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文檔簡介

2025年下學期高中數(shù)學競賽全球公民試卷一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},若A∪B=A,則實數(shù)a的值為()A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是()A.π,1B.2π,1C.π,2D.2π,2已知向量a=(1,2),b=(x,1),且a⊥b,則x的值為()A.-2B.2C.-1/2D.1/2雙曲線x2/9-y2/16=1的漸近線方程是()A.y=±3/4xB.y=±4/3xC.y=±9/16xD.y=±16/9x已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3+a7=10,則S9=()A.45B.50C.90D.100函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,2]上的最大值是()A.2B.0C.-2D.-4從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學競賽,要求至少有1名女生,則不同的選法共有()A.80種B.70種C.60種D.50種已知函數(shù)f(x)=log?(x+1),若f(a)=2,則a的值為()A.3B.4C.5D.6在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若a=2,b=3,c=4,則cosC=()A.-1/4B.1/4C.-1/2D.1/2若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相切,則k的值為()A.0B.±1C.±√2D.±√3二、填空題(本大題共5小題,每小題6分,共30分)計算:(lg2)2+lg2·lg50+lg25=________。已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3,則f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值是________。若復數(shù)z滿足z(1+i)=2i,則z=________。已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,過點F且斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點,則|AB|=________。已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=1,則三棱錐P-ABC的體積為________。三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,x∈R。(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1。(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=log?an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。(本小題滿分12分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,點D為BC的中點。(1)求證:A1B//平面ADC1;(2)求三棱錐A1-ADC1的體積。(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2,且過點(1,√3/2)。(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點,O為坐標原點,若OA⊥OB,求m的取值范圍。(本小題滿分12分)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為40元,銷售價為60元,每月可銷售1000件。為了提高利潤,工廠決定改進生產(chǎn)工藝,降低成本。經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),若每件產(chǎn)品的成本降低x元,則每月的銷售量可增加100x件。(1)設(shè)改進生產(chǎn)工藝后,每月的利潤為y元,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當x為何值時,每月的利潤最大?最大利潤是多少?(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx(a,b∈R)。(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=8只有一個公共點,求b的取值范圍。四、附加題(本大題共2小題,每小題15分,共30分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)。(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=an+1/an·an+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。已知函數(shù)f(x)=l

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