2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽勾股數(shù)問(wèn)題試卷一、選擇題（每題5分，共30分）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A.（3，4，5）B.（5，12，13）C.（7，24，25）D.（9，16，25）若正整數(shù)a，b，c滿足a2+b2=c2，且a=15，則b+c的值可能為（）A.113B.225C.337D.449關(guān)于勾股數(shù)的性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是（）A.勾股數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)B.勾股數(shù)中一定有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)C.勾股數(shù)的乘積必為60的倍數(shù)D.以上說(shuō)法均正確若（m，m+1，m+2）是勾股數(shù)，則m的值為（）A.3B.4C.5D.6下列勾股數(shù)中，屬于“本原勾股數(shù)”（即三個(gè)數(shù)互質(zhì)）的是（）A.（6，8，10）B.（9，12，15）C.（8，15，17）D.（12，16，20）若正整數(shù)x，y滿足x2+121=y2，則x+y的值為（）A.60B.61C.121D.132二、填空題（每題5分，共30分）若（a，b，c）是一組勾股數(shù)，且a=2025，則b的最小可能值為_(kāi)_______．已知勾股數(shù)（m，n，p）滿足m+n+p=100，則p的值為_(kāi)_______．若正整數(shù)k使得（k，k+1，k+2）構(gòu)成勾股數(shù)，則k=________．本原勾股數(shù)中，若一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則該數(shù)必可表示為_(kāi)_______的形式（用含整數(shù)m，n的代數(shù)式表示）．若（a，b，c）是勾股數(shù)，且a=7，b＞a，則b+c=________．滿足a2+b2=252的正整數(shù)解（a，b）共有________組（a≤b）．三、解答題（共90分）13.（15分）證明：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，（n2-1，2n，n2+1）是一組勾股數(shù)，并判斷當(dāng)n為何值時(shí)，該組勾股數(shù)為本原勾股數(shù)．14.（15分）已知勾股數(shù)（a，b，c）中，a=11，且b＜c，求b和c的值．15.（20分）（1）證明：勾股數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)；（2）證明：勾股數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)．16.（20分）已知正整數(shù)m，n滿足m＞n＞0，且m，n互質(zhì)，m和n一奇一偶，求證：（m2-n2，2mn，m2+n2）是本原勾股數(shù)，并寫(xiě)出當(dāng)m=5，n=2時(shí)對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)．17.（20分）（1）求所有滿足a2+b2=c2且a+b+c=60的勾股數(shù)（a，b，c）；（2）若a，b，c為勾股數(shù)，且a+b+c=120，求c的最大值．四、拓展題（共30分）18.（30分）（1）定義“勾股數(shù)組鏈”：從一組勾股數(shù)（a，b，c）出發(fā)，通過(guò)某種變換得到新的勾股數(shù)（b，c，d），再繼續(xù)變換得到（c，d，e），以此類(lèi)推．例如：（3，4，5）→（4，5，√41）（非整數(shù)，終止）．若存在無(wú)限長(zhǎng)的勾股數(shù)組鏈，求初始勾股數(shù)需滿足的條件．（2）是否存在三個(gè)連續(xù)正整數(shù)構(gòu)成的勾股數(shù)？若存在，求出所有可能的數(shù)組；若不存在，說(shuō)明理由．（3）證明：不存在四個(gè)連續(xù)正整數(shù)構(gòu)成的勾股數(shù)．參考答案及解析（僅供閱卷參考）一、選擇題D2.B3.D4.A5.C6.B二、填空題20252-1/2=20502008.419.310.2mn（m＞n＞0，m，n互質(zhì)，一奇一偶）11.5012.4三、解答題證明：（n2-1）2+（2n）2=n?-2n2+1+4n2=n?+2n2+1=（n2+1）2，故為勾股數(shù)．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n2-1為奇數(shù)，2n為偶數(shù)，n2+1為奇數(shù)，若n為偶數(shù)且n＞1，n2-1與n2+1相差2，可能不互質(zhì)（如n=4時(shí)，（15，8，17）互質(zhì)；n=6時(shí)，（35，12，37）互質(zhì)），但本原勾股數(shù)要求三數(shù)互質(zhì)，由于m=n2-1，n=2n，p=n2+1，m與p奇偶性不同，且m與p的最大公約數(shù)為（n2-1，n2+1）=（n2-1，2），若n為奇數(shù)，n2-1為偶數(shù)，此時(shí)m與p的最大公約數(shù)為2，故n為偶數(shù)時(shí)，該組勾股數(shù)為本原勾股數(shù)．解：當(dāng)a=11為直角邊時(shí)，設(shè)b2+112=c2，則c2-b2=121，（c-b）（c+b）=121．∵121=1×121，且c＞b＞0，c-b=1，c+b=121，解得b=60，c=61．證明：（1）任意正整數(shù)模3的余數(shù)為0，1，2，其平方模3為0或1．若a2+b2=c2，假設(shè)a，b，c均不為3的倍數(shù)，則a2，b2，c2模3均為1，1+1=2≡c2模3，矛盾，故至少有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)．（2）同理，正整數(shù)模4的平方余數(shù)為0或1．若a，b，c均不為4的倍數(shù)，則平方模4為1，1+1=2≡c2模4，矛盾，故至少有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)．證明：（m2-n2）2+（2mn）2=m?-2m2n2+n?+4m2n2=m?+2m2n2+n?=（m2+n2）2，故為勾股數(shù)．∵m，n互質(zhì)且一奇一偶，m2-n2與2mn互質(zhì)（若存在質(zhì)數(shù)p整除m2-n2和2mn，p≠2時(shí)，p整除m或n，與互質(zhì)矛盾；p=2時(shí)，m，n一奇一偶，m2-n2為奇數(shù)，故無(wú)公因數(shù)），同理m2-n2與m2+n2互質(zhì)，2mn與m2+n2互質(zhì)，故為本原勾股數(shù)．當(dāng)m=5，n=2時(shí)，勾股數(shù)為（25-4，20，25+4）=（21，20，29）．解：（1）設(shè)a+b+c=60，a2+b2=c2，聯(lián)立得a+b=60-c，ab=（60-c）2-c2/2=1800-60c，由韋達(dá)定理，a，b為方程x2-（60-c）x+1800-60c=0的根，判別式Δ=（60-c）2-4（1800-60c）=c2-120c+3600-7200+240c=c2+120c-3600=（c+60）2-7200為完全平方數(shù)，解得c=25，此時(shí)a=15，b=20，故勾股數(shù)為（15，20，25）．（2）a+b=120-c，ab=（120-c）2-c2/2=7200-120c，Δ=（120-c）2-4（7200-120c）=c2+240c-14400為完全平方數(shù)，當(dāng)c最大時(shí)，a，b最小，解得c=50（a=20，b=50，c=50不滿足勾股數(shù)），c=51（a=21，b=48，c=51），c=52（a=20，b=48，c=52），c=53（a=28，b=39，c=53），故c的最大值為53．（1）若（a，b，c）→（b，c，d）為勾股數(shù)，則b2+c2=d2，又a2+b2=c2，聯(lián)立得d2=a2+2b2，需d為整數(shù)，初始勾股數(shù)需滿足b2+c2為完全平方數(shù)，如（5，12，13）→（12，13，√313）（非整數(shù)），故不存在無(wú)限長(zhǎng)鏈．（2）存在，設(shè)三個(gè)連續(xù)數(shù)為n，n+1，n+2，則n2+（n+1）2=（n+2）2，解得n=3，數(shù)組為（3，4，5）．（3）假設(shè)存在四個(gè)連續(xù)數(shù)n，n+1，n+2，n+3為勾股