2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)傅里葉分析技術(shù)觀試卷一、選擇題（每題5分，共30分）法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉在研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)提出，任何周期性函數(shù)都可以表示為正弦型函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)之和。下列關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)概念，說(shuō)法正確的是A.只有連續(xù)的周期性函數(shù)才能展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)B.傅里葉級(jí)數(shù)中各項(xiàng)的頻率必須是基頻的整數(shù)倍C.奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)僅含余弦項(xiàng)D.周期為T的函數(shù)展開(kāi)式中，角頻率ω=π/T音樂(lè)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型?；诟道锶~分析理論，某鋼琴音的振動(dòng)函數(shù)為f(x)=0.08sin1200πx+0.03sin2400πx+0.01sin3600πx，其中x表示時(shí)間（單位：秒）。下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.該函數(shù)的基頻為600Hz（赫茲）B.第二泛音的振幅是基音振幅的3/8C.將x替換為x+1/1200，函數(shù)值不變D.函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)，其核心思想與高中數(shù)學(xué)中的某種變換存在關(guān)聯(lián)性。下列數(shù)學(xué)工具中，與傅里葉變換思想最接近的是A.對(duì)數(shù)換底公式B.三角函數(shù)的和差化積C.矩陣的特征值分解D.二次函數(shù)的配方法某周期性方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為f(x)=4/π[sinx+sin3x/3+sin5x/5+…]，則該函數(shù)在區(qū)間[0,π]上的平均值為A.1B.2/πC.4/πD.0在傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)計(jì)算中，常需用到定積分工具。若f(x)是周期為2π的偶函數(shù)，其傅里葉系數(shù)an=1/π∫?π^πf(x)cosnxdx，則對(duì)于f(x)=|sinx|，a?的值為A.-4/(3π)B.0C.2/(π)D.-2/(3π)傅里葉分析在圖像處理中用于邊緣檢測(cè)，其原理是通過(guò)高頻分量增強(qiáng)圖像細(xì)節(jié)。若某圖像的灰度函數(shù)為g(x,y)=A+Asin(2πu?x)cos(2πv?y)，其中u?,v?為空間頻率，則該圖像呈現(xiàn)的特征是A.水平條紋B.垂直條紋C.網(wǎng)格紋理D.均勻灰度二、填空題（每題5分，共30分）若函數(shù)f(x)=sinωx+sin3ωx（ω>0）的最小正周期為π，則ω=______，該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中含有的頻率成分有______Hz（假設(shè)x單位為秒）。某音叉振動(dòng)產(chǎn)生的復(fù)合音滿足f(t)=sin(800πt)+0.5sin(1600πt)+0.2sin(2400πt)，當(dāng)t=1/400秒時(shí)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率為_(kāi)_____。周期為2π的函數(shù)f(x)在[-π,π)上的表達(dá)式為f(x)=x2，則其傅里葉級(jí)數(shù)中的常數(shù)項(xiàng)a?=______（結(jié)果保留π）。傅里葉變換的時(shí)域平移性質(zhì)可表示為F[f(t-t?)]=e^(-iωt?)F(ω)，類比該性質(zhì)，函數(shù)f(x)=sin(x-π/3)的傅里葉級(jí)數(shù)中，余弦項(xiàng)的系數(shù)與sinx的傅里葉級(jí)數(shù)相比，會(huì)產(chǎn)生______（填“相位偏移”或“振幅變化”）。某矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換結(jié)果為F(ω)=2sin(ωτ/2)/(ω)，其中τ為脈沖寬度。當(dāng)τ=0.02秒時(shí)，該信號(hào)的頻帶寬度（定義為F(ω)第一個(gè)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率）為_(kāi)_____Hz。在量子力學(xué)中，微觀粒子的波函數(shù)ψ(x)滿足歸一化條件∫|ψ(x)|2dx=1。若某粒子的波函數(shù)經(jīng)傅里葉變換后得到動(dòng)量空間分布φ(p)=1/√(2π?)e^(-ipx?/?)，則|φ(p)|2=______（其中?為普朗克常數(shù)，x?為常數(shù)）。三、解答題（共40分）（12分）已知函數(shù)f(x)=sinx+1/2sin2x+1/3sin3x，x∈R。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[0,π]上的最大值及對(duì)應(yīng)的x值；（3）證明：f(x)的圖像不存在對(duì)稱軸。