2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）1.三角形外心與垂心的距離公式在銳角△ABC中，已知外接圓半徑R=5，∠A=60°，則外心O與垂心H之間的距離OH等于（）A.5√3B.5C.5/2D.3√3解析：根據(jù)歐拉定理，OH2=9R2-(a2+b2+c2)。由正弦定理得a=2RsinA=5√3，b=2RsinB，c=2RsinC。又因?yàn)椤螦=60°，所以∠B+∠C=120°，代入可得OH=5。2.圓冪定理的應(yīng)用兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A的直線交兩圓于C、D，過(guò)B的直線交兩圓于E、F。若CD=10，EF=8，AC=3，則AE與AF的比值為（）A.3:5B.2:3C.1:2D.4:5解析：由圓冪定理得CA·AD=EA·AB，CB·BD=FB·BA。設(shè)AE=x，AF=y，通過(guò)相似三角形性質(zhì)建立方程，解得x:y=3:5。3.三角形內(nèi)心性質(zhì)在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，I為內(nèi)心，過(guò)I作DE∥AB交AC于D，交BC于E，則DE的長(zhǎng)度為（）A.10/3B.25/6C.14/3D.20/3解析：首先計(jì)算內(nèi)切圓半徑r=2，內(nèi)心到AB的距離為r=2。利用相似比得DE/AB=（r）/（斜邊上的高），解得DE=10/3。4.四點(diǎn)共圓判定下列條件中，能判定四點(diǎn)共圓的是（）A.四邊形ABCD中，∠A+∠C=170°B.線段AB、CD交于點(diǎn)P，PA=3，PB=4，PC=6，PD=2C.三角形ABC中，D、E、F分別為三邊中點(diǎn)D.四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=∠CDB解析：選項(xiàng)B滿足相交弦定理PA·PB=PC·PD，故四點(diǎn)共圓；選項(xiàng)D可通過(guò)圓周角定理逆定理證明。5.面積最值問(wèn)題已知定圓O半徑為5，定點(diǎn)A距離O為3，在圓O上取點(diǎn)B、C，使∠BAC=90°，則△ABC面積的最大值為（）A.16B.24C.18D.20解析：以BC為直徑的圓必過(guò)A點(diǎn)，當(dāng)BC⊥OA時(shí)面積最大，此時(shí)BC=8，高為6，面積=24。二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6.正多邊形內(nèi)角計(jì)算正12邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_____度，每個(gè)內(nèi)角等于______度。答案：1800，150解析：內(nèi)角和公式(n-2)×180°=10×180°=1800°，每個(gè)內(nèi)角=1800°/12=150°。7.軌跡問(wèn)題到兩定點(diǎn)A(1,0)、B(4,0)距離比為1:2的點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____。答案：x2+y2=4解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)(x,y)，由距離公式得√[(x-1)2+y2]/√[(x-4)2+y2]=1/2，平方化簡(jiǎn)得x2+y2=4。8.相似三角形性質(zhì)在△ABC中，DE是中位線，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，CF延長(zhǎng)線交AB于G，則AG:GB=______。答案：1:2解析：通過(guò)構(gòu)造輔助線，利用重心性質(zhì)及中位線定理，證明AG:GB=1:2。9.圓的切線長(zhǎng)度從圓外一點(diǎn)P向圓x2+y2=16引切線PA、PB，若PA⊥PB，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_____。答案：x2+y2=32解析：由切線長(zhǎng)定理得OP2=OA2+PA2，又PA=PB且PA⊥PB，故OP=4√2，軌跡方程為x2+y2=32。10.三角形重心性質(zhì)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1,2,3)、B(4,5,6)、C(7,8,9)，則△ABC重心G的坐標(biāo)為_(kāi)_____，AG的長(zhǎng)度為_(kāi)_____。答案：(4,5,6)，√14解析：重心坐標(biāo)公式得G(4,5,6)，向量AG=(3,3,3)，模長(zhǎng)=√(32+32+32)=3√3（注：原題數(shù)據(jù)特殊，重心與B點(diǎn)重合）三、解答題（共4小題，滿分60分）11.三角形綜合題（15分）在銳角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G。求證：FG∥BC。證明：建立坐標(biāo)系：設(shè)D為原點(diǎn)，BC在x軸上，A在y軸上設(shè)坐標(biāo)：D(0,0)，B(-b,0)，C(c,0)，A(0,a)求E點(diǎn)坐標(biāo)：直線BE方程與AC方程聯(lián)立求F、G坐標(biāo)：利用垂直關(guān)系得F(0,y1)，G(x2,0)計(jì)算向量FG與BC，證明斜率相等得出FG∥BC的結(jié)論12.圓冪定理應(yīng)用（15分）已知⊙O1與⊙O2交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A的直線分別交兩圓于C、D，過(guò)B的直線分別交兩圓于E、F。求證：CE∥DF。證明：連接AB、CE、DF由圓周角定理得∠ACE=∠ABE，∠ADF=∠ABF因?yàn)椤螦BE=∠ABF（對(duì)頂角），所以∠ACE=∠ADF內(nèi)錯(cuò)角相等，故CE∥DF若直線EF與CD相交，可通過(guò)三角形相似證明13.幾何不等式證明（15分）設(shè)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC＜AB+BC+CA。證明：延長(zhǎng)BP交AC于D在△ABD中：PA+PD＜AB+BD在△PDC中：PC＜PD+DC兩式相加：PA+PC＜AB+BD+DC=AB+BC同理可得其他不等式，三式相加得證14.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題（15分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P在斜邊AB上移動(dòng)，過(guò)P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，求線段EF長(zhǎng)度的最小值及此時(shí)AP的長(zhǎng)度。解答：設(shè)AP=x，建立函數(shù)關(guān)系由相似比得PE=4x/5，PF=3(5-x)/5EF2=PE2+PF2=(16x2+9(5-x)2)/25配方得EF2=(25x2-90x+225)/25當(dāng)x=9/5時(shí)，EF取得最小值12/5此時(shí)AP=9/5四、附加題（20分）在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，且BE=AC，BE交AC于F。求證：BF=3AF。證明：作EG∥BC交AC于G設(shè)AF=x，F(xiàn)C=y，AG=z由等腰三角形性質(zhì)得AD⊥BC利用相似三角形得比例關(guān)系：EG/DC=AG/AC=z/(x+y)EG/BC=EF/BF=z/(x+y)由BE=AC建立方程，解得x:y=1:2故BF=3AF五、解題技巧總結(jié)1.輔助線添加原則遇中點(diǎn)連中線，遇角平分線向兩邊作垂線圓中常用直徑所對(duì)圓周角、切線等輔助線面積問(wèn)題可考慮添加高線或構(gòu)造全等2.解題思想方法幾何代數(shù)化：坐標(biāo)系法、向量法轉(zhuǎn)化思想：復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本模型特殊