2025年下學期高中數(shù)學反思調控能力訓練試卷一、選擇題（每題5分，共60分）1.函數(shù)概念與性質的深度理解題目：已知函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(x^2-ax+3)}{x-1}$的定義域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$B.$(-2\sqrt{3},2\sqrt{3})$C.$(-\infty,-2\sqrt{3})\cup(2\sqrt{3},+\infty)$D.$(-2\sqrt{3},1)\cup(1,2\sqrt{3})$思維過程分析：定義域條件轉化：分母$x-1\neq0\Rightarrowx\neq1$，分子$\ln(x^2-ax+3)$的真數(shù)需滿足$x^2-ax+3>0$對$x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$恒成立。二次函數(shù)根的分布：令$g(x)=x^2-ax+3$，需滿足$g(x)=0$的根為$x=1$（否則定義域會出現(xiàn)其他限制），代入$x=1$得$1-a+3=0\Rightarrowa=4$，但此時$g(x)=(x-1)(x-3)$，當$x=3$時$g(x)=0$，定義域會排除$x=3$，與題干矛盾。因此$g(x)$無實根，即$\Delta=a^2-12<0\Rightarrow-2\sqrt{3}<a<2\sqrt{3}$。易錯點反思：若忽略“定義域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$”隱含“$x=1$是唯一限制”，易誤選D；若未考慮二次函數(shù)恒正條件，易誤選A。2.立體幾何中的空間想象與轉化題目：在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$在側面$BCC_1B_1$內（含邊界）運動，且滿足$AP\perpBD_1$，則線段$AP$長度的取值范圍是（）A.$[\sqrt{5},3]$B.$[2,\sqrt{6}]$C.$[\sqrt{5},\sqrt{6}]$D.$[2,3]$一題多解訓練：方法1：坐標法建立空間直角坐標系，設$P(2,y,z)(0\leqy\leq2,0\leqz\leq2)$，$\overrightarrow{AP}=(2,y,z)$，$\overrightarrow{BD_1}=(-2,2,2)$。由$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BD_1}=-4+2y+2z=0\Rightarrowy+z=2$，則$P$軌跡為線段$y+z=2(0\leqy\leq2,0\leqz\leq2)$。$AP=\sqrt{4+y^2+z^2}=\sqrt{4+y^2+(2-y)^2}=\sqrt{2y^2-4y+8}$，當$y=1$時取最小值$\sqrt{6}$，當$y=0$或$2$時取最大值$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（此處修正題干選項，正確范圍應為$[\sqrt{6},2\sqrt{2}]$，原題選項可能存在疏漏）。方法2：幾何法連接$AC,AB_1,AD_1$，易證$BD_1\perp$平面$AB_1C$，則$P$必在平面$AB_1C$與側面$BCC_1B_1$的交線上，即線段$B_1C$。$AP$的最小值為$A$到$B_1C$的距離，最大值為$AB_1$或$AC$，計算得$AB_1=2\sqrt{2}$，距離$d=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx1.63$（與坐標法結果矛盾，反思發(fā)現(xiàn)幾何法中平面$AB_1C$與側面$BCC_1B_1$的交線應為線段$B_1C$，但$AP\perpBD_1$僅需$P$在平面$AB_1C$內，故坐標法更準確）。3.概率統(tǒng)計中的實際應用題目：某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布$N(50,4)$，質檢部門隨機抽取100個零件，記尺寸在$[48,54]$內的零件數(shù)為$X$，則$X$的數(shù)學期望為（）（附：若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，則$P(\mu-\sigma\leqX\leq\mu+\sigma)=0.6827$，$P(\mu-2\sigma\leqX\leq\mu+2\sigma)=0.9545$）A.81.86B.95.45C.99.73D.68.27思維過程分析：正態(tài)分布參數(shù)：$\mu=50$，$\sigma=2$，則$[48,54]=[\mu-\sigma,\mu+2\sigma]$。概率計算：$P(48\leqX\leq54)=P(\mu-\sigma\leqX\leq\mu+\sigma)+P(\mu+\sigma\leqX\leq\mu+2\sigma)=0.6827+\frac{0.9545-0.6827}{2}=0.8186$。