2025年下學期高中數(shù)學關(guān)系觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若B?A，則實數(shù)m的取值集合為（）A.{1,1/2}B.{0,1,1/2}C.{1}D.{0,1/2}已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=x2-2x，則f(g(x))的定義域為（）A.RB.{x|x≥1}C.{x|x≤1}D.{x|x≠1}若向量a=(1,2)，b=(m,1)，且a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x2-2x，則f(-1)=（）A.-1B.1C.-3D.3若直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，若f(a)=2，則a的值為（）A.3B.4C.5D.6在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=4，則cosC=（）A.1/4B.-1/4C.1/2D.-1/2已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，d=2，則S5=（）A.15B.20C.25D.30函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最小正周期為（）A.π/2B.πC.2πD.4π若圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-a)2+(y-b)2=4外切，則a2+b2=（）A.1B.2C.3D.9已知函數(shù)f(x)=x3-3x，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)從5名男生和3名女生中任選3人參加志愿者活動，則所選3人中至少有1名女生的概率為（）A.15/56B.41/56C.3/8D.5/8二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值為______。若向量a=(2,3)，b=(1,-1)，則a·b=______。已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，a4=16，則公比q=______。函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+3)的定義域為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，求A∩B和A∪B。18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+1（a為常數(shù)）。（1）若f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若f(x)的最小值為0，求a的值。19.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，cosC=1/4。（1）求c的值；（2）求sinA的值。20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2+2n。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=an·2?，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。21.（本小題滿分12分）已知圓C的圓心在直線x-y-1=0上，且圓C經(jīng)過點A(1,1)和B(2,-1)。（1）求圓C的方程；（2）若直線l:kx-y+3=0與圓C相交于M、N兩點，且|MN|=2√3，求k的值。22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x。（1）求函數(shù)f(x)的極值；（2）若關(guān)于x的方程f(x)=m有三個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。不計入總分，供學有余力的同學選做）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax（a∈R）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求證：直線l過定點。參考答案及評分標準一、選擇題B2.A3.A4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.D11.B12.B二、填空題614.-115.216.(-∞,1)∪(3,+∞)三、解答題解：由x2-4x+3<0，得1<x<3，所以A=(1,3)。由2x-3>0，得x>3/2，所以B=(3/2,+∞)。因此，A∩B=(3/2,3)，A∪B=(1,+∞)。解：（1）函數(shù)f(x)=x2-2ax+1的對稱軸為x=a。因為f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，所以a≤1。（2）因為f(x)的最小值為0，所以f(a)=a2-2a2+1=1-a2=0，解得a=±1。解：（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2×3×4×1/4=25-6=19，所以c=√19。（2）因為cosC=1/4，所以sinC=√(1-cos2C)=√15/4。由正弦定理得a/sinA=c/sinC，即3/sinA=√19/(√15/4)，解得sinA=3√15/(4√19)=3√285/76。解：（1）當n=1時，a1=S1=1+2=3。當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1。當n=1時，a1=3也滿足上式，所以an=2n+1。（2）bn=an·2?=(2n+1)·2?。Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)·2?。2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)·2?+(2n+1)·2??1。兩式相減得-Tn=3×2+2×22+2×23+…+2·2?-(2n+1)·2??1=6+2×(22+23+…+2?)-(2n+1)·2??1=6+2×[4(2??1-1)/(2-1)]-(2n+1)·2??1=6+2×(2??1-4)-(2n+1)·2??1=6+2??2-8-(2n+1)·2??1=2??2-2-(2n+1)·2??1=-(2n-1)·2??1-2。所以Tn=(2n-1)·2??1+2。解：（1）設(shè)圓C的圓心坐標為(a,b)，半徑為r。因為圓心在直線x-y-1=0上，所以a-b-1=0，即b=a-1。又因為圓C經(jīng)過點A(1,1)和B(2,-1)，所以(1-a)2+(1-b)2=r2，(2-a)2+(-1-b)2=r2。將b=a-1代入上述方程，得(1-a)2+(1-(a-1))2=(2-a)2+(-1-(a-1))2，即(1-a)2+(2-a)2=(2-a)2+(-a)2，解得a=1，所以b=0，r2=(1-1)2+(1-0)2=1，所以圓C的方程為(x-1)2+y2=1。（2）圓心C(1,0)到直線l的距離d=|k×1-0+3|/√(k2+1)=|k+3|/√(k2+1)。因為|MN|=2√3，所以r2=d2+(|MN|/2)2，即1=(k+3)2/(k2+1)+3，解得k=-4/3。解：（1）f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。當x<1-√3/3或x>1+√3/3時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當1-√3/3<x<1+√3/3時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。所以函數(shù)f(x)在x=1-√3/3處取得極大值，極大值為f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=4/3-2√3/3；在x=1+√3/3處取得極小值，極小值為f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=4/3+2√3/3。（2）由（1）可知，函數(shù)f(x)的極大值為4/3-2√3/3，極小值為4/3+2√3/3。若關(guān)于x的方程f(x)=m有三個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍為(4/3-2√3/3,4/3+2√3/3)。四、附加題解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)。f'(x)=1/x-a。當a≤0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。當a>0時，令f'(x)=0，得x=1/a。當0<x<1/a時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x>1/a時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，則a>0，且f(1/a)=ln(1/a)-a×(1/a)=-lna-1>0，解得0<a<1/e。解：（1）因為橢圓C的離心率為√2/2，所以c/a=√2/2，即c=√2/2a。又因為a2=b2+c2，所以a2=b2+1/2a2，即b2=1/2a2。因為橢圓C過點(1,√2/2)，所以1/a2+((√2/2)2)/b2=1，即1/a2+(1/2)/b2=1。將b2=1/2a2代入上式，得1/a2+(1/2)/(1/2a2)=1/a2+1/a2=2/a2=1，解得a2=2，所以b2=1，所以橢圓C的方程為x2/2+y2=1。（2）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)。聯(lián)立方程組{x2/2+y2=1，y=kx+m}，消去y得x2/2+(kx+m)2=1，即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0。所以x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)。因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0。又因為y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2。所以x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0。將x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)代入上式，得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，即(2m2-2)(1+k2)-4k2m2+m2(1+2k2)=0，整理得2m2-2+2k2m2-2k2-4k2m2+m2+2k2m2=0，即3m2-2-2k2=0，所以m2=(2k2+2)/3。所以直線l的方程為y=kx±√[(2k2+2)/3]。當直線l的斜率不存在時，設(shè)直