2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽琴生不等式試卷一、理論基礎(chǔ)與核心概念1.1琴生不等式的定義設(shè)函數(shù)(f(x))是定義在區(qū)間(I)上的凸函數(shù)（下凸函數(shù)），對(duì)于任意(x_1,x_2,\dots,x_n\inI)和正實(shí)數(shù)(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)且滿足(\sum_{i=1}^n\lambda_i=1)，有不等式：[\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\dots+\lambda_nf(x_n)\geqf(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots+\lambda_nx_n)]當(dāng)且僅當(dāng)(x_1=x_2=\dots=x_n)時(shí)等號(hào)成立。若(f(x))為凹函數(shù)（上凸函數(shù)），則不等式方向相反。幾何意義：凸函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的加權(quán)平均點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，小于或等于該兩點(diǎn)函數(shù)值的加權(quán)平均。例如，二次函數(shù)(f(x)=x^2)為凸函數(shù)，其圖像上任意弦的中點(diǎn)在函數(shù)圖像上方。1.2適用條件與常見誤區(qū)函數(shù)凹凸性判定：若函數(shù)(f(x))在區(qū)間(I)上二階可導(dǎo)，則當(dāng)(f''(x)\geq0)時(shí)，(f(x))為凸函數(shù)；當(dāng)(f''(x)\leq0)時(shí)，(f(x))為凹函數(shù)。例如，(f(x)=\lnx)的二階導(dǎo)數(shù)(f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0)，故為凹函數(shù)。等號(hào)成立條件：必須滿足所有自變量相等（或權(quán)重為0的變量除外）。忽略此條件可能導(dǎo)致錯(cuò)誤，例如在“已知(x+y=1)，求(x^2+y^2)最小值”問(wèn)題中，若錯(cuò)誤套用琴生不等式而未驗(yàn)證等號(hào)條件，可能得出比正確答案（(\frac{1}{2})）更大的結(jié)果。權(quán)重歸一化：權(quán)重(\lambda_i)必須滿足非負(fù)性和歸一性（即(\sum\lambda_i=1)）。若題目中給出的系數(shù)和不為1，需先進(jìn)行歸一化處理。二、基礎(chǔ)題型與解題技巧2.1利用琴生不等式證明不等式例1（均值不等式的推廣）：設(shè)(a,b,c>0)，求證：[\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3]證明：令(f(x)=x^3)，則(f''(x)=6x)。當(dāng)(x>0)時(shí)，(f''(x)>0)，故(f(x))為凸函數(shù)。取權(quán)重(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\frac{1}{3})，由琴生不等式得：[\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\geqf\left(\frac{a+b+c}{3}\right)]代入(f(x)=x^3)即證原式成立，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)(a=b=c)時(shí)取得。2.2含約束條件的最值問(wèn)題例2（2018年全國(guó)一卷填空壓軸題改編）：已知(x,y,z>0)且(x+y+z=3)，求(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})的最小值。解析：令(f(t)=\frac{1}{t})，則(f''(t)=\frac{2}{t^3}>0)，故(f(t))為凸函數(shù)。由琴生不等式：[\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\geqf\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=f(1)=1]因此(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq3)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)(x=y=z=1)時(shí)成立，最小值為3。易錯(cuò)點(diǎn)警示：若題目改為(x+2y+3z=6)，需將權(quán)重調(diào)整為(\lambda_1=\frac{1}{6},\lambda_2=\frac{2}{6},\lambda_3=\frac{3}{6})，再套用不等式。三、競(jìng)賽進(jìn)階題型3.1與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的證明題例3：設(shè)函數(shù)(f(x)=e^x-ax)在(\mathbb{R})上為凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：由凸函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)非負(fù)，得(f''(x)=e^x-a\geq0)對(duì)(\forallx\in\mathbb{R})恒成立。因?yàn)?e^x>0)，故(a\leq0)。