2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽賦值法試卷一、選擇題（每題5分，共30分）1.已知函數(shù)$f(x)$對任意實數(shù)$a,b$均滿足$f(a+b)=f(a)+f(b)-1$，且$f(2)=5$，則$f(5)=$（）A.11B.12C.13D.142.在$\triangleABC$中，若$\sinA+\sinB+\sinC=\cosA+\cosB+\cosC$，則$\triangleABC$一定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形3.設(shè)$a,b,c\in\mathbb{R}^+$，且$a+b+c=1$，則$\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)$的最小值為（）A.$\frac{1000}{27}$B.1000C.$\frac{256}{81}$D.2564.已知正整數(shù)$n\geq2$，且$(1+x)^n$的展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和為512，則$n=$（）A.8B.9C.10D.115.若對任意$x\in\mathbb{R}$，均有$f(x+2)=-f(x)$，且$f(1)=2$，則$f(2025)=$（）A.-2B.0C.2D.46.設(shè)集合$S={1,2,3,\cdots,10}$，$A$是$S$的子集，且$A$中任意兩個元素之和不是11的倍數(shù)，則$|A|$的最大值為（）A.4B.5C.6D.7二、填空題（每題5分，共30分）7.已知函數(shù)$f(x)$滿足$f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x$，則$f(2)=$__________．8.在四面體$ABCD$中，$AB=CD=2$，$AC=BD=3$，$AD=BC=4$，則四面體的體積為__________．9.設(shè)$a,b,c\in\mathbb{R}$，且$a+2b+3c=6$，則$a^2+2b^2+3c^2$的最小值為__________．10.已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_{10}=$__________．11.若不等式$x^2+ax+1\geq0$對一切$x\in\left(0,\frac{1}{2}\right]$恒成立，則實數(shù)$a$的取值范圍是__________．12.設(shè)$x,y,z\in\mathbb{R}^+$，且$x+y+z=1$，則$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$的最小值為__________．三、解答題（共4題，共90分）13.（20分）已知函數(shù)$f(x)$對任意$x,y\in\mathbb{R}$均有$f(x+y)=f(x)f(y)$，且$f(1)=2$．（1）求$f(0)$的值；（2）求證：$f(x)$是單調(diào)遞增函數(shù)；（3）若不等式$f(kx)+f(-x^2+x-2)>1$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求實數(shù)$k$的取值范圍．解析思路：（1）令$x=0,y=0$，得$f(0)=f(0)^2$，解得$f(0)=0$或$f(0)=1$．若$f(0)=0$，則$f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$，與$f(1)=2$矛盾，故$f(0)=1$．（2）由$f(x+y)=f(x)f(y)$可推測$f(x)=2^x$（指數(shù)函數(shù)模型），需證明其單調(diào)性：任取$x_1<x_2$，則$x_2-x_1>0$，$f(x_2)=f(x_1+(x_2-x_1))=f(x_1)f(x_2-x_1)$．因$f(x_2-x_1)=2^{x_2-x_1}>1$，故$f(x_2)>f(x_1)$，即$f(x)$單調(diào)遞增．（3）原不等式等價于$f(kx-x^2+x-2)>f(0)$（由$f(0)=1$），結(jié)合單調(diào)性得$kx-x^2+x-2>0$，即$x^2-(k+1)x+2<0$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立．需滿足判別式$\Delta=(k+1)^2-8<0$，解得$-2\sqrt{2}-1<k<2\sqrt{2}-1$．14.（20分）在數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，且對任意$n\in\mathbb{N}^*$，有$a_{n+1}=3a_n+2^n$．（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$S_n$．解析思路：（1）使用賦值法構(gòu)造等比數(shù)列：設(shè)$a_{n+1}+\lambda\cdot2^{n+1}=3(a_n+\lambda\cdot2^n)$，對比原式得$\lambda=1$，故${a_n+2^n}$是以$a_1+2^1=3$為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而$a_n+2^n=3^n$，即$a_n=3^n-2^n$．