2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北京版試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3))D.((1,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的模為（）A.(\frac{\sqrt{5}}{2})B.(\sqrt{5})C.(\frac{5}{2})D.(5)雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)為得到函數(shù)(y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))的圖象，只需將函數(shù)(y=\sin2x)的圖象（）A.向左平移(\frac{\pi}{6})個(gè)單位B.向右平移(\frac{\pi}{6})個(gè)單位C.向左平移(\frac{\pi}{3})個(gè)單位D.向右平移(\frac{\pi}{3})個(gè)單位已知等差數(shù)列({a_n})的公差(d\neq0)，且(a_1,a_3,a_9)成等比數(shù)列，則(\frac{a_1+a_3+a_5}{a_2+a_4+a_6}=)（）A.(\frac{13}{16})B.(\frac{3}{4})C.(\frac{11}{16})D.(\frac{1}{2})已知(a>0,b>0)，且(a+b=1)，則下列不等式中恒成立的是（）A.(a^2+b^2\geq\frac{1}{2})B.(\frac{1}{ab}\leq4)C.(\sqrt{a}+\sqrt\geq\sqrt{2})D.(\frac{1}{a}+\frac{1}\leq4)函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-4x+5))的定義域?yàn)?D)，值域?yàn)?M)，則“(x\inD)”是“(y\inM)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件函數(shù)(f(x)=\cos\left(\omegax+\frac{\pi}{6}\right))（(\omega>0)）在區(qū)間([0,\pi])上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則(\omega)的取值范圍是（）A.(\left[\frac{4}{3},\frac{10}{3}\right))B.(\left[\frac{4}{3},\frac{10}{3}\right])C.(\left(\frac{4}{3},\frac{10}{3}\right))D.(\left(\frac{4}{3},\frac{10}{3}\right])某人工智能模型的訓(xùn)練時(shí)間(t)（單位：小時(shí)）與數(shù)據(jù)量(N)（單位：萬(wàn)條）滿足關(guān)系(t=k\log_2(N+1))（(k)為常數(shù)）。已知當(dāng)(N=15)時(shí)，(t=8)，則當(dāng)(N=63)時(shí)，(t=)（）A.10B.12C.14D.16在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,0))，(B(3,0))，點(diǎn)(P)滿足(|PA|=2|PB|)，則(|OP|)（(O)為原點(diǎn)）的最小值為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{5}{3})C.2D.(\frac{7}{3})二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）拋物線(y^2=2px)（(p>0)）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為________。((x-\frac{2}{x})^5)的展開式中，(x^3)的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）。已知(\tan\alpha=2)，則(\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=)________。某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為________(\text{cm}^3)。（注：三視圖中，正視圖和側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為矩形，尺寸標(biāo)注為：正視圖直角邊3cm和4cm，俯視圖長(zhǎng)5cm、寬3cm）已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若存在(x_1,x_2\in\mathbb{R})且(x_1\neqx_2)，使得(f(x_1)=f(x_2))，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是________（注：原題中未提及(a)，此處修正為“實(shí)數(shù)(m)的取值范圍”，假設(shè)函數(shù)為(f(x)+m)）。三、解答題（共6小題，共85分）（本小題13分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})，(b=3)。（Ⅰ）求(\sinC)的值；（Ⅱ）求(\triangleABC)的面積。（本小題14分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=BC=AA_1=2)，(\angleABC=90^\circ)，點(diǎn)(D)為(AC)的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：(BD\perpA_1C)；（Ⅱ）求直線(A_1B)與平面(A_1BC)所成角的正弦值。（本小題13分）某學(xué)校為了解學(xué)生“每周課外閱讀時(shí)間”的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)整理如下表：課外閱讀時(shí)間（小時(shí)）[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]人數(shù)1020302515（Ⅰ）估計(jì)該校學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（Ⅱ）從每周閱讀時(shí)間在[0,2)和[8,10]的學(xué)生中任選2人，求這2人來(lái)自不同區(qū)間的概率。（本小題15分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（Ⅰ）求橢圓(C)的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)(P(1,0))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB})，求直線(l)的方程。（本小題15分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（Ⅰ）當(dāng)(a=1)時(shí)，求曲線(y=f(x))在(x=1)處的切線方程；（Ⅱ）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（Ⅲ）若(f(x)\leq0)恒成立，求(a)的取值范圍。（本小題15分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})（(n\in\mathbb{N}^*)）。（Ⅰ）證明：數(shù)列(\left{\frac{1}{a_n}\right})是等差數(shù)列，并求({a_n})的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)(b_n=a_na_{n+1})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)；（Ⅲ）若對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)，不等式(S_n<\lambdaa_n+1)恒成立，求實(shí)數(shù)(\lambda)的最小值。試卷說明：本試卷滿分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘，適用于2025年下學(xué)期北京地區(qū)高中數(shù)學(xué)教學(xué)檢測(cè)?？键c(diǎn)