2025年下學期高中數(shù)學競賽函數(shù)方程試卷一、選擇題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）已知函數(shù)$f(x)$的定義域為$\mathbb{R}$，且對任意實數(shù)$x,y$滿足$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cosy$，則$f(x)$的解析式可能為（）A.$f(x)=\sinx$B.$f(x)=x^2$C.$f(x)=e^x$D.$f(x)=\ln|x|$設函數(shù)$f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$滿足$f(f(n))=4n-3$，則$f(1025)$的值為（）A.2047B.2048C.2049D.2050若定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+2)=f(x)+1$，則$f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(2025)$的值為（）A.507B.1013C.2026D.4052已知函數(shù)$f(x)$對任意正實數(shù)$x,y$均有$f(xy)=f(x)+f(y)$，且當$x>1$時$f(x)<0$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$為偶函數(shù)C.$f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$D.$f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$二、填空題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）設函數(shù)$f(x)$滿足$f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x$，則$f(2)=$__________.已知函數(shù)$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的周期函數(shù)，最小正周期為$T$，且$f(x+1)+f(x-1)=f(x)$對任意$x\in\mathbb{R}$成立，則$T$的最小值為__________.若函數(shù)$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$滿足$f(x+y)=f(x)f(y)$，且$f(1)=2$，則$f(2025)$的末位數(shù)字是__________.設函數(shù)$f(x)$的定義域為$(0,+\infty)$，且對任意$x,y>0$有$f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$，若$f(2)=1$，則不等式$f(x+3)-f\left(\frac{1}{x}\right)<2$的解集為__________.三、解答題（本大題共3小題，第9題20分，第10、11題各25分，共70分）已知函數(shù)$f(x)$對任意實數(shù)$x,y$均有$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$，且$f(1)=1$，求$f(x)$的解析式.設函數(shù)$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$滿足：（1）對任意$x,y\in\mathbb{R}$，有$f(x+y)=f(x)+f(y)$；（2）當$x\in[0,1)$時，$f(x)=x(1-x)$.（Ⅰ）證明：$f(x)$是周期函數(shù)；（Ⅱ）求$f(2025.2)$的值.已知函數(shù)$f(x)$的定義域為$\mathbb{R}$，且滿足：（1）對任意$x\in\mathbb{R}$，有$f(x+2)=f(x)$；（2）對任意$x\in[0,2)$，有$f(x)=x^2-2x$；（3）對任意$x,y\in\mathbb{R}$，有$f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy$，其中$k$為常數(shù).（Ⅰ）求常數(shù)$k$的值；（Ⅱ）若方程$f(x)=ax$在區(qū)間$[0,4]$上有且僅有4個實根，求實數(shù)$a$的取值范圍.四、附加題（本大題共1小題，30分）設函數(shù)$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$滿足：（1）對任意$m,n\in\mathbb{Z}$，有$f(m+n)\leqf(m)+f(n)+1$；（2）對任意$m,n\in\mathbb{Z}$，有$f(mn)\leqf(m)f(n)+2$.若$f(2)=3$，求$f(2025)$的所有可能值.參考答案及評分標準（部分）一、選擇題A提示：令$x=0$得$f(y)+f(-y)=2f(0)\cosy$，令$y=\frac{\pi}{2}$得$f(x+\frac{\pi}{2})+f(x-\frac{\pi}{2})=0$，結(jié)合選項驗證知$f(x)=\sinx$滿足條件.C提示：設$f(n)=an+b$，代入遞推式解得$a=2,b=-1$，則$f(n)=2n-1$，故$f(1025)=2049$.B提示：由奇函數(shù)性質(zhì)得$f(0)=0$，令$x=1$得$f(3)=f(1)+1$，$f(5)=f(3)+1=f(1)+2$，...，構(gòu)成等差數(shù)列，共1013項，首項$f(1)=\frac{1}{2}$，公差1，求和得1013.C提示：令$x=y=1$得$f(1)=0$，令$y=\frac{1}{x}$得$f(1)=f(x)+f(\frac{1}{x})$，即$f(\frac{1}{x})=-f(x)$.二、填空題$-1$提示：聯(lián)立方程$\begin{cases}f(2)+2f(\frac{1}{2})=6\f(\frac{1}{2})+2f(2)=\frac{3}{2}\end{cases}$，解得$f(2)=-1$.6提示：由$f(x+3)=-f(x)$得$f(x+6)=f(x)$.8提示：$f(x)$為指數(shù)函數(shù)$f(x)=2^x$，周期為4，$2025\div4=506\cdots1$，末位數(shù)字為$2^1=2$（注：原答案有誤，正確末位數(shù)字應為2）.$(0,1)$提示：$f(x)$為對數(shù)型函數(shù)$f(x)=\log_2x$，不等式轉(zhuǎn)化為$\log_2(x(x+3))<2$，解得$0<x<1$.三、解答題（9題）解：令$x=y=0$得$f(0)=0$，令$y=1$得$f(x+1)-f(x)=2x+1$，則$f(x)=\sum_{k=0}^{x-1}(2k+1)=x^2$（數(shù)學歸納法證明）.（注：嚴格需分整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)域討論，本題默認多項式函數(shù)）（以下各題解答及評分標準略）命題說明試卷結(jié)構(gòu)參考全國高中數(shù)學聯(lián)賽二試格式，側(cè)重函數(shù)方程的四大核心題型：柯西方程與函數(shù)性質(zhì)（第1、10題）迭代與周期函數(shù)（第2、3、11題）抽象函數(shù)與不等式（第4、12題）分段函數(shù)與方程（第11題）難度梯度設計：基礎題（50%）：選擇題1-3、填空題5-6提高題（30%）：選擇題4、填空題7-8、解答題9-10創(chuàng)新題（20%）：解