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2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷一試卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B={x|log?(x-1)≤1},則A∩B=()A.[1,2]B.(1,2]C.[2,3]D.(1,3]復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i(i為虛數(shù)單位),則|z|=()A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(1,2),b=(m,-1),若a⊥(a+b),則實(shí)數(shù)m=()A.-3B.-1C.1D.3函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積為()A.8πcm3B.12πcm3C.16πcm3D.20πcm3已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=7,S6=63,則a7+a8+a9=()A.512B.384C.256D.128執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的x=2,則輸出的y=()A.-2B.0C.2D.4已知α為銳角,且tanα=2,則sin(α+π/4)=()A.3√10/10B.√10/10C.-3√10/10D.-√10/10從5名男生和4名女生中選出3人參加志愿者活動(dòng),則選出的3人中既有男生又有女生的概率為()A.5/6B.4/5C.3/4D.2/3已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P在拋物線上,且PF⊥x軸,垂足為M,則△PFM的面積為()A.1B.2C.4D.8已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,則ω+φ=()A.π/2B.πC.3π/2D.2π已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b在x=-1處取得極值,且f(1)=0,則a+b=()A.-4B.-2C.0D.2二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)曲線y=x3-2x+1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為________。已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a5=10,S7=28,則a1=________。已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3,且過點(diǎn)(2,√3),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|,則不等式f(x)≥5的解集為________。三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟)(本小題滿分10分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosA=4/5,b=5,c=3。(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求sinB的值。(本小題滿分12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。(Ⅰ)求證:AD⊥平面BCC1B1;(Ⅱ)求直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值。(本小題滿分12分)某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查,得到如下頻率分布表:成績(jī)分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.300.350.15(Ⅰ)求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(Ⅱ)若該校共有2000名學(xué)生,估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱80,100]的學(xué)生人數(shù)。(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2,且過點(diǎn)(1,√3/2)。(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA⊥OB,求△AOB面積的最大值。(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(a∈R)。(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+2^n(n∈N*)。(Ⅰ)證明:數(shù)列{an/2^n}是等差數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn。參考答案及解析一、選擇題B【解析】集合A={x|1≤x≤2},B={x|1<x≤3},所以A∩B=(1,2],故選B。B【解析】z=2i/(1+i)=i(1-i)=1+i,|z|=√(12+12)=√2,故選B。A【解析】a+b=(1+m,1),因?yàn)閍⊥(a+b),所以1×(1+m)+2×1=0,解得m=-3,故選A。D【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(3,+∞),令t=x2-2x-3,則y=lnt,因?yàn)閠=x2-2x-3在(3,+∞)上單調(diào)遞增,y=lnt在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,+∞),故選D。C【解析】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐,圓柱的體積V1=π×22×4=16π,圓錐的體積V2=1/3×π×22×4=16π/3,所以該幾何體的體積V=V1-V2=32π/3,無(wú)正確選項(xiàng)(注:此處可能存在題目數(shù)據(jù)錯(cuò)誤,若將圓柱高改為3,則體積為8π,選A)。A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列,即7,56,S9-S6成等比數(shù)列,所以562=7×(S9-S6),解得S9-S6=448,即a7+a8+a9=448,無(wú)正確選項(xiàng)(注:此處可能存在題目數(shù)據(jù)錯(cuò)誤,若S6=63改為S6=15,則a7+a8+a9=64,選C)。C【解析】當(dāng)x=2時(shí),y=22-2=2,輸出y=2,故選C。A【解析】因?yàn)棣翞殇J角,tanα=2,所以sinα=2√5/5,cosα=√5/5,所以sin(α+π/4)=sinαcosπ/4+cosαsinπ/4=2√5/5×√2/2+√5/5×√2/2=3√10/10,故選A。A【解析】從9人中選出3人的總方法數(shù)為C93=84,選出的3人中既有男生又有女生的方法數(shù)為C93-C53-C43=84-10-4=70,所以概率為70/84=5/6,故選A。A【解析】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1,因?yàn)镻F⊥x軸,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,代入拋物線方程得y=±2,所以P(1,2)或(1,-2),M(1,0),所以△PFM的面積為1/2×|FM|×|PM|=1/2×2×2=2,無(wú)正確選項(xiàng)(注:此處可能存在題目數(shù)據(jù)錯(cuò)誤,若|PM|=1,則面積為1,選A)。B【解析】由函數(shù)圖象可知,T/4=π/4,所以T=π,ω=2,又因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)(π/12,1),所以sin(2×π/12+φ)=1,即π/6+φ=π/2+2kπ(k∈Z),解得φ=π/3+2kπ,因?yàn)?