2025年下學期高中數(shù)學案例式學習試卷一、函數(shù)應用案例分析題（20分）案例背景某電商平臺在2025年"雙11"促銷活動中，對一款原價為200元的電子產(chǎn)品進行打折銷售。根據(jù)市場調(diào)研，當折扣率為x（0<x≤1）時，每日銷售量y（單位：件）與折扣率x的關系滿足y=1000+5000(1-x)，每日銷售利潤z（單位：元）與折扣率x的函數(shù)關系為z=(200x-120)y。問題設計請寫出每日銷售利潤z關于折扣率x的函數(shù)解析式，并求出函數(shù)的定義域。若該電商平臺每日固定成本為5000元，求每日凈利潤w關于折扣率x的函數(shù)解析式（凈利潤=銷售利潤-固定成本）。當折扣率x為何值時，每日凈利潤w取得最大值？最大值是多少？結(jié)合函數(shù)圖像，分析折扣率x在[0.7,0.9]范圍內(nèi)變化時，每日凈利潤w的變化趨勢，并給出相應的銷售策略建議。解答要求（1）需寫出完整的解題步驟，包括函數(shù)建模過程、導數(shù)計算過程及結(jié)果分析；（2）在分析銷售策略時，需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值點進行說明；（3）計算結(jié)果保留兩位小數(shù)。二、三角函數(shù)應用題（15分）案例背景某城市為改善居民生活環(huán)境，計劃在公園內(nèi)建造一個扇形花壇。已知扇形花壇的周長為30米，其中扇形的半徑為r米，圓心角為θ弧度。問題設計請寫出扇形花壇面積S關于半徑r的函數(shù)解析式，并求出函數(shù)的定義域。當半徑r為何值時，扇形花壇的面積S取得最大值？最大值是多少？若要求扇形花壇的圓心角θ不小于1弧度且不大于2弧度，求半徑r的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)扇形花壇面積S的最大值。解答要求（1）需使用三角函數(shù)知識進行建模和求解；（2）在求最值過程中，需使用導數(shù)或基本不等式方法，并說明理由；（3）計算結(jié)果保留一位小數(shù)。三、數(shù)列與不等式綜合題（20分）案例背景某企業(yè)為擴大生產(chǎn)規(guī)模，計劃在未來5年內(nèi)每年投入固定資金進行技術(shù)改造。已知2026年（第一年）投入資金100萬元，以后每年投入的資金比上一年增加10%，同時每年技術(shù)改造帶來的新增利潤為當年投入資金的1.5倍。問題設計請寫出第n年（1≤n≤5）投入的資金an和新增利潤bn的表達式；求未來5年內(nèi)投入資金的總和Sn和新增利潤的總和Tn；若該企業(yè)每年需從新增利潤中提取20%作為儲備資金，剩余部分用于擴大再生產(chǎn)，求第5年末企業(yè)可用于擴大再生產(chǎn)的資金總額；設第n年的投入資金增長率為rn=an+1-an/an，證明：數(shù)列{rn}是等比數(shù)列，并求出其前n項和。解答要求（1）需使用數(shù)列知識進行建模，明確首項、公差或公比；（2）在證明等比數(shù)列時，需使用定義法或等比中項法；（3）計算結(jié)果保留整數(shù)。四、立體幾何案例分析題（20分）案例背景某建筑公司計劃建造一個底面為矩形的倉儲大棚，其結(jié)構(gòu)如圖所示（示意圖略）。已知大棚的底面周長為60米，高為4米，頂部為兩個全等的等腰梯形側(cè)面和兩個全等的矩形側(cè)面組成的直棱柱結(jié)構(gòu)。設底面矩形的長為x米，寬為y米，側(cè)面與地面所成的二面角為θ。問題設計請用x表示y，并寫出x的取值范圍；若側(cè)面梯形的腰長為5米，求cosθ的值；求大棚的容積V關于x的函數(shù)解析式，并求出當x為何值時，容積V取得最大值；若建造大棚的材料費用為：側(cè)面每平方米200元，頂部每平方米300元，底面每平方米100元，求總造價C關于x的函數(shù)解析式，并求出總造價的最小值。解答要求（1）需畫出空間幾何體的直觀圖，并標注相關尺寸；（2）在求容積最大值時，需使用導數(shù)方法，并進行二階導數(shù)檢驗；（3）計算結(jié)果保留一位小數(shù)。五、概率與統(tǒng)計綜合題（20分）案例背景某高中為了解學生的數(shù)學學習情況，對高二年級1000名學生進行了一次數(shù)學測試，測試成績（滿分150分）服從正態(tài)分布N(100,152)。學校計劃根據(jù)測試成績制定分層教學方案，將學生分為A、B、C三個層次，其中A層為成績前20%的學生，B層為成績中間60%的學生，C層為成績后20%的學生。問題設計求此次數(shù)學測試成績的平均分和標準差，并估計成績在[85,115]范圍內(nèi)的學生人數(shù)；若規(guī)定A層學生的最低分為a，B層學生的最低分為b，求a和b的值；從高二年級隨機抽取10名學生，記X為其中A層學生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；為了比較不同層次學生的學習效果，從A層和C層中各隨機抽取20名學生進行跟蹤調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：A層學生平均成績?yōu)?20分，方差為50；C層學生平均成績?yōu)?0分，方差為60。