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2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽空間感知試卷一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)空間直線與平面位置關(guān)系在正方體ABCD-A?B?C?D?中,E為棱CC?的中點(diǎn),則直線A?E與平面B?D?DB所成角的正弦值為()A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{6})C.(\frac{\sqrt{2}}{4})D.(\frac{\sqrt{3}}{6})空間向量運(yùn)算已知空間向量(\vec{a}=(1,2,-3)),(\vec=(m,1,2)),且(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec)),則實(shí)數(shù)m的值為()A.-5B.5C.-3D.3多面體體積計(jì)算將棱長(zhǎng)為2的正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,得到一個(gè)新的多面體,則該多面體的體積為()A.(\frac{23}{6})B.(\frac{11}{3})C.(\frac{22}{3})D.(\frac{47}{12})球與幾何體的切接問題已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,PA=PB=PC=2,且PA、PB、PC兩兩垂直,則球O的表面積為()A.12πB.16πC.20πD.24π空間距離計(jì)算在直三棱柱ABC-A?B?C?中,AB=AC=AA?=4,∠BAC=90°,則點(diǎn)B?到平面A?BC的距離為()A.(\frac{4\sqrt{3}}{3})B.(\frac{8\sqrt{3}}{3})C.(\frac{4\sqrt{2}}{3})D.(\frac{8\sqrt{2}}{3})空間角的動(dòng)態(tài)變化在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,SA⊥平面ABCD,SA=AB=2,點(diǎn)E在棱SC上運(yùn)動(dòng),則異面直線BE與AD所成角的取值范圍是()A.([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}])B.([\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}])C.([\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}])D.([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}])空間幾何中的軌跡問題在正方體ABCD-A?B?C?D?中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC?B?內(nèi)運(yùn)動(dòng),且滿足AP⊥BD?,則點(diǎn)P的軌跡是()A.線段B.橢圓C.拋物線D.雙曲線空間幾何綜合應(yīng)用已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為(\sqrt{2}),點(diǎn)M、N分別為AB、CD的中點(diǎn),則線段MN的長(zhǎng)度為()A.(\frac{\sqrt{2}}{2})B.1C.(\sqrt{2})D.2二、填空題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)空間向量的模長(zhǎng)計(jì)算已知空間向量(\vec{a}=(2,-1,1)),(\vec=(1,1,-2)),則(|\vec{a}+2\vec|=)__________。二面角的平面角在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB=BC=CA=2,PA=3,則二面角P-BC-A的正切值為__________??臻g幾何體的表面積若圓錐的軸截面是面積為(4\sqrt{3})的正三角形,則該圓錐的側(cè)面積為__________??臻g點(diǎn)的軌跡方程在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y,z)滿足(x2+y2+z2=4)且(z=1),則點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為__________??臻g幾何中的存在性問題在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A?B?C?D?中,點(diǎn)Q在棱DD?上,若存在點(diǎn)P在平面A?BC?上,使得PQ=2,則DQ的取值范圍是__________。空間幾何與不等式綜合已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a、b、c,且a+b+c=6,則該三棱錐體積的最大值為__________。三、解答題(本大題共4小題,共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(本小題滿分16分)如圖,在直三棱柱ABC-A?B?C?中,∠ACB=90°,AC=BC=AA?=2,D為棱A?B?的中點(diǎn)。(1)求證:BC?⊥平面A?CD;(2)求直線A?C與平面ADC?所成角的正弦值。(本小題滿分18分)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,AB=2,AD=4,∠BAD=60°,PA=3。(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PAD?若存在,求出(\frac{PE}{EC})的值;若不存在,說明理由。(本小題滿分20分)已知球O的半徑為R,其內(nèi)接正四棱錐S-ABCD的高為h(h>R),底面ABCD的邊長(zhǎng)為a。(1)證明:(a2=4(h-R)(2R-h));(2)當(dāng)R=3時(shí),求正四棱錐S-ABCD體積的最大值。(本小題滿分20分)如圖,在三棱柱ABC-A?B?C?中,側(cè)面AA?C?C為矩形,AB=AC=2,∠BAC=120°,AA?=3,點(diǎn)D在棱A?C?上,且A?D=2DC?。(1)求證:BC?⊥AD;(2)若平面ABD與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為(\frac{\sqrt{5}}{5}),求三棱錐B?-ABD的體積。四、附加題(本大題共2小題,每小題15分,共30分。不計(jì)入總分,供學(xué)有余力的學(xué)生選做)空間幾何與函數(shù)綜合在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中,點(diǎn)P在棱AB上,點(diǎn)Q在棱CC?上,且AP=CQ=t(0≤t≤1)。(1)設(shè)PQ的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)求三棱錐M-A?DD?體積的最大值??臻g幾何中的動(dòng)態(tài)問題已知正三棱柱ABC-A?B?C?的所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)E、F分別在棱BB?、CC?上運(yùn)動(dòng)
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