2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)大數(shù)據(jù)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.集合與函數(shù)概念設(shè)全集(U=\mathbb{R})，集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，(B={x|x^2-4x-5\leq0})，則((\complement_UA)\capB=)（）A.([-1,1])B.([-1,2])C.([5,+\infty))D.([1,5])2.復(fù)數(shù)與向量已知向量(\vec{a}=(m,2))，(\vec=(3,m-1))，若(\vec{a}\perp\vec)，則復(fù)數(shù)(z=m+(m-1)i)的模為（）A.(\sqrt{5})B.(2\sqrt{2})C.3D.53.三角函數(shù)與解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2\sqrt{3})，(b=6)，(A=30^\circ)，則(\triangleABC)的面積為（）A.(3\sqrt{3})B.(6\sqrt{3})C.(3\sqrt{3})或(9\sqrt{3})D.(6\sqrt{3})或(12\sqrt{3})4.數(shù)列與不等式已知正項(xiàng)等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3=4)，(S_3=7)，則不等式(S_n>1023)的最小正整數(shù)解為（）A.8B.9C.10D.115.立體幾何與空間向量某圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為4，高為(2\sqrt{3})，若一個(gè)球的表面積與該圓臺(tái)的側(cè)面積相等，則球的體積為（）A.(\frac{32\pi}{3})B.(16\pi)C.(\frac{64\pi}{3})D.(32\pi)6.概率與統(tǒng)計(jì)某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)與成績(jī)的關(guān)系，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)其每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）和期末數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分），得到如下數(shù)據(jù)：學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]人數(shù)15353020平均成績(jī)（分）65758592若用樣本估計(jì)總體，該校學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)落在（）A.[5,10)B.[10,15)C.[15,20)D.[20,25]7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)應(yīng)用已知函數(shù)(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1)在區(qū)間((2,+\infty))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,\frac{5}{4}])B.((-\infty,1])C.([1,+\infty))D.([\frac{5}{4},+\infty))8.解析幾何與大數(shù)據(jù)建模某電商平臺(tái)根據(jù)用戶歷史購(gòu)物數(shù)據(jù)建立消費(fèi)預(yù)測(cè)模型，其中用戶“加購(gòu)-下單”轉(zhuǎn)化率(y)與用戶瀏覽商品時(shí)長(zhǎng)(t)（單位：分鐘）的關(guān)系滿足函數(shù)(y=\frac{1}{1+e^{-0.5t+2}})，則當(dāng)轉(zhuǎn)化率(y=0.8)時(shí)，(t)的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：(\ln4\approx1.386)）A.3.57B.4.77C.5.23D.6.12二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分）9.函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用已知函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx-ax)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)(a=0)時(shí)，(f(x))在([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值為(\sqrt{2})B.當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x))在((0,\pi))上存在唯一極值點(diǎn)C.若(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞減，則(a\geq\sqrt{2})D.方程(f(x)=0)在([0,\frac{\pi}{2}])上最多有2個(gè)實(shí)根10.數(shù)列與數(shù)學(xué)文化《九章算術(shù)》中有“衰分”問題：今有大夫、不更、簪裊、上造、公士五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？（注：古代爵位從高到低依次為大夫、不更、簪裊、上造、公士，“衰分”即按比例分配）若五人按爵位從高到低所得鹿數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，且公比(q<1)，則下列說法正確的是（）A.若大夫得鹿數(shù)為(a_1)，則公士得鹿數(shù)為(a_1q^4)B.若五人共得鹿5只，則(a_1(1-q^5)=5(1-q))C.若(q=\frac{1}{2})，則大夫所得鹿數(shù)是公士的16倍D.若(a_3=1)，則五人所得鹿數(shù)之和的最小值為511.立體幾何與空間角在棱長(zhǎng)為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(E,F)分別是棱(BC,C_1D_1)的中點(diǎn)，則（）A.直線(AE)與(CF)所成角的余弦值為(\frac{\sqrt{10}}{10})B.平面(AEF)與平面(ABCD)所成銳二面角的正切值為(\sqrt{2})C.點(diǎn)(B)到平面(AEF)的距離為(\frac{2\sqrt{3}}{3})D.三棱錐(A_1-AEF)的體積為(\frac{4}{3})12.概率統(tǒng)計(jì)與大數(shù)據(jù)分析某大數(shù)據(jù)平臺(tái)對(duì)某地區(qū)1000名高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論：①樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（90分以上）的學(xué)生占比為25%，其中女生占優(yōu)秀學(xué)生總數(shù)的40%；②樣本中男生每周平均刷題量為15道，女生為12道，且刷題量與成績(jī)正相關(guān)；③用分層抽樣從樣本中抽取20人，若按性別分層，則應(yīng)抽取男生12人、女生8人。其中正確的結(jié)論是（）A.①B.②C.③D.若樣本中女生占比50%，則優(yōu)秀女生占女生總數(shù)的20%三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)列與遞推公式已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})，則其通項(xiàng)公式(a_n=)________。14.三角函數(shù)與三角恒等變換已知(\tan(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2})，則(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=)________。15.解析幾何與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(C)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+3\cos\theta\y=-1+3\sin\theta\end{cases})（(\theta)為參數(shù)），直線(l)的極坐標(biāo)方程為(\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2})，則曲線(C)與直線(l)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________。16.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-b)，若對(duì)任意(x\in\mathbb{R})，(f(x)\geq0)恒成立，且(f(1)=0)，則(a+b=)，(f(x))的最小值為。（第一空2分，第二空3分）四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）數(shù)列與不等式已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）若(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)，并證明(T_n<\frac{1}{4})。18.（12分）三角函數(shù)與解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且(2b\cosA=a\cosC+c\cosA)。（1）求角(A)的大小；（2）若(a=\sqrt{7})，(\triangleABC)的面積為(\frac{3\sqrt{3}}{2})，求(\triangleABC)的周長(zhǎng)。19.（12分）立體幾何與空間向量如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D)是棱(A_1B_1)的中點(diǎn)。（1）證明：(AD\perp)平面(BCC_1B_1)；（2）求直線(CD)與平面(ADC_1)所成角的正弦值。20.（12分）概率統(tǒng)計(jì)與大數(shù)據(jù)建模某高中為優(yōu)化課后服務(wù)，隨機(jī)調(diào)查了500名學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建?！薄熬幊獭薄皺C(jī)器人”三項(xiàng)課程的興趣，得到如下數(shù)據(jù)：興趣課程數(shù)學(xué)建模編程機(jī)器人數(shù)學(xué)建模且編程數(shù)學(xué)建模且機(jī)器人編程且機(jī)器人三項(xiàng)都感興趣人數(shù)20018015080605030（1）求至少對(duì)兩項(xiàng)課程感興趣的學(xué)生人數(shù)；（2）用分層抽樣從對(duì)“數(shù)學(xué)建?！备信d趣的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選2人參加競(jìng)賽，求這2人恰好對(duì)“數(shù)學(xué)建?！焙汀熬幊獭倍几信d趣的概率。21.（12分）解析幾何與直線與圓錐曲線已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過點(diǎn)(P(1,0))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB})，求直線(l)的方程。22.（12分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)