二項分布期望：$X\simB(100,0.8186)$，故$E(X)=100\times0.8186=81.86$，選A。二、填空題（每題5分，共20分）4.函數(shù)與導數(shù)的綜合應用題目：已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2$有兩個極值點，則實數(shù)$a$的取值范圍是________。反思要點：$f'(x)=\lnx+1-2ax=0$有兩個不等實根，即$2a=\frac{\lnx+1}{x}$有兩個解。令$g(x)=\frac{\lnx+1}{x}$，$g'(x)=\frac{-\lnx}{x^2}$，則$g(x)$在$(0,1)$遞增，$(1,+\infty)$遞減，最大值$g(1)=1$。當$x\to0^+$時$g(x)\to-\infty$，$x\to+\infty$時$g(x)\to0$，故$0<2a<1\Rightarrow0<a<\frac{1}{2}$。5.解析幾何中的動態(tài)問題題目：已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的右焦點為$F$，過$F$的直線$l$與橢圓交于$A,B$兩點，若$|AF|=2|FB|$，則直線$l$的斜率為________。一題多解訓練：方法1：參數(shù)方程法設直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1+t\cos\theta\y=t\sin\theta\end{cases}$（$t$為參數(shù)），代入橢圓方程得$(3\cos^2\theta+4\sin^2\theta)t^2+6t\cos\theta-9=0$。設$t_1=-2t_2$（由$|AF|=2|FB|$及參數(shù)幾何意義），則$t_1+t_2=-t_2=-\frac{6\cos\theta}{3\cos^2\theta+4\sin^2\theta}$，$t_1t_2=-2t_2^2=-\frac{9}{3\cos^2\theta+4\sin^2\theta}$，聯(lián)立消去$t_2$得$\cos^2\theta=\frac{4}{19}$，$\tan\theta=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}$。方法2：向量法設$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$得$(1-x_1,-y_1)=2(x_2-1,y_2)\Rightarrowx_1=3-2x_2$，$y_1=-2y_2$。代入橢圓方程$\begin{cases}\frac{(3-2x_2)^2}{4}+\frac{4y_2^2}{3}=1\\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\end{cases}$，解得$x_2=\frac{7}{4}$，$y_2=\pm\frac{3\sqrt{15}}{8}$，斜率$k=\frac{y_2}{x_2-1}=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}$。三、解答題（共70分）6.函數(shù)單調性與不等式證明（12分）題目：已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1(a\in\mathbb{R})$。（1）討論$f(x)$的單調性；（2）若$f(x)\geq0$對$\forallx\in\mathbb{R}$恒成立，證明：對$\foralln\in\mathbb{N}^*$，$\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)<e$。思維過程分析：（1）$f'(x)=e^x-a$，當$a\leq0$時$f'(x)>0$，$f(x)$在$\mathbb{R}$上遞增；當$a>0$時，$f(x)$在$(-\infty,\lna)$遞減，$(\lna,+\infty)$遞增。（2）由（1）知$f(x){\min}=f(\lna)=a-a\lna-1\geq0$，令$g(a)=a-a\lna-1$，解得$a=1$時$g(a){\max}=0$，故$a=1$，即$e^x\geqx+1$。取$x=\ln\left(1+\frac{1}{2^k}\right)$，則$1+\frac{1}{2^k}\leqe^{\frac{1}{2^k}}$，累乘得$\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{2^k}\right)\leqe^{\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}}=e^{1-\frac{1}{2^n}}<e$。7.立體幾何中的體積與探索性問題（15分）題目：如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為菱形，$\angleBAD=60^\circ$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AB=2$，$E$為$PC$的中點。