（14分）傅里葉級(jí)數(shù)在信號(hào)去噪中的應(yīng)用：某含噪信號(hào)模型為g(t)=3sin(100πt)+2sin(300πt)+n(t)，其中n(t)=0.5sin(250πt)為噪聲成分。（1）寫出該信號(hào)的基頻ω?及噪聲頻率ω?，并判斷噪聲是否為基頻的整數(shù)倍；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的濾波函數(shù)h(t)，使得h(t)*g(t)能完全消除噪聲（*表示卷積運(yùn)算，提示：利用sinA·sinB=1/2[cos(A-B)-cos(A+B)]）；（3）計(jì)算濾波后信號(hào)的平均功率（功率定義為一個(gè)周期內(nèi)平方的平均值）。（14分）探究性問(wèn)題：矩形波的傅里葉逼近。定義函數(shù)f(x)為周期2π的方波：f(x)=1，x∈[0,π)f(x)=-1，x∈[π,2π)（1）證明f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為4/π[sinx+sin3x/3+sin5x/5+…]；（2）分別取前1項(xiàng)、前3項(xiàng)、前5項(xiàng)部分和，在同一坐標(biāo)系中畫出它們?cè)赱0,2π)上的圖像（無(wú)需寫出作圖過(guò)程，用文字描述圖像特征）；（3）當(dāng)取前n項(xiàng)部分和逼近f(x)時(shí)，在x=π/2處的誤差E(n)=|f(π/2)-S?(π/2)|，求lim?→∞E(n)，并解釋該結(jié)果的物理意義。四、技術(shù)應(yīng)用題（共20分）（10分）數(shù)字信號(hào)處理中的快速傅里葉變換（FFT）是傅里葉變換的高效實(shí)現(xiàn)算法，其計(jì)算復(fù)雜度為O(NlogN)，其中N為信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)。現(xiàn)有一段時(shí)長(zhǎng)1秒的音頻信號(hào)，采樣率為44100Hz（即每秒采集44100個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）：（1）若采用FFT分析該信號(hào)的頻譜，需滿足N為2的整數(shù)次冪，求最小采樣點(diǎn)數(shù)N；（2）計(jì)算此時(shí)FFT的頻率分辨率Δf（單位：Hz），并說(shuō)明其物理意義。（10分）圖像壓縮技術(shù)利用傅里葉變換的能量集中特性，將高頻分量進(jìn)行量化壓縮。某256×256像素的灰度圖像，其傅里葉變換后的系數(shù)矩陣中，模值大于10的系數(shù)占比為8%，其余為低頻分量。（1）若每個(gè)系數(shù)用8位二進(jìn)制存儲(chǔ)，未壓縮時(shí)總數(shù)據(jù)量為多少字節(jié)（1字節(jié)=8位）？（2）若僅保留模值大于10的系數(shù)，壓縮比（壓縮前數(shù)據(jù)量:壓縮后數(shù)據(jù)量）為多少？該壓縮方法會(huì)導(dǎo)致圖像出現(xiàn)什么失真？參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（附解析）一、選擇題B（解析：A項(xiàng)間斷點(diǎn)不影響展開(kāi)；C項(xiàng)奇函數(shù)僅含正弦項(xiàng)；D項(xiàng)ω=2π/T）D（解析：f(x)為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和，非奇非偶）B（解析：均通過(guò)分解重構(gòu)實(shí)現(xiàn)信號(hào)表示）A（解析：積分區(qū)間[0,π]上定積分值為π×1）A（解析：a?=2/π∫?^πsinxcos2xdx=2/π∫?^π[sin3x-sinx]/2dx=-4/(3π)）C（解析：含x和y方向的余弦項(xiàng)，形成網(wǎng)格）二、填空題2；2Hz和6Hz（解析：最小公倍數(shù)法求周期，頻率f=ω/(2π)）-400π（解析：導(dǎo)數(shù)f’(t)=800πcos(800πt)+2400πcos(2400πt)+2880πcos(2880πt)，代入t=1/400得-400π）2π2/3（解析：a?=1/π∫?π^πx2dx=2/π∫?^πx2dx=2π2/3）相位偏移50Hz（解析：第一個(gè)零點(diǎn)在ω=2π/τ=200πrad/s，f=ω/(2π)=100Hz？此處需修正：原文F(ω)=2sin(ωτ/2)/ω，零點(diǎn)在ωτ/2=π→ω=2π/τ，故f=1/τ=50Hz）1/(2π?)（解析：復(fù)數(shù)模的平方為常數(shù)）三、解答題13.（1）2π（2分）；（2）最大值11/6，x=π/2（5分）；（3）假設(shè)存在對(duì)稱軸x=a，推導(dǎo)出矛盾（5分）14.（1）ω?=100πrad/s（50Hz），ω?=250πrad/s（非整數(shù)倍）（4分）；（2）h(t)=sin100πt+sin300πt（5分）；（3）功率=(32+22)/2=13/2（5分）15.（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)計(jì)算b?=4/(nπ)（n為奇數(shù)）（5分）；（2）前1項(xiàng)為正弦波，前3項(xiàng)出現(xiàn)方波輪廓，前5項(xiàng)更接近方波（5分）；（3）誤差趨于0，表明傅里葉級(jí)數(shù)收斂于原函數(shù)（4分）四、技術(shù)應(yīng)用題16.（1）N=65536（21?=65536>44100）（5分）；（2）Δf=44100/65536≈0.67