能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為成績與學生層次有關？解答要求（1）需使用正態(tài)分布、二項分布等知識進行求解；（2）在進行獨立性檢驗時，需寫出完整的檢驗過程；（3）計算結(jié)果保留兩位小數(shù)。六、導數(shù)與函數(shù)綜合題（25分）案例背景某工廠生產(chǎn)一種精密儀器的零件，其質(zhì)量指標y（單位：mm）與生產(chǎn)時間t（單位：小時）的關系滿足函數(shù)y=f(t)。已知該零件的質(zhì)量指標需控制在[5,15]范圍內(nèi)，否則視為不合格品。根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，函數(shù)f(t)的導函數(shù)f'(t)滿足f'(t)=t2-4t+3。問題設計若f(0)=10，求函數(shù)f(t)的解析式；求函數(shù)f(t)的單調(diào)區(qū)間和極值點；求生產(chǎn)時間t在[0,4]范圍內(nèi)，零件質(zhì)量指標y的取值范圍；若該工廠實行兩班制生產(chǎn)，每班工作8小時，且每班開始生產(chǎn)時零件質(zhì)量指標為10mm，求在一個生產(chǎn)周期（16小時）內(nèi)，零件質(zhì)量指標y的變化規(guī)律，并確定生產(chǎn)過程中出現(xiàn)不合格品的時間段；為提高產(chǎn)品合格率，工廠計劃通過調(diào)整生產(chǎn)工藝使質(zhì)量指標函數(shù)變?yōu)間(t)=f(t)+k(t)，其中k(t)為調(diào)整函數(shù)。若要求在[0,16]范圍內(nèi)，始終有5≤g(t)≤15，且g(0)=10，g(16)=10，試設計一個滿足條件的調(diào)整函數(shù)k(t)，并說明理由。解答要求（1）需寫出完整的導數(shù)計算過程和函數(shù)單調(diào)性分析過程；（2）在確定不合格品時間段時，需結(jié)合函數(shù)圖像進行說明；（3）調(diào)整函數(shù)k(t)需為初等函數(shù)，并驗證其滿足所有條件。七、解析幾何應用題（20分）案例背景某城市計劃修建一條連接A、B兩地的高速公路，其中A地坐標為(0,0)，B地坐標為(100,0)（單位：公里）。由于地形限制，高速公路需經(jīng)過C地，C地坐標為(40,30)。高速公路的設計方案為：從A地到C地為一段拋物線，從C地到B地為一段直線。問題設計若從A地到C地的拋物線以y軸為對稱軸，求該拋物線的標準方程；求從C地到B地的直線方程，并求出該直線的斜率和傾斜角；求高速公路總長度（即拋物線AC段與直線CB段的長度之和）；若在高速公路上設置一個服務區(qū)，要求服務區(qū)到A地和B地的距離相等，求服務區(qū)的坐標；為保障行車安全，規(guī)定高速公路的轉(zhuǎn)彎半徑不得小于50公里。已知曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的曲率半徑公式為R=(1+(f'(x0))2)^(3/2)/|f''(x0)|，其中f'(x0)和f''(x0)分別為函數(shù)f(x)在x0處的一階導數(shù)和二階導數(shù)。請判斷該高速公路設計方案是否滿足轉(zhuǎn)彎半徑要求。解答要求（1）需建立合適的平面直角坐標系，并寫出各點坐標；（2）在計算曲線長度時，需使用定積分進行求解；（3）曲率半徑計算結(jié)果保留一位小數(shù)。八、概率統(tǒng)計案例分析題（25分）案例背景某保險公司推出一款醫(yī)療保險產(chǎn)品，根據(jù)被保險人的年齡、性別和健康狀況確定保費等級。已知該產(chǎn)品的保費等級分為A、B、C、D四個等級，對應的年保費分別為500元、800元、1200元和1800元。為研究不同年齡段人群的保費等級分布情況，該公司隨機抽取了1000名被保險人進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：年齡段A級B級C級D級合計18-30歲12080401025031-45歲80150705035046-60歲50901209035061歲以上10305060150合計2603502802101000問題設計根據(jù)上述數(shù)據(jù)，判斷被保險人的年齡段與保費等級是否獨立，并說明理由（需進行獨立性檢驗）；從所有被保險人中隨機抽取1人，求其保費等級為C級或D級的概率；從31-45歲年齡段中隨機抽取2人，求其中至少有1人保費等級為B級的概率；若該公司計劃根據(jù)年齡段制定差異化的營銷策略，需計算各年齡段的平均保費。