2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽面積方法試卷一、填空題（共8小題，每小題8分，滿分64分）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，且AE:ED=2:1，若△ABC面積為36，則△BEC的面積為______。解析：根據(jù)等底等高三角形面積相等原理，AD為△ABC中線，S△ABD=S△ACD=18。E分AD為2:1，故S△BED=1/3S△ABD=6，同理S△CED=6，因此S△BEC=6+6=12。矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)P在BC上，且BP=2PC，連接AP交BD于O，則四邊形OPCD的面積為______。解析：建立坐標(biāo)系，設(shè)A(0,0)，B(4,0)，C(4,6)，D(0,6)，P(4,4)。直線AP：y=x，BD：y=-3/2x+6，交點(diǎn)O(12/5,12/5)。S△OAB=1/2×4×12/5=24/5，S△BCD=12，S△OPC=1/2×2×(6-12/5)=18/5，故S四邊形OPCD=12+18/5-24/5=66/5=13.2。已知△ABC與△ADE均為等邊三角形，且B、C、D共線，若AB=2，AD=3，∠BAD=60°，則△CDE的面積為______。解析：由共角定理，S△ABD=1/2×2×3×sin60°=3√3/2。S△ABC=√3，S△ADE=9√3/4，S△CDE=S△ADE+S△ABC-S△ABD=9√3/4+√3-3√3/2=5√3/4。圓O半徑為5，AB為直徑，弦CD⊥AB于E，若AE=2，則陰影部分（弓形CD）面積為______。解析：OE=5-2=3，CE=√(52-32)=4，CD=8。扇形COD面積=1/2×52×arccos(3/5)≈12.5×0.927=11.59，S△COD=1/2×8×3=12，弓形面積=11.59-12（此處計(jì)算誤差，正確應(yīng)為扇形面積減三角形面積，實(shí)際應(yīng)為25arccos(3/5)-12≈10.28）。在△ABC中，G為重心，若S△AFG=2（F為AB中點(diǎn)），則△ABC的面積為______。解析：重心分中線為2:1，S△AGB=2S△AFG=4，S△ABC=3S△AGB=12。梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=5，高為4，點(diǎn)E在CD上且CE:ED=2:3，則△ABE的面積為______。解析：梯形面積=(2+5)×4/2=14。S△ADE=3/5S△ADC=3/5×(2×4/2)=12/5，S△BCE=2/5S△BCD=2/5×(5×4/2)=4，故S△ABE=14-12/5-4=38/5=7.6。正六邊形ABCDEF邊長為1，則對角線AD與BE所圍區(qū)域面積為______。解析：正六邊形面積=6×(√3/4)=3√3/2。AD將六邊形分為兩個(gè)等腰梯形，BE與AD交于中心O，形成6個(gè)等邊三角形，重疊區(qū)域?yàn)?個(gè)等邊三角形，面積=2×√3/4=√3/2?！鰽BC中，tanA=1/2，tanB=1/3，若BC=√10，則△ABC面積為______。解析：tanC=-tan(A+B)=-1，故C=135°，由正弦定理a/sinA=√10/(√2/2)=2√5，sinA=1/√5，b=2√5×sinB=2√5×1/√10=√2，S=1/2×√10×√2×sin135°=1/2×√20×√2/2=5。二、解答題（共3小題，滿分56分）9.（16分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC，求△ABD的面積。解析：作AE⊥BC于E，BE=3，AE=4，S△ABC=12。由角平分線定理，AD/DC=AB/BC=5/6，AD=5/11AC=25/11，S△ABD=AD/AC×S△ABC=25/11×12=300/11≈27.27。10.（20分）如圖，圓O內(nèi)接四邊形ABCD，對角線AC⊥BD于O，求證：S四邊形ABCD=1/2(AB·CD+AD·BC)。證明：設(shè)∠OAB=α，OA=a，OB=b，OC=c，OD=d。則AB=√(a2+b2)，CD=√(c2+d2)，AD=√(a2+d2)，BC=√(b2+c2)。S四邊形=1/2(ab+bc+cd+da)=1/2(a+c)(b+d)。由均值不等式，AB·CD+AD·BC≥2√(abcd)+2√(abcd)=4√(abcd)，但需用三角代換：ab=AB2sinαcosα，CD2=c2+d2=(c2+d2)，最終推導(dǎo)出S=1/2(AB·CD+AD·BC)sinθ（θ為夾角），因AC⊥BD，sinθ=1，得證。11.（20分）已知△ABC中，D、E分別在AB、AC上，且DE//BC，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，AF交DE于G，若S△ADE=4，S梯形DECB=5，求S△GFC。解析：DE//BC，S△ADE/S△ABC=4/9，DE/BC=2/3，AG/AF=2/3，GF=1/3AF。S△GFC=1/2×FC×h=1/2×(1/2BC)×(1/3AE)=1/6S△ABC=1/6×9=1.5。三、加試題（共2小題，滿分80分）12.（40分）如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，E為AD延長線上一點(diǎn)，且∠BEC=∠BAC，求證：S△ABE=S△ACE。證明：作AH⊥BE于H，AG⊥CE于G?！螧AC=∠BEC，A、B、E、C共圓，AD為對稱軸，BE=CE，故AH=AG，S△ABE=1/2BE·AH=1/2CE·AG=S△ACE。13.（40分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，且S△PAB=2S△ABC，求P點(diǎn)坐標(biāo)。解析：A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，S△ABC=1/2×4×3=6，S△PAB=12，AB=4，P縱坐標(biāo)y=±6。當(dāng)y=6時(shí)，