（2）$b_n=\frac{3^n-2^n}{2^n}=\left(\frac{3}{2}\right)^n-1$，則$S_n=\sum_{k=1}^n\left[\left(\frac{3}{2}\right)^k-1\right]=\frac{\frac{3}{2}\left[1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right]}{1-\frac{3}{2}}-n=3\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]-n=2\cdot3^{n+1}/2^n-n-3$．15.（25分）已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$的圖像與$x$軸交于$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$兩點，與$y$軸交于點$C(0,2)$，且$|AB|=2\sqrt{2}$．（1）求$a,b,c$滿足的關(guān)系式；（2）若不等式$f(x)\geq2x+2$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求$f(x)$的解析式；（3）在（2）的條件下，若函數(shù)$g(x)=f(x)-kx$在$[-1,2]$上的最小值為$-4$，求$k$的值．解析思路：（1）由$f(0)=2$得$c=2$．$|AB|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=2\sqrt{2}$，且$\Delta=b^2-8a$，故$\sqrt{b^2-8a}=2\sqrt{2}a$，平方得$b^2=8a(2a+1)$．（2）不等式$ax^2+(b-2)x\geq0$恒成立，需$a>0$且$\Delta=(b-2)^2\leq0$，故$b=2$．代入（1）中關(guān)系式得$4=8a(2a+1)$，解得$a=\frac{1}{2}$（$a=-1$舍），故$f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+2$．（3）$g(x)=\frac{1}{2}x^2+(2-k)x+2$，對稱軸為$x=k-2$．分三種情況討論：當(dāng)$k-2\leq-1$（$k\leq1$）時，$g(x)_{\min}=g(-1)=\frac{1}{2}-(2-k)+2=k+\frac{1}{2}=-4$，解得$k=-\frac{9}{2}$（滿足$k\leq1$）；當(dāng)$-1<k-2<2$（$1<k<4$）時，$g(x)_{\min}=g(k-2)=2-\frac{(k-2)^2}{2}=-4$，解得$k=2\pm2\sqrt{3}$（均不滿足$1<k<4$，舍）；當(dāng)$k-2\geq2$（$k\geq4$）時，$g(x)_{\min}=g(2)=2+2(2-k)+2=8-2k=-4$，解得$k=6$（滿足$k\geq4$）．綜上，$k=-\frac{9}{2}$或$6$．16.（25分）設(shè)$n$為正整數(shù)，$a_1,a_2,\cdots,a_n$為非負(fù)實數(shù)，且$\sum_{i=1}^na_i=1$．求證：$\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{2-a_i}\geq\frac{n}{2n-1}$．證明：賦值法構(gòu)造函數(shù)：設(shè)$f(x)=\frac{x}{2-x}$，$x\in[0,1]$．求導(dǎo)得$f''(x)=\frac{4}{(2-x)^3}>0$，故$f(x)$為凸函數(shù)．由琴生不等式：$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(a_i)\geqf\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i\right)=f\left(\frac{1}{n}\right)$$即$\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{2-a_i}\geqn\cdot\frac{\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1}{2-\frac{1}{n}}=\frac{n}{2n-1}$．等號成立條件：當(dāng)$a_1=a_2=\cdots=a_n=\frac{1}{n}$時，不等式取等號．特殊值驗證：令$n=1$，則左邊$=\frac{1}{2-1}=1$，右邊$=\frac{1}{2-1}=1$，成立；令$n=2$，$a_1=a_2=\frac{1}{2}$，左邊$=2\cdot\frac{\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$，右邊$=\frac{2}{3}$，成立．四、附加題（共20分）17.設(shè)$x,y,z\in\mathbb{R}$，且$x+y+z=0$，$x^2+y^2+z^2=1$，求$xy+yz+zx$的最小值．解析：由$x+y+z=0$得$z=-(x+y)$，代入$x^2+y^2+z^2=1$得$x^2+y^2+(x+y)^2=1$，