2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽球面幾何試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）在單位球面上，球面三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為$\frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{3}$、$\frac{\pi}{6}$，則該三角形的面積為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{4}$C.$\frac{\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{2}$球面上兩點(diǎn)A、B的球面距離為$\frac{\pi}{3}R$（R為球半徑），則A、B兩點(diǎn)與球心O構(gòu)成的∠AOB的弧度為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\pi$下列關(guān)于球面幾何與平面幾何的類比，不正確的是（）A.平面上的直線對(duì)應(yīng)球面上的大圓B.平面三角形內(nèi)角和等于180°對(duì)應(yīng)球面三角形內(nèi)角和大于180°C.平面上“平行公理”對(duì)應(yīng)球面上“任意兩大圓必相交”D.平面三角形全等的“SSS”判定定理對(duì)應(yīng)球面三角形全等的“SAS”判定定理在單位球面上，球面直角三角形ABC中，∠C=$\frac{\pi}{2}$，a=1（弧度），b=$\frac{\pi}{2}$（弧度），則斜邊c的長度為（）A.$\frac{\pi}{3}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{2\pi}{3}$D.$\pi$地球半徑為R，北京（北緯40°，東經(jīng)116°）與紐約（北緯40°，西經(jīng)74°）的球面距離為（）A.$\frac{\pi}{3}R$B.$\frac{\pi}{2}R$C.$\frac{2\pi}{3}R$D.$\piR$二、填空題（本大題共5小題，每小題8分，共40分）球面上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若AB、AC、BC的球面距離均為$\frac{\pi}{2}R$，則球面三角形ABC的面積為________。單位球面上，球面三角形的三邊長分別為$\frac{\pi}{3}$、$\frac{\pi}{4}$、$\frac{\pi}{6}$，則其極三角形的三內(nèi)角之和為________。球面二角形（月形）的兩個(gè)球面角均為$\alpha$，球半徑為R，則該月形的面積為________。在北緯60°緯線上有兩點(diǎn)A、B，經(jīng)度相差180°，若地球半徑為R，則A、B兩點(diǎn)的球面距離為________。球面三角形ABC中，若a=$\frac{\pi}{2}$，b=$\frac{\pi}{3}$，∠A=$\frac{\pi}{2}$，則∠B的正弦值為________。三、解答題（本大題共4小題，共80分）11.（18分）已知單位球面上球面三角形ABC的三內(nèi)角分別為∠A=$\frac{\pi}{2}$，∠B=$\frac{\pi}{3}$，∠C=$\frac{\pi}{6}$，求：（1）三角形的面積；（2）三邊a、b、c的長度（用弧度表示）。12.（20分）設(shè)地球半徑為R，A、B兩地的經(jīng)緯度分別為A（北緯30°，東經(jīng)0°）和B（北緯60°，東經(jīng)90°），求：（1）A、B兩點(diǎn)的球心角∠AOB；（2）A、B兩點(diǎn)的球面距離。13.（20分）證明球面三角形的正弦定理：在單位球面上的球面三角形ABC中，$\frac{\sina}{\sinA}=\frac{\sinb}{\sinB}=\frac{\sinc}{\sinC}$。14.（22分）（1）在單位球面上，球面三角形ABC的三邊長分別為a=$\frac{\pi}{3}$，b=$\frac{\pi}{4}$，c=$\frac{\pi}{2}$，求其三個(gè)內(nèi)角；（2）若將該球面三角形的邊長均擴(kuò)大為原來的2倍（球半徑不變），判斷新三角形與原三角形是否相似，并說明理由。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅為命題配套，不作為試卷內(nèi)容）一、選擇題C（解析：球面三角形面積公式$S=A+B+C-\pi=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-\pi=\frac{\pi}{3}$）B（解析：球面距離$l=\alphaR\Rightarrow\alpha=\frac{l}{R}=\frac{\pi}{3}$）D（解析：球面三角形全等的判定定理包含SSS、SAS、ASA、AAA）B（解析：由球面勾股定理$\cosc=\cosa\cosb=\cos1\cdot\cos\frac{\pi}{2}=0\Rightarrowc=\frac{\pi}{2}$）C（解析：兩點(diǎn)經(jīng)度差180°，北緯40°，球心角$\alpha=\sqrt{(2\sin40°)^2}=2\sin40°$，球面距離$l=\alphaR\approx\frac{2\pi}{3}R$）二、填空題$\frac{\pi}{2}R^2$（解析：正三角形，內(nèi)角均為$\frac{\pi}{2}$，面積$S=3\times\frac{\pi}{2}-\pi=\frac{\pi}{2}$，單位球面積為$4\piR^2$，實(shí)際面積需乘$R^2$）$\frac{5\pi}{6}$（解析：極三角形邊長與原三角形內(nèi)角互補(bǔ)，原三角形內(nèi)角和$S+\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5\pi}{4}$，極三角形內(nèi)角和為$3\pi-\frac{5\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$，此處題目問“極三角形三內(nèi)角之和”，應(yīng)為$3\pi-(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})=\frac{5\pi}{6}$）$2\alphaR^2$（解析：月形面積公式$S=2\alphaR^2$）$\frac{\pi}{3}R$（解析：北緯60°緯線半徑$r=R\cos60°=\frac{R}{2}$，經(jīng)度差180°，弦長$AB=R$，球心角$\alpha=\frac{\pi}{3}$，球面距離$l=\alphaR=\frac{\pi}{3}R$）$\frac{1}{2}$（解析：由正弦定理$\frac{\sina}{\sinA}=\frac{\sinb}{\sinB}\Rightarrow\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\sinB}\Rightarrow\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，但∠B應(yīng)為銳角，故$\sinB=\frac{1}{2}$）三、解答題11.（1）面積$S=A+B+C-\pi=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-\pi=\frac{\pi}{3}$（8分）；（2）由余弦定理$\cosa=\cosb\cosc+\sinb\sinc\cosA$，結(jié)合直角條件解得$a=\frac{\pi}{2}$，$b=\frac{\pi}{3}$，$c=\frac{\pi}{6}$（10分）。12.（1）球心角$\alpha=\arccos(\cos30°\cos60°+\sin30°\sin60°\cos90°)=\arccos(\frac{\sqrt{3}}{4})\approx\frac{\pi}{3}$（12分）；（2）球面距離$l=\alphaR=\frac{\pi}{3}R$（8分）。13.證明：利用球坐標(biāo)系下向量叉積與夾角關(guān)系，結(jié)合正弦定理推導(dǎo)（20分）。14.（1）由余弦定理$\cosA=\frac{\cosa-\cosb\cosc}{\sinb\sinc}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\RightarrowA=\frac{3\pi}{4}$，同理$B=\frac{\pi}{4}$，$C=\frac{\pi}{2}$（14分）；（2）不相似，球面三角形相似需對(duì)應(yīng)角相等，邊長擴(kuò)大后內(nèi)角改變（8分）。試卷設(shè)計(jì)說明：題型覆蓋：選擇題、填空題、解答題結(jié)合，全面考查概念理解、計(jì)算能力及證明能力。難度梯度：基礎(chǔ)題（如選擇1-3、填空6-7）占40%，中檔題（