰頂點顏色不同，且旋轉(zhuǎn)后重合的染色視為同一方案，則不同的染色方案數(shù)為________。解析：利用旋轉(zhuǎn)對稱計數(shù)公式（Burnside引理）：旋轉(zhuǎn)0°（不動）：(3\times2^5=96)（第一個頂點3種，后續(xù)每個頂點2種）；旋轉(zhuǎn)60°/300°：僅當所有頂點同色時不變，共3種；旋轉(zhuǎn)120°/240°：需3個頂點為周期重復，有(3\times2\times1=6)種；旋轉(zhuǎn)180°：需兩兩對稱頂點同色，有(3\times2\times2=12)種；總方案數(shù)：(\frac{96+3+3+6+6+12}{6}=21)。答案：21。對5×5方格表的每個方格染紅色或藍色，若每個2×2子方格表中恰有2個紅色方格，則整個方格表中紅色方格的總數(shù)為________。解析：設第i行紅色方格數(shù)為(r_i)，則每個2×2子表含2紅，可得每行紅色方格數(shù)必為2或3，且相鄰行紅格數(shù)之和為4（如2+2或3+1，1舍去）。故所有行紅格數(shù)為2或3，且交替出現(xiàn)。5行中若首行為2，則紅格總數(shù)為(2+2+2+2+2=10)或(2+3+2+3+2=12)，但驗證2×2子表條件知僅10滿足。答案：10。三、解答題（共4題，共90分）5.（20分）證明：任意6個人中，要么存在3人兩兩認識，要么存在3人兩兩不認識（拉姆塞數(shù)R(3,3)=6的染色模型）。證明：將6個人視為6個頂點，用紅色邊表示“認識”，藍色邊表示“不認識”，問題轉(zhuǎn)化為：任意2色完全圖(K_6)中必含單色三角形。任取一頂點A，其連出5條邊，由抽屜原理，至少3條邊同色（不妨設為紅色），對應頂點B、C、D。若B、C、D間存在紅色邊（如BC），則△ABC為紅色三角形；若B、C、D間無紅色邊，則△BCD為藍色三角形。綜上，命題得證。6.（25分）用k種顏色對m×n的網(wǎng)格圖（m行n列，頂點為格點）的所有邊染色，要求每個單位正方形的四邊顏色各不相同。求k的最小值，并給出證明。解析：k=4的構造：按“紅、黃、藍、綠”循環(huán)染色行邊（水平邊），列邊（垂直邊）按“黃、紅、綠、藍”循環(huán)，可使每個正方形四邊顏色不同。k≤3的不可能性：考慮2×2正方形，四邊需4種顏色，故k≥4。結論：k的最小值為4。7.（25分）設正整數(shù)n≥2，將數(shù)軸上坐標為1,2,…,n的點染紅色或藍色，記A為紅色點集，B為藍色點集。證明：存在非空子集X?{1,2,…,n-1}，使得對任意x∈X，A+x與B的交集非空，且X中元素之和≤(\frac{n(n-1)}{4})。證明：定義函數(shù)(f(x)=|(A+x)\capB|)，表示平移x后紅集與藍集的交集中元素個數(shù)?？偨患性財?shù)(\sum_{x=1}^{n-1}f(x)=|{(a,b)\inA\timesB|b-a\in[1,n-1]}|)，即紅藍字對的差集個數(shù)。由抽屜原理，存在x使(f(x)\geq\frac{|A||B|}{n-1})，取X為所有滿足(f(x)\geq1)的x，其和≤(\frac{n(n-1)}{4})（當|A|=|B|=n/2時取等）。8.（20分）用m種顏色對正n邊形的頂點染色，要求相鄰頂點顏色不同，求不同的染色方案數(shù)（用m,n表示）。解析：設(a_n)為n個頂點的染色方案數(shù)，第一個頂點有m種，第二個有m-1種，第k個（k≥3）若與第k-2個不同，則有m-2種；若相同，則有m-1種。遞推公式：(a_n=(m-2)a_{n-1}+(m-1)a_{n-2})，初始條件(a_2=m(m-1))，(a_3=m(m-1)(m-2))。特征方程法解得：(a_n=(m-1)^n+(-1)^n(m-1))。答案：((m-1)^n+(-1)^n(m-1))。四、附加題（30分）9.對無限大的方格紙的每個方格染紅色或藍色，證明：存在一個矩形，其四個角的方格顏色相同。證明：考慮每一行的染色序列，由抽屜原理，每列的顏色組合（紅/藍）有(2^n)種，取n+1行，必有兩行染色序列相同（如第i行和第j行）。在這兩行中，若存在兩列k,l，使得(i,k),(i,l),(j,k),(j,l)同色，則構成單色矩形。若兩行中所有同色列對均不同色，則每行至少