2025年下學期高中數(shù)學競賽根軸與根心試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知兩圓$O_1:(x-1)^2+(y-2)^2=4$和$O_2:(x-3)^2+(y-4)^2=9$，則它們的根軸方程為（）A.$4x+4y-19=0$B.$4x+4y+19=0$C.$2x+2y-19=0$D.$2x+2y+19=0$若兩圓的根軸經(jīng)過坐標原點，則下列條件中一定成立的是（）A.兩圓半徑相等B.兩圓圓心連線垂直于x軸C.兩圓方程中常數(shù)項之和為零D.原點到兩圓圓心的距離平方差等于半徑平方差已知三個圓的圓心坐標分別為$(0,0)$、$(2,0)$、$(1,\sqrt{3})$，且它們的根心坐標為$(1,1)$，則下列結(jié)論正確的是（）A.三個圓的半徑一定相等B.三個圓中至少有兩個圓相交C.根心到三個圓心的距離相等D.三個圓心構(gòu)成等邊三角形兩圓$x^2+y^2+2ax+c=0$和$x^2+y^2+2by+c=0$（$a,b\neq0$）的根軸與直線$ax+by+c=0$的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直已知圓$O$的方程為$x^2+y^2=4$，點$P(1,2)$為平面上一定點，則以$P$為圓心且與圓$O$有公共根軸的圓系方程可表示為（）A.$x^2+y^2-2x-4y+\lambda=0$（$\lambda$為參數(shù)）B.$x^2+y^2-2x-4y=0$C.$x^2+y^2-2x-4y+4=0$D.$(x-1)^2+(y-2)^2=\lambda^2$（$\lambda$為參數(shù)）蒙日定理（根心定理）的核心內(nèi)容是（）A.三個圓的根軸必交于一點B.三個圓若圓心不共線，則三條根軸相交于一點C.三個圓的公共弦必交于一點D.三個圓的圓心連線必過根心二、填空題（每題5分，共30分）已知兩圓$O_1:x^2+y^2=1$和$O_2:(x-3)^2+(y-4)^2=16$，則它們的根軸與連心線的交點坐標為________。若點$P(2,t)$在圓$O_1:(x-1)^2+(y-2)^2=4$和圓$O_2:(x-5)^2+(y-5)^2=9$的根軸上，則$t=$________。三個圓的圓心分別為$O_1(0,0)$、$O_2(1,0)$、$O_3(0,1)$，半徑分別為$1$、$2$、$3$，則它們的根心坐標為________。兩圓相交于$A$、$B$兩點，且根軸方程為$2x-y+1=0$，若點$A(1,3)$，則點$B$的坐標滿足方程________。已知圓$O:x^2+y^2=9$，點$P(3,4)$，則以$P$為圓心且與圓$O$的根軸過點$Q(1,1)$的圓的半徑為________。若兩圓的根軸方程為$x+y-1=0$，且其中一個圓的方程為$x^2+y^2=4$，則另一個圓的方程可表示為________（寫出一個即可）。三、解答題（共40分）（10分）已知兩圓$O_1:x^2+y^2-2x-4y+1=0$和$O_2:x^2+y^2-6x-2y+9=0$，求：（1）兩圓的根軸方程；（2）兩圓的公共弦長。（10分）設(shè)三個圓的方程分別為：$C_1:x^2+y^2+2x+4y+1=0$$C_2:x^2+y^2-4x+3=0$$C_3:x^2+y^2-6x-2y+9=0$證明這三個圓的根心在直線$x+y-1=0$上。（10分）已知圓$O$的方程為$x^2+y^2=4$，點$A(3,0)$，$B(0,4)$，求過$A$、$B$兩點且與圓$O$有公共根軸的圓的方程。（10分）在平面直角坐標系中，已知點$P(1,2)$，圓$C:(x-2)^2+(y-3)^2=5$，過點$P$作圓$C$的兩條切線，切點分別為$M$、$N$。（1）求直線$MN$的方程（提示：$MN$為點$P$關(guān)于圓$C$的極線，即根軸）；（2）求線段$MN$的長度。四、附加題（20分）（10分）證明：平面上任意四個圓，若其中任意三個圓的根心共線，則這四個圓的圓心共線。（10分）已知$\triangleABC$的外接圓為$\Gamma$，$D$、$E$分別為$AB$、$AC$的中點，以$D$、$E$為圓心，$DB$、$EC$為半徑的圓分別為$\Gamma_1$、$\Gamma_2$。證明：$\Gamma_1$與$\Gamma_2$的根軸平分$\triangleABC$的周長。參考答案與解析一、選擇題A解析：由兩圓方程相減得根軸方程：$(x-1)^2+(y-2)^2-4-[(x-3)^2+(y-4)^2-9]=0$展開化簡：$4x+4y-19=0$D解析：設(shè)兩圓方程為$x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$和$x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$，根軸方程為$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0$。原點在根軸上等價于$F_1-F_2=0$，即$F_1=F_2$。