<φ<π,所以φ=π/3,所以ω+φ=2+π/3,無(wú)正確選項(xiàng)(注:此處可能存在題目數(shù)據(jù)錯(cuò)誤,若ω=1,則ω+φ=π,選B)。A【解析】f'(x)=3x2-6x+a,因?yàn)楹瘮?shù)在x=-1處取得極值,所以f'(-1)=3+6+a=0,解得a=-9,又因?yàn)閒(1)=1-3+a+b=0,所以b=2-a=11,所以a+b=2,無(wú)正確選項(xiàng)(注:此處可能存在題目數(shù)據(jù)錯(cuò)誤,若x=1處取得極值,則a+b=-4,選A)。二、填空題y=x-1【解析】y'=3x2-2,在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率k=3×12-2=1,所以切線方程為y-0=1×(x-1),即y=x-1。1【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a3+a5=2a1+6d=10,S7=7a1+21d=28,聯(lián)立解得a1=1,d=1。x2-y2/2=1【解析】由離心率e=c/a=√3,得c=√3a,b2=c2-a2=2a2,所以雙曲線方程為x2/a2-y2/2a2=1,代入點(diǎn)(2,√3)得4/a2-3/2a2=1,解得a2=1,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2/2=1。(-∞,-2]∪[3,+∞)【解析】當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=-x-1-x+2=-2x+1≥5,解得x≤-2;當(dāng)-1≤x≤2時(shí),f(x)=x+1-x+2=3≥5,無(wú)解;當(dāng)x>2時(shí),f(x)=x+1+x-2=2x-1≥5,解得x≥3,所以不等式f(x)≥5的解集為(-∞,-2]∪[3,+∞)。三、解答題解:(Ⅰ)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=52+32-2×5×3×4/5=25+9-24=10,所以a=√10。(Ⅱ)由正弦定理得a/sinA=b/sinB,因?yàn)閏osA=4/5,所以sinA=3/5,所以√10/(3/5)=5/sinB,解得sinB=3√10/10。(Ⅰ)證明:因?yàn)锳B=AC,D為BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC,又因?yàn)锳A1⊥底面ABC,AD?底面ABC,所以AA1⊥AD,因?yàn)锽C∩AA1=A,所以AD⊥平面BCC1B1。(Ⅱ)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),D(1,1,0),C1(0,2,2),所以A1B=(2,0,-2),AD=(1,1,0),AC1=(0,2,2),設(shè)平面ADC1的法向量n=(x,y,z),則n·AD=0,n·AC1=0,即x+y=0,2y+2z=0,令x=1,則y=-1,z=1,所以n=(1,-1,1),設(shè)直線A1B與平面ADC1所成角為θ,則sinθ=|A1B·n|/(|A1B||n|)=|2×1+0×(-1)+(-2)×1|/(√(22+02+(-2)2)×√(12+(-1)2+12))=0,所以直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值為0。解:(Ⅰ)平均數(shù)x?=55×0.05+65×0.15+75×0.30+85×0.35+95×0.15=2.75+9.75+22.5+29.75+14.25=79,方差s2=(55-79)2×0.05+(65-79)2×0.15+(75-79)2×0.30+(85-79)2×0.35+(95-79)2×0.15=28.8+29.4+4.8+12.6+38.4=114。(Ⅱ)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱80,100]的頻率為0.35+0.15=0.5,所以估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱80,100]的學(xué)生人數(shù)為2000×0.5=1000。解:(Ⅰ)由題意得e=c/a=√3/2,1/a2+3/(4b2)=1,又因?yàn)閍2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4+y2=1。(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組x2/4+y2=1,y=kx+m,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(4k2-m2+1)>0,x1+x2=-8km/(1+4k2),x1x2=(4m2-4)/(1+4k2),因?yàn)镺A⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,將x1+x2,x1x2代入得(1+k2)(4m2-4)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0,化簡(jiǎn)得5m2=4k2+4,所以m2=(4k2+4)/5,因?yàn)棣?16(4k2-m2+1)=16(4k2-(4k2+4)/5+1)=16(16k2+1)/5>0恒成立,所以|AB|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-4)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[16(4k2-m2+1)/(1+4k2)2]=√(1+k2)×4√(4k2-m2+1)/(1+4k2)=√(1+k2)×4√(16k2+1)/5/(1+4k2),因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√[(4k2+4)/5]/√(1+k2)=2/√5,所以△AOB面積S=1/2|AB|d=1/2×√(1+k2)×4√(16k2+1)/5/(1+4k2)×2/√5=4√(1+k2)√(16k2+1)/25/(1+4k2),令t=1+4k2(t≥1),則k2=(t-1)/4,所以S=4√(1+(t-1)/4)√(16×(t-1)/4+1)/25/t=4√((t+3)/4)√(4t-3)/25/t=2√(t+3)(4t-3)/25/t,令f(t)=(t+3)(4t-3)/t2=4t2+9t-9)/t2=4+9/t-9/t2,令u=1/t(0<u≤1),則f(u)=-9u2+9u+4=-9(u-1/2)2+25/4,當(dāng)u=1/2,即t=2時(shí),f(u)取得最大值25/4,所以S的最大值為2√(25/4)/25/2=2×5/2/25/2=1,所以△AOB面積的最大值為1。解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=xlnx-x2+x,f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2,令g(x)=lnx-2x+2,則g'(x)=1/x-2,當(dāng)x∈(0,1/2)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,因?yàn)間(1)=ln1-2+2=0,g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0,g(e2)=2-2e2+2=4-2e2<0,所以存在x0∈(1/2,1),使得g(x0)=0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,x0),(1,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(x0,1)。(Ⅱ)f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極大值,所以f'(1)=0,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,令h(x)=lnx-2ax+2a,則h'
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