已知A級保費500元，B級800元，C級1200元，D級1800元，求各年齡段的平均保費，并比較不同年齡段平均保費的差異；為評估該保險產(chǎn)品的盈利能力，需計算期望賠付金額。已知不同保費等級的期望賠付金額如下：A級200元，B級400元，C級800元，D級1500元。若該公司共有10萬參保人，求該產(chǎn)品的年期望利潤（年期望利潤=總保費收入-總期望賠付金額）。解答要求（1）在進行獨立性檢驗時，需寫出檢驗假設、計算檢驗統(tǒng)計量，并進行顯著性水平為0.05的檢驗；（2）概率計算需寫出完整的計算過程，結(jié)果保留三位小數(shù)；（3）平均保費和期望利潤計算結(jié)果保留整數(shù)。九、數(shù)學建模綜合題（30分）案例背景某新能源汽車制造商計劃設計一款新型電動汽車，其續(xù)航里程與電池容量、車身重量和空氣阻力系數(shù)等因素有關。為優(yōu)化設計方案，需建立續(xù)航里程的數(shù)學模型。已知以下信息：電池容量C（單位：kWh）與續(xù)航里程L（單位：km）成正比例關系，比例系數(shù)為k1；車身重量m（單位：kg）與續(xù)航里程L成反比例關系，比例系數(shù)為k2；空氣阻力系數(shù)c與續(xù)航里程L的關系滿足L=k3e^(-0.1c)，其中k3為常數(shù)；電池成本C1（單位：元）與電池容量C的關系為C1=800C+2000；車身制造成本C2（單位：元）與車身重量m的關系為C2=2m+5000；空氣動力學設計成本C3（單位：元）與空氣阻力系數(shù)c的關系為C3=10000(1-c)，其中0<c<1。問題設計若當電池容量C=60kWh，車身重量m=1500kg，空氣阻力系數(shù)c=0.3時，續(xù)航里程L=600km，求比例系數(shù)k1、k2和k3的值；建立續(xù)航里程L關于電池容量C、車身重量m和空氣阻力系數(shù)c的多元函數(shù)模型；建立總制造成本C（C=C1+C2+C3）關于電池容量C、車身重量m和空氣阻力系數(shù)c的函數(shù)模型；若要求續(xù)航里程L不低于500km，且總制造成本C不超過10萬元，設計一組合理的電池容量C、車身重量m和空氣阻力系數(shù)c的取值，并說明理由；若電池容量C在[50,80]范圍內(nèi)，車身重量m在[1200,1800]范圍內(nèi)，空氣阻力系數(shù)c在[0.2,0.4]范圍內(nèi)，求續(xù)航里程L的最大值和最小值，并分析各因素對續(xù)航里程的敏感性。解答要求（1）需寫出完整的數(shù)學建模過程，包括變量定義、模型假設和模型推導；（2）在求解優(yōu)化問題時，可使用拉格朗日乘數(shù)法或數(shù)值方法，并說明求解思路；（3）模型分析需結(jié)合實際情況，給出合理的設計建議。十、附加題：數(shù)學文化與創(chuàng)新題（10分）案例背景斐波那契數(shù)列是數(shù)學史上著名的數(shù)列，其定義為：F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n≥3）。該數(shù)列在自然界、藝術(shù)和建筑等領域有著廣泛的應用。例如，向日葵種子的排列方式、鸚鵡螺貝殼的螺旋結(jié)構(gòu)等都與斐波那契數(shù)列有關。問題設計證明：斐波那契數(shù)列的通項公式為Fn=(φ?-ψ?)/√5，其中φ=(1+√5)/2，ψ=(1-√5)/2（黃金分割比）；求斐波那契數(shù)列前n項和Sn=F1+F2+...+Fn的表達式；舉例說明斐波那契數(shù)列在實際生活中的一個應用案例，并建立相應的數(shù)學模型。解答要求（1）證明過程需使用數(shù)學歸納法或特征方程法；（2）應用案例需具體說明，并建立明確的數(shù)學模型；（3）模型分析需結(jié)合斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進行說明。答題要求所有題目需寫出完整的解題步驟，包括模型建立、公式推導、計算過程和結(jié)果分析；數(shù)學建模題需體現(xiàn)建模思想，包括問題分析、模型假設、模型構(gòu)建和模型檢驗等環(huán)節(jié)；案例分析題需結(jié)合實際背景進行解答，體現(xiàn)數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系；計算結(jié)果需保留相應的小數(shù)位數(shù)，具體要求見各題目；答題過程中需使用規(guī)范的數(shù)學符號和表達方式，字跡清晰，排版整潔。評分標準函數(shù)應用案例分析題：共20分，第1問4分，第2問4分，第3問6分，第4問6分；三角函數(shù)應用題：共15分，第1問3分，第2問6分，第3問6分；數(shù)列與不等式綜合題：共20分，第1問4分，第2問4分，第3問6分，第4問6分；立體幾何案例分析題：共20分，第1問3分，第2問4分，第3問7分，第4問6分；概率與統(tǒng)計綜合題：共20分，第1問6分，第2問3分，第3問4分，第4問3分，第5問4分；導數(shù)與函