2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽反證法試卷一、選擇題（每題5分，共30分）若命題P：“存在實數(shù)x，使得x2+2x+3=0”，則?P為（）A.對任意實數(shù)x，都有x2+2x+3=0B.對任意實數(shù)x，都有x2+2x+3≠0C.存在實數(shù)x，使得x2+2x+3≠0D.不存在實數(shù)x，使得x2+2x+3=0解析：反證法中，“存在性命題”的否定為“全稱命題”，即?P：對任意實數(shù)x，x2+2x+3≠0。通過配方x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0，可直接驗證?P為真命題。用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”時，應(yīng)假設(shè)（）A.三個內(nèi)角都小于60°B.三個內(nèi)角都大于60°C.三個內(nèi)角至多有一個小于60°D.三個內(nèi)角至多有兩個小于60°解析：“至少有一個”的否定為“一個也沒有”，即假設(shè)三個內(nèi)角都小于60°，則內(nèi)角和<180°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，從而得證原命題。已知a，b∈R，若a+b>1，則a，b中至少有一個大于1/2。用反證法證明時，假設(shè)正確的是（）A.a≤1/2且b≤1/2B.a≤1/2或b≤1/2C.a>1/2且b>1/2D.a>1/2或b>1/2解析：“至少有一個大于1/2”的否定為“兩個都不大于1/2”，即a≤1/2且b≤1/2。此時a+b≤1/2+1/2=1，與a+b>1矛盾。用反證法證明“√2是無理數(shù)”時，假設(shè)√2是有理數(shù)，則可表示為（）A.√2=p/q（p，q為正整數(shù)，且p，q互質(zhì)）B.√2=p/q（p，q為正整數(shù)，且p，q不互質(zhì)）C.√2=p2/q2（p，q為正整數(shù)）D.√2=2p/q（p，q為正整數(shù)）解析：有理數(shù)的定義為“可表示為兩個互質(zhì)整數(shù)的商”，假設(shè)√2=p/q（p，q互質(zhì)），則2=p2/q2→p2=2q2，推出p為偶數(shù)，設(shè)p=2k，代入得q2=2k2，q也為偶數(shù)，與p，q互質(zhì)矛盾。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，用反證法證明“{a?}中不存在三項成等差數(shù)列”時，假設(shè)應(yīng)為（）A.{a?}中存在三項成等比數(shù)列B.{a?}中任意三項不成等差數(shù)列C.{a?}中存在三項成等差數(shù)列D.{a?}中至多有兩項成等差數(shù)列解析：反證法需先假設(shè)原命題的否定成立，即“存在三項成等差數(shù)列”。設(shè)a?，a?，a?（m<n<k）成等差，則2a?=a?+a?，代入遞推公式a?=2?-1，可推出矛盾。用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若直線a⊥c，b⊥c，則a∥b”時，假設(shè)正確的是（）A.a與b相交B.a與b異面C.a與b不垂直于cD.a與b垂直解析：假設(shè)a與b不平行，則a與b相交于一點O，此時過O有兩條直線a，b同時垂直于c，與“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾。二、填空題（每題5分，共20分）用反證法證明“若x2+y2=0，則x=y=0”時，應(yīng)假設(shè)__________。答案：x≠0或y≠0解析：“x=y=0”的否定為“x≠0或y≠0”，此時x2+y2≥x2>0（若x≠0）或≥y2>0（若y≠0），與x2+y2=0矛盾。在△ABC中，若AB≠AC，則∠B≠∠C。用反證法證明時，假設(shè)∠B=∠C，可推出__________，與已知矛盾。答案：AB=AC解析：由等角對等邊定理，若∠B=∠C，則AB=AC，與AB≠AC矛盾。用反證法證明“1，√2，3不可能是一個等差數(shù)列中的三項”時，假設(shè)這三項依次為a?，a?，a?（m<n<k），則可列出等式__________。答案：2√2=1+3（或2a?=a?+a?）解析：假設(shè)成等差數(shù)列，則2√2=1+3=4，即√2=2，顯然不成立。若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個零點。用反證法證明時，假設(shè)__________。答案：f(x)在(a,b)內(nèi)沒有零點（或?qū)θ我鈞∈(a,b)，f(x)≠0）三、解答題（共50分）（10分）用反證法證明：若a，b，c均為正實數(shù)，且a+b+c=1，則(a+1/a)，(b+1/b)，(c+1/c)中至少有一個不小于10/3。證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即(a+1/a)<10/3，(b+1/b)<10/3，(c+1/c)<10/3。則(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)<10。