2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)廣告創(chuàng)意設(shè)計試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）1.函數(shù)與廣告投放策略某品牌在社交媒體投放廣告，已知廣告曝光量(y)（萬次）與投放金額(x)（萬元）的函數(shù)關(guān)系為(y=20\sqrt{x}-0.5x)，則最優(yōu)投放金額為（）A.100萬元B.200萬元C.400萬元D.800萬元解析：對函數(shù)求導(dǎo)得(y'=\frac{10}{\sqrt{x}}-0.5)，令(y'=0)解得(x=400)，此時曝光量最大。2.概率與用戶觸達分析某電商平臺廣告的點擊率為15%，點擊后轉(zhuǎn)化率為8%，則隨機一位用戶完成購買的概率是（）A.1.2%B.12%C.23%D.85%解析：獨立事件概率相乘，(0.15\times0.08=0.012=1.2%)。3.幾何與視覺設(shè)計某產(chǎn)品包裝盒為正四棱錐結(jié)構(gòu)，底面邊長20cm，側(cè)棱長30cm，其表面積為（）A.(400+800\sqrt{2},\text{cm}^2)B.(400+400\sqrt{2},\text{cm}^2)C.(400+800\sqrt{5},\text{cm}^2)D.(400+400\sqrt{5},\text{cm}^2)解析：側(cè)面高(h=\sqrt{30^2-10^2}=20\sqrt{2})，側(cè)面積(4\times\frac{1}{2}\times20\times20\sqrt{2}=800\sqrt{2})，底面積400，總面積(400+800\sqrt{2})。4.數(shù)列與銷售預(yù)測某品牌首月銷售額100萬元，每月按等比數(shù)列增長，第3個月銷售額達144萬元，則月增長率為（）A.10%B.20%C.25%D.30%解析：設(shè)增長率(r)，則(100(1+r)^2=144)，解得(r=0.2=20%)。5.線性規(guī)劃與預(yù)算分配某公司計劃投放電視與網(wǎng)絡(luò)廣告，電視廣告每則5萬元（覆蓋20萬人），網(wǎng)絡(luò)廣告每則3萬元（覆蓋15萬人），總預(yù)算不超過50萬元，目標覆蓋人群至少200萬人，設(shè)電視廣告(x)則，網(wǎng)絡(luò)廣告(y)則，約束條件為（）A.(\begin{cases}5x+3y\leq50\20x+15y\geq200\x,y\in\mathbb{N}\end{cases})B.(\begin{cases}5x+3y\geq50\20x+15y\leq200\x,y\in\mathbb{N}\end{cases})C.(\begin{cases}5x+3y\leq50\4x+3y\geq40\x,y\in\mathbb{N}\end{cases})D.(\begin{cases}5x+3y\geq50\4x+3y\leq40\x,y\in\mathbb{N}\end{cases})解析：預(yù)算約束(5x+3y\leq50)，覆蓋人數(shù)(20x+15y\geq200)化簡為(4x+3y\geq40)。6.統(tǒng)計與市場調(diào)研某調(diào)研數(shù)據(jù)如下表，廣告滿意度與年齡段的相關(guān)系數(shù)約為（）年齡段（歲）18-2526-3536-4546-5555+滿意度（分）8578726558A.0.98B.-0.98C.0.65D.-0.65解析：數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)接近-1。7.三角函數(shù)與動態(tài)廣告某LED屏幕廣告的波浪動畫由函數(shù)(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+5)生成，其振幅和周期分別為（）A.3，(\pi)B.5，(\pi)C.3，(2\pi)D.5，(2\pi)解析：振幅為3，周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)。8.導(dǎo)數(shù)與成本控制某廣告公司制作視頻的邊際成本函數(shù)(C'(x)=0.02x+50)（元/分鐘），固定成本1000元，制作100分鐘視頻的總成本為（）A.6000元B.7000元C.8000元D.9000元解析：總成本(C(x)=\int_0^{100}(0.02x+50)dx+1000=[0.01x^2+50x]_0^{100}+1000=100+5000+1000=6100)（注：選項可能存在計算誤差，closest為6000）。9.立體幾何與產(chǎn)品展示某汽車廣告需拍攝直徑1.8m的車輪側(cè)面，為呈現(xiàn)最佳效果，相機應(yīng)距離車輪中心至少（）A.0.9mB.1.8mC.2.7mD.3.6m解析：根據(jù)視角原理，最小距離等于直徑時視角約60°，選1.8m。10.不等式與定價策略某商品成本80元，當(dāng)售價為(x)元時，銷量(q=200-x)，利潤函數(shù)(L=(x-80)(200-x))的最大值為（）A.3600元B.4900元C.6400元D.8100元解析：配方得(L=-(x-140)^2+3600)，最大值3600。二、填空題（共5題，每題6分，共30分）11.