2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽溝通表達(dá)試卷一、解答題（共6題，每題25分，共150分）1.邏輯推理與符號表達(dá)設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域為$\mathbb{R}$，$g(x)=(x-1)f(x)$為奇函數(shù)，$h(x)=f(x)+x$為偶函數(shù)，求$f(x)$的解析式并說明推理過程中每一步的依據(jù)。要求：用數(shù)學(xué)符號清晰表述已知條件；推導(dǎo)過程需標(biāo)注關(guān)鍵步驟的邏輯依據(jù)（如“奇函數(shù)定義”“偶函數(shù)性質(zhì)”等）；最終結(jié)果需用分段函數(shù)形式呈現(xiàn)，并驗證其滿足題設(shè)條件。2.幾何證明與圖形描述在正四面體$ABCD$中，棱長均為2，$P$、$Q$分別為棱$AB$、$AC$上的動點，滿足$AP+AQ=2$，$M$為棱$AD$的中點。在$\triangleMPQ$中，$MH$為$PQ$邊上的高，求$MH$長度的最小值。要求：畫出立體圖形并標(biāo)注所有已知條件；用文字描述輔助線作法及坐標(biāo)系建立過程；證明過程需明確寫出“因為…所以…”的邏輯鏈，關(guān)鍵幾何關(guān)系需用公式表達(dá)（如余弦定理、勾股定理等）。3.數(shù)論問題的語言轉(zhuǎn)化設(shè)正整數(shù)$k$滿足$\frac{\sin20^\circ+i\cos25^\circ}{\sin25^\circ+i\cos20^\circ}=k$（$i$為虛數(shù)單位），求$k$的最小值。要求：將復(fù)數(shù)等式轉(zhuǎn)化為三角恒等式問題；用自然語言解釋“分子分母實部虛部對應(yīng)成比例”的含義；推導(dǎo)過程中需說明如何運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及復(fù)數(shù)相等條件。4.組合問題的策略闡述將1,2,3,…,9排列為$a,b,c,d,e,f,g,h,i$，使得三位數(shù)$\overline{abc}+\overline{def}+\overline{ghi}=2025$，求不同的排列方法數(shù)。要求：用表格列出所有可能的百位數(shù)字組合及其和；說明“進(jìn)位規(guī)則”對個位、十位、百位數(shù)字選擇的限制；用分類討論的語言清晰表述解題思路，對重復(fù)計數(shù)問題需特別說明排除方法。5.不等式證明的步驟規(guī)范設(shè)$a,b,c>0$且$a+b+c=3$，記$S=a+ab+abc+bc+c$，證明$S\leq5$，并求當(dāng)$S=3$時$b$的取值范圍。要求：用“作差法”或“基本不等式”構(gòu)建證明框架；對不等式取等條件需單獨說明；求解$b$的范圍時，需明確寫出“等價轉(zhuǎn)化”的過程（如因式分解、變量代換等）。6.實際問題的數(shù)學(xué)建模在平面直角坐標(biāo)系中，從$(0,0)$走到$(10,10)$，每次只能向右或向上走一步，且不能經(jīng)過點$(3,3)$和$(6,7)$，求合法路徑的數(shù)量。要求：用集合符號表示“禁行點”和“路徑”的定義；用容斥原理的語言描述“總路徑數(shù)減去含禁行點的路徑數(shù)”的思路；結(jié)合動態(tài)規(guī)劃方法，用遞推公式表達(dá)各點的路徑數(shù)量關(guān)系，并解釋公式中每一項的實際意義。二、溝通表達(dá)題（共2題，每題50分，共100分）7.解題思路的可視化呈現(xiàn)以第2題（正四面體高的最小值）為例，設(shè)計一份面向高一學(xué)生的講解方案，包含：思維導(dǎo)圖：梳理“立體幾何→空間向量→函數(shù)最值”的轉(zhuǎn)化路徑；關(guān)鍵步驟提示：用不同顏色標(biāo)注“坐標(biāo)系建立”“參數(shù)方程設(shè)元”“導(dǎo)數(shù)求極值”等核心環(huán)節(jié)；常見錯誤分析：用“錯誤解法示例+原因批注”的形式說明易混淆的幾何關(guān)系（如“將PQ長度誤判為定值”）。8.評分標(biāo)準(zhǔn)的解讀與應(yīng)用根據(jù)2025年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽評分細(xì)則，對以下解答片段進(jìn)行評分并撰寫評語（滿分20分）：題目：證明三角形旁心到三邊距離相等。解答片段：“因為旁心是外角平分線交點，所以到兩邊距離相等，所以三個距離都相等?！币螅喊础胺椒ǚ郑?0分）+過程分（6分）+結(jié)論分（4分）”拆解得分；指出解答中“外角平分線性質(zhì)表述不完整”“邏輯跳躍”等問題；重寫一個符合評分標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)范解答，需包含“定義→性質(zhì)→推導(dǎo)→結(jié)論”四要素。三、開放探究題（共1題，100分）9.競賽命題的批判性分析對比2025年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第8題（排列求和問題）與2024年同類題目，完成以下任務(wù)：難度評估：從“知識點覆蓋”“計算復(fù)雜度”“思維創(chuàng)新性”三個維度制作5分制評分表；命題改進(jìn)：提出一個新的變式問題，要求保留“數(shù)字排列”核心，但增加“多條件限制”（如“三個數(shù)均為3的倍數(shù)”）；教學(xué)建議：給競賽教練撰寫一段200字的教學(xué)提示，說明如何引導(dǎo)學(xué)生從“解題者”轉(zhuǎn)變?yōu)椤懊}分析者”。注意事項：所有解答需使用黑