又兩圓常數(shù)項$F_1=-(d_1^2-r_1^2)$，$F_2=-(d_2^2-r_2^2)$（其中$d_1,d_2$為圓心到原點距離），故$d_1^2-r_1^2=d_2^2-r_2^2$，即$d_1^2-d_2^2=r_1^2-r_2^2$。D解析：三個圓心坐標滿足$(0,0)$、$(2,0)$、$(1,\sqrt{3})$，計算兩兩距離均為$2$，構(gòu)成等邊三角形。B解析：根軸方程為$ax-by=0$，其斜率為$\frac{a}$，直線$ax+by+c=0$斜率為$-\frac{a}$，兩者乘積為$-1$，故垂直。A解析：設(shè)所求圓方程為$(x-1)^2+(y-2)^2=r^2$，與圓$O$方程相減得根軸方程：$2x+4y-(r^2-1)=0$，可表示為$x^2+y^2-2x-4y+\lambda=0$（$\lambda=5-r^2$為參數(shù)）。B解析：蒙日定理（根心定理）：平面上三個圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸交于一點，該點稱為根心。二、填空題$\left(\frac{9}{5},\frac{12}{5}\right)$解析：連心線方程為$y=\frac{4}{3}x$，與根軸方程$6x+8y-21=0$聯(lián)立求解。$3$解析：根軸方程為$-4x-3y+21=0$，代入$x=2$得$t=3$。$(-3,-3)$解析：聯(lián)立$O_1O_2$根軸方程$2x-3=0$和$O_1O_3$根軸方程$2y-8=0$，解得$x=-3$，$y=-3$。$2x-y+1=0$解析：$A$、$B$兩點均在根軸上，故$B$滿足根軸方程。$\sqrt{17}$解析：設(shè)所求圓方程為$(x-3)^2+(y-4)^2=r^2$，根軸方程為$6x+8y-(r^2-16)=0$，代入$Q(1,1)$得$r^2=17$。$x^2+y^2-2x-2y-2=0$（答案不唯一）解析：設(shè)另一圓方程為$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，根軸方程為$Dx+Ey+(F-4)=0$，對比$x+y-1=0$，可取$D=2$，$E=-2$，$F=2$。三、解答題（1）根軸方程：$2x-y-4=0$（2）公共弦長：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$解析：（1）兩圓方程相減得$4x+2y-8=0$，化簡為$2x-y-4=0$；（2）圓心$O_1(1,2)$到根軸距離$d=\frac{|2-2-4|}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，弦長$=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-\frac{16}{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。證明：$C_1$與$C_2$根軸：$6x+4y+1=0$$C_1$與$C_3$根軸：$8x+6y-8=0$聯(lián)立解得根心$\left(\frac{19}{2},-\frac{17}{2}\right)$，代入$x+y-1=0$成立。解：設(shè)所求圓方程為$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，與圓$O$的根軸方程為$Dx+Ey+(F+9)=0$。因為$A(3,0)$、$B(0,4)$在圓上，且根軸過原點（公共弦所在直線），得：$\begin{cases}9+3D+F=0\16+4E+F=0\F+9=0\end{cases}$解得$F=-9$，$D=0$，$E=-\frac{7}{4}$，方程為$x^2+y^2-\frac{7}{4}y-9=0$。（1）$x+y-4=0$（2）$2\sqrt{3}$解析：（1）$MN$為根軸，方程為$(2-1)(x-2)+(3-2)(y-3)-5=0$，化簡得$x+y-4=0$；（2）圓心$C(2,3)$到$MN$距離$d=\frac{|2+3-4|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，弦長$=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{5-\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}$。四、附加題證明：設(shè)四個圓為$\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3,\Gamma_4$，根心分別為$O_{123},O_{124},O_{134},O_{234}$。由題設(shè)$O_{123},O_{124},O_{134}$共線，根據(jù)根心性質(zhì)可證四圓心共線。證明：以$BC$中點為坐標原點建立坐標系，設(shè)$B(-a,0)$，$C(a,0)$，$A(b,c)$，計算$\Gamma_1$與$\Gamma_2$的根軸方程，可證其與$AB$、$AC$交點到頂點距離相等