2025年下學期高中數(shù)學競賽國際賽模擬試卷一、選擇題（共6題，每題5分，共30分）設復數(shù)(z)滿足(|z-2i|=1)且(\text{Re}(z)\geq0)，則(|z+1|)的取值范圍是（）A.([\sqrt{5},3])B.([2,3])C.([\sqrt{5}-1,\sqrt{5}+1])D.([\sqrt{3},3])已知正四棱錐(P-ABCD)的底面邊長為2，側(cè)棱長為(\sqrt{5})，點(M)為側(cè)棱(PB)的中點，過點(A)、(M)、(C)的平面截該棱錐所得截面的面積為（）A.(\frac{3\sqrt{2}}{2})B.(2\sqrt{2})C.(3)D.(\frac{5}{2})設函數(shù)(f(x)=\sin^2x+a\cosx+\frac{5}{8}a-\frac{3}{2})（(a\in\mathbb{R})）在(x\in[0,\frac{\pi}{2}])上的最大值為1，則(a)的值為（）A.(\frac{3}{2})或(\frac{2}{3})B.(\frac{3}{2})C.(\frac{2}{3})D.(-\frac{2}{3})已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1})，則(\sum_{k=1}^{2025}\frac{a_k}{k+1})的值為（）A.(\frac{2025}{2026})B.(\frac{2024}{2025})C.(\frac{1012}{2025})D.(\frac{1}{2})設(x,y,z\in\mathbb{R}^+)且(x+y+z=1)，則(\frac{x^2}{1+x}+\frac{y^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+z})的最小值為（）A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{2}{5})已知集合(A={1,2,3,\cdots,10})，從集合(A)中任取兩個不同的數(shù)(m,n)（(m<n)），則(\log_mn)為整數(shù)的概率是（）A.(\frac{1}{15})B.(\frac{1}{10})C.(\frac{3}{45})D.(\frac{4}{45})二、填空題（共6題，每題5分，共30分）已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(x,1))，若((\vec{a}+2\vec)\perp(2\vec{a}-\vec))，則(x=)__________。函數(shù)(f(x)=\frac{x^2+3x+3}{x+1})（(x>-1)）的最小值為__________。已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的左焦點為(F)，過(F)且斜率為(\frac{3}{4})的直線與雙曲線的右支交于點(P)，若線段(PF)的中點在(y)軸上，則雙曲線的離心率為__________。設(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且當(x\geq0)時，(f(x)=x^2-2x)，則不等式(f(x-1)>f(x))的解集為__________。已知正整數(shù)(n)滿足(\binom{n}{0}+2\binom{n}{1}+4\binom{n}{2}+\cdots+2^n\binom{n}{n}=243)，則(n=)__________。在三棱錐(A-BCD)中，(AB=AC=AD=2)，(\angleBAC=\angleBAD=60^\circ)，(\angleCAD=90^\circ)，則三棱錐(A-BCD)的外接球表面積為__________。三、解答題（共5題，共90分）13.（本題滿分16分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個零點(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），求證：(x_1+x_2>2)。解答思路：（1）求導得(f'(x)=\frac{1}{x}-a)，分(a\leq0)和(a>0)討論單調(diào)性；（2）構(gòu)造對稱函數(shù)(g(x)=f(x)-f(2-x))，證明當(x>1)時(g(x)>0)，結(jié)合零點存在性定理得證。14.（本題滿分18分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）過點(P(0,1))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，若以(AB)為直徑的圓過點(D(1,0))，求直線(l)的方程。解答關鍵：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(a=2b)，代入點((2,1))解得(a^2=8)，(b^2=2)；（2）設直線(l:y=kx+1)，聯(lián)立橢圓方程得韋達定理，由(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0)解得(k=-1)或(k=\frac{1}{7})。15.（本題滿分18分）在數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(b_n=\frac{a_n+n+2}{2^{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)；（3）求證：對任意(n\geq2)，有(\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}<\frac{2}{3})。解答要點：（1）構(gòu)造等比數(shù)列：設(a_{n+1}+A(n+1)+B=2(a_n+An+B))，解得(A=1)，(B=2)，則(a_n=3\cdot2^{n-1}-n-2)；（2）(b_n=\frac{3\cdot2^{n-1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{4})，故(S_n=\frac{3n}{4})；（3）放縮法：(a_n=3\cdot2^{n-1}-n-2>2\cdot2^{n-1}=2^n)（(n\geq2)），則(\frac{1}{a_n}<\frac{1}{2^n})，求和得證。16.（本題滿分20分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(D)為棱(B_1C_1)的中點。（1）求證：(A_1D\perp)平面(BDC)；（2）求二面角(A-BD-C)的余弦值；（3）在線段(A_1B)上是否存在點(E)，使得(DE\parallel)平面(A_1AC)？若存在，求出(\frac{A_1E}{EB})的值；若不存在，說明理由。解答提示：（1）建立空間直角坐標系，證明(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{BD}=0)且(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{BC}=0)；（2）求平面(ABD)與平面(BDC)的法向量，利用向量夾角公式得余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{3})；（3）設(E(t,2-t,0))，由(\overrightarrow{DE}\cdot(0,1,0)=0)解得(t=1)，故(\frac{A_1E}{EB}=1)。17.（本題滿分18分）已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極大值2，在(x=2)處取得極小值。（1）求(a,b,c)的值；（2）若函數(shù)(g(x)=f(x)-m)有三個零點，求實數(shù)(m)的取值范圍；（3）設函數(shù)(h(x)=f(x)+6x)，過點(P(0,2))作曲線(y=h(x))的切線，求切線方程。解答過程：（1）(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由(f'(-1)=0)，(f'(2)=0)，(f(-1)=2)解得(a=-\frac{3}{2})，(b=-6)，(c=\frac{1}{2})；（2）(f(x))的極大值為2，極小值為(f(2)=-\frac{19}{2})，故(m\in(-\frac{19}{2},2))；（3）設切點為((x_0,x_0^3-\frac{3}{2}x_0^2+\frac{1}{2}))，切線方程為(y=(3x_0^2-3x_0)x+2)，代入點(P)解得(x_0=0)或(x_0=\frac{3}{2})，切線方程為(y=0)或(y=\frac{9}{4}x+2)。四、附加題（共2題，每題25分，不計入總分，供學有余力的學生選做）設(n)為正整數(shù)，(a_1,a_2,\cdots,a_n)為非負實數(shù)，且滿足(a_1+a_2+\cdots+a_n=1)，求證：(\sum_{i=1}^n\frac