3.2多元變量與加權(quán)琴生不等式例4：已知正實(shí)數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=1)，求證：[\frac{a}{1+a}+\frac{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq\frac{3}{4}]證明：令(f(x)=\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x})，求二階導(dǎo)數(shù)得(f''(x)=-\frac{2}{(1+x)^3}<0)，故(f(x))為凹函數(shù)。由琴生不等式：[\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\leqf\left(\frac{a+b+c}{3}\right)=f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1/3}{1+1/3}=\frac{1}{4}]兩邊同乘3即得(\frac{a}{1+a}+\frac{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq\frac{3}{4})，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)(a=b=c=\frac{1}{3})時(shí)成立。3.3實(shí)際應(yīng)用與優(yōu)化問(wèn)題例5：某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為(x,y,z)（單位：噸），成本函數(shù)為(C(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2)，若總產(chǎn)量(x+y+z=6)，求最小成本。解析：將成本函數(shù)改寫為(C=x^2+2y^2+3z^2)，取權(quán)重(\lambda_1=\frac{1}{6},\lambda_2=\frac{2}{6},\lambda_3=\frac{3}{6})，構(gòu)造凸函數(shù)(f(t)=t^2)。由加權(quán)琴生不等式：[\lambda_1x^2+\lambda_2\left(\frac{y}{\lambda_2}\right)^2+\lambda_3\left(\frac{z}{\lambda_3}\right)^2\geq\left(\lambda_1x+\lambda_2\cdot\frac{y}{\lambda_2}+\lambda_3\cdot\frac{z}{\lambda_3}\right)^2]代入數(shù)據(jù)解得最小成本為12噸（具體計(jì)算過(guò)程略）。四、模擬測(cè)試題一、選擇題（每題5分）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)為凸函數(shù)的是（）A.(f(x)=\sinx)（(x\in[0,\pi])）B.(f(x)=e^{-x})C.(f(x)=x^3)（(x\in\mathbb{R})）D.(f(x)=\sqrt{x})（(x>0)）已知(x,y>0)且(2x+y=3)，則(x^2+y^2)的最小值為（）A.2B.(\frac{9}{5})C.3D.(\frac{18}{5})二、填空題（每題5分）函數(shù)(f(x)=x\lnx)的凹凸性為________（填“凸函數(shù)”或“凹函數(shù)”），其在區(qū)間([1,e])上的最小值為________。已知(a,b,c>0)且(a+b+c=3)，則(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})的最小值為________。三、解答題（共70分）5.（15分）設(shè)(f(x)=\frac{1}{x})（(x>0)），利用琴生不等式證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)(a,b,c)，有(\frac{a+b+c}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}})。6.（20分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2mx+1)在區(qū)間([1,3])上為凸函數(shù)，且(x_1+x_2=4)（(x_1,x_2\in[1,3])），求(f(x_1)+f(x_2))的最小值。7.（25分）某農(nóng)場(chǎng)種植兩種作物，種植面積分別為(x)和(y)畝，總收益函數(shù)為(R(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y})，若總種植面積(x+y=100)畝，求最大收益及對(duì)應(yīng)的種植方案。參考答案與提示：C（提示：(f(x)=x^3)的二階導(dǎo)數(shù)(f''(x)=6x)，當(dāng)(x>0)時(shí)為凸函數(shù)）B（提示：利用二次函數(shù)求導(dǎo)或琴生不等式，權(quán)重(\lambda_1=\frac{2}{3},\lambda_2=\frac{1}{3})）凸函數(shù)，1（提示：(f''(x)=\frac{1}{x}>0)，最小值在(x=1)處取得）3（提示：令(f(x)=\frac{1}{x})，凹函數(shù)，等號(hào)當(dāng)(a=b=c=1)時(shí)成立）提示：(f(x)=\frac{1}{x})為凸函數(shù)，取權(quán)重(\lambda_i=\frac{1}{3})最小值為2（提示：(f(x))為凸函數(shù)，(m\leq1)，當(dāng)(x_1=x_2=2)時(shí)取等號(hào)）最大收益為20（提示：(f(x)=\sqrt{x})為凹函數(shù)，等號(hào)當(dāng)(x=y=50)時(shí)成立）五、總結(jié)與拓展琴生不等式作為凸函數(shù)理論的核心