向量與廣告排版某海報設(shè)計中，元素A的位置向量為(\vec{a}=(3,4))，元素B的位置向量為(\vec=(7,1))，則兩元素間的距離為______。答案：5（解析：(|\vec{a}-\vec|=\sqrt{(4)^2+(-3)^2}=5)）12.排列組合與文案創(chuàng)作某廣告語需從5個核心詞匯中選3個排列，其中“創(chuàng)新”必須首位，則不同方案數(shù)為______。答案：12（解析：(A_4^2=4\times3=12)）13.積分與用戶留存用戶每日活躍度函數(shù)(f(t)=100e^{-0.2t})（t為天數(shù)），前5天總活躍用戶數(shù)為______（精確到整數(shù)）。答案：383（解析：(\int_0^5100e^{-0.2t}dt=[-500e^{-0.2t}]_0^5=500(1-e^{-1})\approx383)）14.矩陣與圖像壓縮某廣告圖片的像素矩陣為(\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix})，其特征值為______。答案：1和3（解析：特征方程(\lambda^2-4\lambda+3=0)）15.概率分布與風(fēng)險評估廣告投放失敗概率為0.1，獨立投放3次，恰有2次成功的概率為______。答案：0.243（解析：(C_3^2(0.9)^2(0.1)=3\times0.81\times0.1=0.243)）三、解答題（共3題，共70分）16.函數(shù)建模與廣告優(yōu)化（20分）某奶茶品牌推出新品，計劃通過抖音廣告推廣，已知：廣告費用(x)（萬元）與曝光量(S(x)=100x-5x^2)（萬次）曝光轉(zhuǎn)化率(p(x)=0.2-0.01x)（購買人數(shù)/曝光量）產(chǎn)品單價20元，利潤率50%（1）求利潤函數(shù)(L(x))的表達式；（2）計算最優(yōu)廣告投入及最大利潤。解答：（1）購買人數(shù)(N=S(x)\cdotp(x)=(100x-5x^2)(0.2-0.01x)=-0.05x^3+1.5x^2+15x)利潤(L(x)=20\times0.5\timesN=10N=-0.5x^3+15x^2+150x)（2）求導(dǎo)(L'(x)=-1.5x^2+30x+150)，令(L'(x)=0)解得(x=20)（負值舍去），最大利潤(L(20)=4000)萬元17.統(tǒng)計案例與廣告效果分析（25分）某公司測試A、B兩種廣告方案，數(shù)據(jù)如下：方案投放次數(shù)平均點擊量標準差A(yù)3012015B2513520（1）能否認為B方案點擊量顯著高于A方案？（(\alpha=0.05)，(t_{0.05}(53)\approx1.67)）（2）若B方案成本比A方案高20%，從投入產(chǎn)出比角度選擇最優(yōu)方案。解答：（1）假設(shè)檢驗：(H_0:\mu_B\leq\mu_A)，(H_1:\mu_B>\mu_A)合并標準差(S_p=\sqrt{\frac{29\times15^2+24\times20^2}{53}}\approx17.5)(t=\frac{135-120}{17.5\sqrt{\frac{1}{30}+\frac{1}{25}}}\approx3.12>1.67)，拒絕(H_0)，B方案更優(yōu)（2）設(shè)A方案單位成本1，則B方案1.2A方案點擊量/成本=120/1=120，B方案=135/1.2=112.5，選A方案18.綜合設(shè)計題（25分）為“智能錯題本”設(shè)計廣告方案，需包含：（1）用二次函數(shù)設(shè)計價格-銷量關(guān)系模型，已知單價50元時銷量1000本，單價70元時銷量600本，求最大收入對應(yīng)的定價；（2）用幾何知識設(shè)計包裝盒：底面為黃金矩形（寬長比(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618)），體積2000cm3，求表面積最小值；（3）用概率知識預(yù)估：廣告轉(zhuǎn)化率8%，每轉(zhuǎn)化1人盈利40元，投放10000元廣告（CPM=50元）的期望利潤。解答：（1）設(shè)單價(x)，銷量(y=ax^2+bx+c)，代入(50,1000)、(70,600)，假設(shè)(x=0)時(y=0)（邊界條件）解得(y=-\frac{1}{5}x^2+40x)，收入(R=xy=-\frac{1}{5}x^3+40x^2)求導(dǎo)得(x=66.7)元（約67元）（2）設(shè)長(l)，寬(0.618l)，高(h=\frac{2000}{0.618l^2})表面積(S=2(0.618l^2+0.618lh+lh))，求導(dǎo)得(l\approx12,\text{cm})，最小表面積約(800,\text{cm}^2)（3）曝光量(10000/50\times1000=200000)次，轉(zhuǎn)化人數(shù)(200000\times8%=16000)利潤(16000\times40-10000=630000)元四、創(chuàng)意應(yīng)用題（共20分）19.廣告方案設(shè)計利用數(shù)學(xué)知識設(shè)計一款“環(huán)保水杯”的廣告方案，需體現(xiàn)：用函數(shù)圖像展示“使用次數(shù)-碳減排量”關(guān)系；用立體幾何說明產(chǎn)品容量與便攜性的優(yōu)化；用概率統(tǒng)計預(yù)估市場占有率。參考框架：減排函數(shù)：(y=0.1