（1）求三棱錐$E-PBD$的體積；（2）在線段$PB$上是否存在點$F$，使得$AF\parallel$平面$BDE$？若存在，求出$\frac{PF}{PB}$的值；若不存在，說明理由。反思調控訓練：（1）體積轉化：$V_{E-PBD}=V_{P-BDE}$，但直接計算困難，轉而$V_{E-PBD}=V_{C-PBD}-V_{E-PBD}$（錯誤，應為$V_{E-PBD}=\frac{1}{2}V_{P-BCD}$，因$E$為$PC$中點）。$S_{\triangleBCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}$，$V_{P-BCD}=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故$V_{E-PBD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。（2）存在性探索：連接$AC$交$BD$于$O$，連接$OE$，則$OE\parallelPA$。取$PB$中點$F$，連接$AF$，則$AF\parallelOE$，故$AF\parallel$平面$BDE$，此時$\frac{PF}{PB}=\frac{1}{2}$。若忽略$E$為中點的條件，易誤設$F$為$PB$三等分點，導致計算復雜。8.概率統(tǒng)計與決策分析（15分）題目：某超市計劃推出兩種促銷方案：方案A為“滿100減20”，方案B為“打8.5折”。為比較效果，隨機抽取100名顧客，記錄其購物金額（單位：元），整理得頻率分布直方圖如下：（注：假設顧客購物金額均為整數(shù)，且不低于50元，不高于200元）（1）估計顧客購物金額的中位數(shù)；（2）以頻率為概率，分別計算兩種方案下超市的平均收入（精確到0.01），并據(jù)此推薦最優(yōu)方案。數(shù)據(jù)處理反思：（1）設中位數(shù)為$x$，由直方圖知$[50,100)$頻率為0.3，$[100,150)$頻率為0.5，故$x=100+\frac{0.5-0.3}{0.01}=120$元。（2）方案A：購物金額$[50,100)$收入$x$，$[100,150)$收入$x-20$，$[150,200]$收入$x-40$，平均收入$E_A=75\times0.3+125\times0.5-20\times0.5+175\times0.2-40\times0.2=75\times0.3+115\times0.5+167\times0.2=108.4$元；方案B：收入$0.85x$，$E_B=0.85\times(75\times0.3+125\times0.5+175\times0.2)=0.85\times120=102$元，故推薦方案A。9.解析幾何綜合題（16分）題目：已知拋物線$C:y^2=4x$的焦點為$F$，過$F$的直線$l$與$C$交于$A,B$兩點，$M$為$AB$的中點，$O$為坐標原點。（1）若$l$的斜率為1，求$\triangleAOB$的面積；（2）若以$AB$為直徑的圓過點$P(1,2)$，求直線$l$的方程。易錯點反思：（1）設$l:y=x-1$，聯(lián)立$y^2=4x$得$y^2-4y-4=0$，$|y_1-y_2|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$，$S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y_1-y_2|=\frac{1}{2}\times1\times4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$（若用$x$坐標計算面積，易忽略絕對值）。（2）設$l:x=my+1$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，則$y_1y_2=-4$，$x_1x_2=1$。由$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$得$(x_1-1)(x_2-1)+(y_1-2)(y_2-2)=0$，代入得$y_1y_2-2(y_1+y_2)+4=0\Rightarrow-4-2\times4m+4=0\Rightarrowm=0$，故$l:x=1$（若設斜率為$k$，需討論$k$不存在的情況，此處參數(shù)方程更簡潔）。10.數(shù)列與不等式綜合（15分）題目：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{a_n}(n\in\mathbb{N}^*)$。（1）證明：$a_n\geq2^{n}-1$；（2）設$b_n=\frac{1}{a_n}$，證明：$b_1+b_2+\cdots+b_n<2$。反思與拓展：（1）數(shù)學歸納法：當$n=1$時$a_1=1\geq1$成立；假設$a_k\geq2^k-1$，則$a_{k+1}=2a_k+\frac{1}{a_k}\geq2(2^k-1)+\frac{1}{2^k-1}$，因$2^k-1\geq1$，故$\frac{1}{2^k-1}\geq1$，則$a_{k+1}\geq2^{k+1}-2+1=2^{k+1}-1$。（2）放縮法：由$a_{n+1}