左邊=a+b+c+(1/a+1/b+1/c)=1+(1/a+1/b+1/c)，故1+(1/a+1/b+1/c)<10?1/a+1/b+1/c<9。但由柯西不等式：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)2=9，即1·(1/a+1/b+1/c)≥9?1/a+1/b+1/c≥9，與1/a+1/b+1/c<9矛盾。因此假設(shè)不成立，原命題得證。（12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=2，a???=a?2-a?+1（n∈N），求證：對任意n∈N，a?>1，且1/a?+1/a?+...+1/a?<1。**證明：（1）先證a?>1：假設(shè)存在最小正整數(shù)k，使得a?≤1。當(dāng)k=1時，a?=2>1，矛盾；當(dāng)k>1時，a?=a???2-a???+1=(a???-1/2)2+3/4。由假設(shè)a???>1（k為最?。?，則(a???-1/2)2>1/4，故a?>1/4+3/4=1，與a?≤1矛盾。因此對任意n，a?>1。（2）再證不等式：由a???-1=a?(a?-1)，得1/(a???-1)=1/(a?-1)-1/a?，即1/a?=1/(a?-1)-1/(a???-1)。累加得1/a?+...+1/a?=1/(a?-1)-1/(a???-1)=1-1/(a???-1)。假設(shè)1-1/(a???-1)≥1，則1/(a???-1)≤0，與a???>1矛盾，故原不等式成立。（14分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，若f(1)=0，f(2)=0，f(3)=0，求證：f(x)的圖像與x軸只有三個交點。證明：假設(shè)f(x)與x軸有第四個交點，即存在d≠1,2,3，使得f(d)=0。設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-d)·g(x)，其中g(shù)(x)為多項式且g(x)≠0。由f(1)=f(2)=f(3)=0，知f(x)可分解為(x-1)(x-2)(x-3)·h(x)，其中h(x)為一次多項式（三次函數(shù)）。若存在第四個零點d，則h(x)=(x-d)·g(x)，此時f(x)至少為四次多項式，與f(x)是三次函數(shù)矛盾。又由三次函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)f’(x)=3x2+2ax+b，判別式Δ=4(a2-3b)。若Δ≤0，則f(x)單調(diào)，最多一個零點，與f(1)=f(2)=f(3)=0矛盾，故Δ>0，f(x)有兩個極值點，且三個零點1,2,3互不相同，因此f(x)恰有三個零點。（16分）用反證法證明：在平面直角坐標(biāo)系中，不存在正五邊形的所有頂點都在格點上（格點指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）。證明：假設(shè)存在格點正五邊形ABCDE，設(shè)其頂點坐標(biāo)為(x?,y?)∈Z2（i=1,2,3,4,5）。（1）向量與旋轉(zhuǎn)：將向量→AB繞點B旋轉(zhuǎn)90°得向量→BC'，由格點性質(zhì)知→BC'的坐標(biāo)為(y_B-y_A,x_A-x_B)∈Z2，即旋轉(zhuǎn)后仍為格點向量。（2）面積矛盾：正五邊形的面積S可通過皮克定理計算：S=I+B/2-1，其中I為內(nèi)部格點數(shù)，B為邊界格點數(shù)，均為整數(shù)，故S為半整數(shù)或整數(shù)。另一方面，設(shè)正五邊形邊長為a，則面積S=(5a2)/(4tan36°)，其中a2=(x?-x?)2+(y?-y?)2為整數(shù)，tan36°為無理數(shù)，故S為無理數(shù)，與皮克定理矛盾。因此假設(shè)不成立，格點正五邊形不存在。（12分）已知a，b，c∈R，且a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0。證明：假設(shè)至少有一個數(shù)≤0，不妨設(shè)a≤0。（1）若a=0，則abc=0，與abc>0矛盾；（2）若a<0，則由abc>0得bc<0，由a+b+c>0得b+c>-a>0。設(shè)b+c=m>0，bc=n<0，則以b，c為根的方程x2-mx+n=0有一正一負(fù)實根，不妨設(shè)b>0，c<0。此時ab+bc+ca=a(b+c)+bc=am+n，由于a<0，m>0，n<0，故ab+bc+ca<0，與ab+bc+ca>0矛盾。綜上，a>0，同理可證b>0，c>0。四、附加題（20分）用反證法證明：在2?×2?（n∈N）的方格紙中，任意挖去一個小方格后，剩下的圖形可以用“L”形（由3個小方格組成的拐角形）完全覆蓋。*證明：當(dāng)n=1時，2×2方格挖去一個后剩余3格，恰為一個“L”形，命題成立。假設(shè)n=k時命題成立，即2?×2?方格挖去一個后可被“L”形覆蓋。當(dāng)n=k+1時，將2??1×2??1方格分成4個2?×2?子方格，設(shè)挖去的方格在左上角子方格中。在中心位置放置一個“L”形，覆蓋其余三個子方格的各一個角，此時每個子方格均挖去一個方格，由歸納假設(shè)，每個子方格可被“L”形覆蓋，故